วิธีNewmark-betaเป็นวิธีการรวมเชิงตัวเลขที่ใช้ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ บางประเภท มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการประเมินเชิงตัวเลขของการตอบสนองแบบไดนามิกของโครงสร้างและของแข็ง เช่น ใน^การวิเคราะห์องค์ประกอบจำกัดเพื่อสร้างแบบจำลองระบบไดนามิก วิธีนี้ตั้งชื่อตามNathan M. Newmark [ ^{1 ]}อดีตศาสตราจารย์ด้านวิศวกรรมโยธาที่มหาวิทยาลัยอิลลินอยส์ เออร์บานา-แชมเปญซึ่งพัฒนาวิธีนี้ขึ้นในปี 1959 เพื่อใช้ในพลศาสตร์โครงสร้าง สมการโครงสร้างแบบกึ่งแยกส่วนเป็นระบบสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับสอง

${\displaystyle M{\ddot {u}}+C{\dot {u}}+f^{\textrm {int}}(u)=f^{\textrm {ext}}\,}$

นี่คือเมทริกซ์มวลคือเมทริกซ์การหน่วงและคือแรงภายในต่อหน่วยการกระจัดและแรงภายนอก ตามลำดับ ${\displaystyle M}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f^{\textrm {int}}}$${\displaystyle f^{\textrm {ext}}}$

โดยใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยแบบขยาย วิธีของ นิวมาคระบุว่าอนุพันธ์อันดับแรกเทียบกับเวลา (ความเร็วในสมการการเคลื่อนที่ ) สามารถหาคำตอบได้ดังนี้ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\dot {u}}_{n+1}={\dot {u}}_{n}+\Delta t~{\ddot {u}}_{\gamma }\,}$

ที่ไหน

${\displaystyle {\ddot {u}}_{\gamma }=(1-\gamma ){\ddot {u}}_{n}+\gamma {\ddot {u}}_{n+1}~~~~0\leq \gamma \leq 1}$

ดังนั้น

${\displaystyle {\dot {u}}_{n+1}={\dot {u}}_{n}+(1-\gamma )\Delta t~{\ddot {u}}_{n}+\gamma \Delta t~{\ddot {u}}_{n+1}.}$

เนื่องจากความเร่งเปลี่ยนแปลงตามเวลาด้วยเช่นกัน ทฤษฎีค่าเฉลี่ยแบบขยายจึงต้องขยายไปถึงอนุพันธ์อันดับสองเทียบกับเวลาด้วย เพื่อให้ได้ค่าการกระจัดที่ถูกต้อง ดังนั้น

${\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+\Delta t~{\dot {u}}_{n}+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\Delta t^{2}~{\ddot {u}}_{\beta }}$

ที่ไหนอีกแล้ว

${\displaystyle {\ddot {u}}_{\beta }=(1-2\beta ){\ddot {u}}_{n}+2\beta {\ddot {u}}_{n+1}~~~~0\leq 2\beta \leq 1}$

สมการโครงสร้างแบบไม่ต่อเนื่องจะกลายเป็น

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {u}}_{n+1}={\dot {u}}_{n}+(1-\gamma )\Delta t~{\ddot {u}}_{n}+\gamma \Delta t~{\ddot {u}}_{n+1}\\&u_{n+1}=u_{n}+\Delta t~{\dot {u}}_{n}+{\frac {\Delta t^{2}}{2}}\left((1-2\beta ){\ddot {u}}_{n}+2\beta {\ddot {u}}_{n+1}\right)\\&M{\ddot {u}}_{n+1}+C{\dot {u}}_{n+1}+f^{\textrm {int}}(u_{n+1})=f_{n+1}^{\textrm {ext}}\,\end{aligned}}}$

แผนผังความแตกต่างกลางแบบชัดเจนได้มาจากการตั้งค่าและ${\displaystyle \gamma =0.5}$${\displaystyle \beta =0}$

ค่าความเร่งคงที่เฉลี่ย (กฎจุดกึ่งกลาง)ได้มาจากการตั้งค่าและ${\displaystyle \gamma =0.5}$${\displaystyle \beta =0.25}$

กล่าวได้ว่าวิธีการอินทิเกรตเวลามีเสถียรภาพ หากมีขั้นตอนเวลา อินทิเกรตอยู่ค่า หนึ่งที่ทำให้สำหรับทุกค่า t การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของเวกเตอร์สถานะณ เวลา t จะทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงที่ไม่เพิ่มขึ้นของเวกเตอร์สถานะที่คำนวณได้ ณ เวลา t ถัดไป เท่านั้น สมมติว่าวิธีการอินทิเกรตเวลาคือ ${\displaystyle \Delta t_{0}>0}$${\displaystyle \Delta t\in (0,\Delta t_{0}]}$${\displaystyle q_{n}}$${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle q_{n+1}}$${\displaystyle t_{n+1}}$

${\displaystyle q_{n+1}=A(\Delta t)q_{n}+g_{n+1}(\Delta t)}$

เสถียรภาพเชิงเส้นเทียบเท่ากับโดยที่คือรัศมีสเปกตรัมของเมทริกซ์การอัปเดต ${\displaystyle \rho (A(\Delta t))\leq 1}$${\displaystyle \rho (A(\Delta t))}$${\displaystyle A(\Delta t)}$

สำหรับสมการโครงสร้างเชิงเส้น

${\displaystyle M{\ddot {u}}+C{\dot {u}}+Ku=f^{\textrm {ext}}\,}$

นี่คือเมทริกซ์ความแข็งเกร็ง ให้เมทริกซ์การปรับปรุงคือ และ ${\displaystyle K}$${\displaystyle q_{n}=[{\dot {u}}_{n},u_{n}]}$${\displaystyle A=H_{1}^{-1}H_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}={\begin{bmatrix}M+\gamma \Delta tC&\gamma \Delta tK\\\beta \Delta t^{2}C&M+\beta \Delta t^{2}K\end{bmatrix}}\qquad H_{0}={\begin{bmatrix}M-(1-\gamma )\Delta tC&-(1-\gamma )\Delta tK\\-({\frac {1}{2}}-\beta )\Delta t^{2}C+\Delta tM&M-({\frac {1}{2}}-\beta )\Delta t^{2}K\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

สำหรับกรณีที่ไม่มีการหน่วง ( ) เมทริกซ์การปรับปรุงสามารถแยกออกจากกันได้โดยการแนะนำโหมดลักษณะเฉพาะของระบบโครงสร้าง ซึ่งแก้ไขโดยปัญหาค่าลักษณะเฉพาะทั่วไป ${\displaystyle C=0}$${\displaystyle u=e^{i\omega _{i}t}x_{i}}$

${\displaystyle \omega ^{2}Mx=Kx\,}$

สำหรับแต่ละโหมดลักษณะเฉพาะ เมทริกซ์การปรับปรุงจะกลายเป็น

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}={\begin{bmatrix}1&\gamma \Delta t\omega _{i}^{2}\\0&1+\beta \Delta t^{2}\omega _{i}^{2}\end{bmatrix}}\qquad H_{0}={\begin{bmatrix}1&-(1-\gamma )\Delta t\omega _{i}^{2}\\\Delta t&1-({\frac {1}{2}}-\beta )\Delta t^{2}\omega _{i}^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

สมการลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์การปรับปรุงคือ

${\displaystyle \lambda ^{2}-\left(2-(\gamma +{\frac {1}{2}})\eta _{i}^{2}\right)\lambda +1-(\gamma -{\frac {1}{2}})\eta _{i}^{2}=0\,\qquad \eta _{i}^{2}={\frac {\omega _{i}^{2}\Delta t^{2}}{1+\beta \omega _{i}^{2}\Delta t^{2}}}}$

ส่วนเรื่องความเสถียรนั้น เรามี

แผนการหาผลต่างกลางแบบชัดเจน ( และ) มีเสถียรภาพเมื่อ. ${\displaystyle \gamma =0.5}$${\displaystyle \beta =0}$${\displaystyle \omega \Delta t\leq 2}$

ความเร่งคงที่เฉลี่ย (กฎจุดกึ่งกลาง) ( และ) มีเสถียรภาพโดยไม่มีเงื่อนไข ${\displaystyle \gamma =0.5}$${\displaystyle \beta =0.25}$