กลุ่มเซตซ้อนหรือตระกูลเซตซ้อนคือกลุ่มของเซตที่ประกอบด้วยเซตย่อยที่เรียงต่อ กัน เป็นโครงสร้างลำดับชั้น เหมือนตุ๊กตามาโทร ช กา ของรัสเซีย

มีการใช้เป็นแนวคิดอ้างอิงใน การกำหนด ลำดับชั้นทางวิทยาศาสตร์และในแนวทางทางเทคนิคหลายอย่าง เช่น โครงสร้างข้อมูลแบบ ต้นไม้ในโครงสร้างข้อมูลเชิงคำนวณหรือแบบจำลองเซตซ้อนในฐานข้อมูลเชิงสัมพันธ์

บางครั้งแนวคิดนี้มักถูกเข้าใจผิดว่าเป็นกลุ่มของเซตที่มีคุณสมบัติสืบทอด (เช่น ความจำกัดในเซตจำกัดที่สืบทอดได้ )

ผู้เขียนบางคนถือว่าชุดที่ซ้อนกันเป็นกลุ่มของเซต ผู้เขียนคนอื่นๆ^{[ 1 ]}ชอบที่จะจัดประเภทความสัมพันธ์นี้เป็น ลำดับ การ รวม

ให้Bเป็น เซต ที่ไม่ว่างและCเป็นเซตของเซตย่อยของBแล้วCเป็นเซตแบบซ้อนกันก็ต่อเมื่อ:

• ${\displaystyle B\in \mathbf {C} }$(และสำหรับนักเขียนบางคน)${\displaystyle \emptyset \notin \mathbf {C} }$
• ${\displaystyle \forall H,K\in \mathbf {C} ~:~H\cap K\neq \emptyset \implies H\subset K~\lor ~K\subset H}$

เงื่อนไขแรกระบุว่าเซตB ทั้งหมด ซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมดของเซตย่อยทุกเซตจะต้องเป็นส่วนหนึ่งของชุดเซตซ้อนกัน ผู้เขียนบางคน^{[ 1 ]}ไม่ได้ถือว่าBไม่ว่างเปล่า

เงื่อนไขที่สองระบุว่าจุดตัดของเซตทุกคู่ในคอลเลกชันเซตซ้อนกันจะไม่ใช่เซตว่างก็ต่อเมื่อเซตหนึ่งเป็นเซตย่อยของอีกเซตหนึ่งเท่านั้น^{[ 2 ]}

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อสแกนคู่ของเซตย่อยทั้งหมดภาย ใต้ เงื่อนไขที่สอง จะเป็นจริงสำหรับทุกชุดค่าผสมที่มีB

โดย ใช้ชุดของธาตุอะตอมเป็นชุดของสัญลักษณ์บนไพ่ :

B = {♠, ♥, ♦, ♣};     B ₁ = {♠, ♥};   B ₂ = {♦, ♣};   B ₃ = {♣}; C = { B , B ₁ , B ₂ , B ₃ }.

เงื่อนไขข้อที่สองของคำนิยามอย่างเป็นทางการสามารถตรวจสอบได้โดยการรวมคู่ทั้งหมดเข้าด้วยกัน:

B ₁ ∩ B ₂ = ∅;  B ₁ ∩ B ₃ = ∅;  B ₃ ⊂ B ₂ .

มีลำดับชั้นที่สามารถแสดงได้ด้วยสองสาขาและลำดับการซ้อนกัน: B ₃ ⊂ B ₂ ⊂ B ;  B ₁ ⊂ B .

เนื่องจากเซตเป็นนามธรรมทั่วไปและเป็นรากฐานของแนวคิดหลายอย่างเซตซ้อนจึงเป็นรากฐานของ "ลำดับชั้นซ้อน" "ลำดับชั้นการบรรจุ" และอื่นๆ

ลำดับชั้นแบบซ้อนกันหรือลำดับชั้นแบบรวมคือการเรียงลำดับแบบลำดับชั้นของเซตที่ซ้อนกัน^{[ 3 ]}แนวคิดของการซ้อนกันแสดงให้เห็นได้จากตุ๊กตามาตรโยชก้า ของรัสเซีย ตุ๊กตาแต่ละตัวถูกล้อมรอบด้วยตุ๊กตาอีกตัวหนึ่งไปจนถึงตุ๊กตาตัวนอกสุด ตุ๊กตาตัวนอกสุดจะบรรจุตุ๊กตาตัวในทั้งหมด ตุ๊กตาตัวนอกสุดถัดไปจะบรรจุตุ๊กตาตัวในที่เหลือทั้งหมด และเป็นเช่นนี้เรื่อยไป ตุ๊กตามาตรโยชก้าแสดงถึงลำดับชั้นแบบซ้อนกัน โดยแต่ละระดับจะมีวัตถุเพียงชิ้นเดียว กล่าวคือ มีตุ๊กตาขนาดละหนึ่งตัวเท่านั้น ลำดับชั้นแบบซ้อนกันทั่วไปจะอนุญาตให้มีวัตถุหลายชิ้นภายในแต่ละระดับ แต่แต่ละวัตถุจะมีผู้ปกครองเพียงหนึ่งเดียวในแต่ละระดับ เพื่อแสดงแนวคิดทั่วไป:

${\displaystyle {\text{square}}\subset {\text{quadrilateral}}\subset {\text{polygon}}\subset {\text{shape}}\,}$

รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถเรียกได้ว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่า รูปหลายเหลี่ยม หรือรูปทรงอื่นๆ เสมอ ในลักษณะนี้ มันจึงเป็นลำดับชั้น อย่างไรก็ตาม ลองพิจารณาเซตของรูปหลายเหลี่ยมโดยใช้การจำแนกประเภทนี้ รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะ เป็นได้ เพียงรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่าเท่านั้น ไม่สามารถเป็นรูปสามเหลี่ยมรูปหกเหลี่ยมฯลฯ ได้

ลำดับชั้นซ้อนกันเป็นโครงสร้างองค์กรที่อยู่เบื้องหลังอนุกรมวิธานและการจัดหมวดหมู่อย่างเป็นระบบ ตัวอย่างเช่น การใช้อนุกรมวิธานของลินเนียส ฉบับดั้งเดิม (ฉบับที่เขากำหนดไว้ในSystema Naturae ฉบับที่ 10 ) มนุษย์สามารถกำหนดได้ดังนี้: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\text{H. sapiens}}\subset {\text{Homo}}\subset {\text{Primates}}\subset {\text{Mammalia}}\subset {\text{Animalia}}}$

ระบบการจำแนกประเภทอาจเปลี่ยนแปลงได้บ่อยครั้ง (ดังเช่นในระบบการจำแนกประเภททางชีววิทยา ) แต่แนวคิดพื้นฐานของลำดับชั้นแบบซ้อนกันนั้นยังคงเหมือนเดิมเสมอ

ลำดับชั้นการบรรจุ (containment hierarchy) เป็นการต่อยอดโดยตรงจาก แนวคิด ลำดับชั้นแบบซ้อนกัน (nested hierarchy ) เซตที่มีลำดับทั้งหมดก็ยังคงซ้อนกันอยู่ แต่ทุกเซตจะต้อง " เข้มงวด " กล่าวคือ ไม่มีเซตสองเซตใดที่เหมือนกันได้ ตัวอย่างรูปทรงข้างต้นสามารถปรับเปลี่ยนเพื่อแสดงให้เห็นถึงสิ่งนี้ได้:

${\displaystyle {\text{รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส}}\subsetneq {\text{รูปสี่เหลี่ยม}}\subsetneq {\text{รูปหลายเหลี่ยม}}\subsetneq {\text{รูปทรง}}\,}$

สัญลักษณ์นี้หมายความว่าx เป็นเซตย่อยของyแต่ไม่เท่ากับ  y${\displaystyle x\subsetneq y\,}$

ลำดับชั้นการบรรจุ (Containment hierarchy) ถูกนำมาใช้ในการสืบทอดคลาสใน การ เขียน โปรแกรมเชิงวัตถุ

• เซตที่นับได้ทางกรรมพันธุ์
• ทรัพย์สินที่สืบทอดทางกรรมพันธุ์
• ลำดับชั้น (คณิตศาสตร์)
• รูปแบบเซตซ้อนสำหรับการจัดเก็บข้อมูลแบบลำดับชั้นในฐานข้อมูลเชิงสัมพันธ์