ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีการวัดอะตอม คือเซตที่วัดได้ซึ่งมีค่าการวัดเป็นบวกและไม่มีเซตที่มีค่าการวัดเป็นบวกที่เล็กกว่าอยู่ ภายในส่วนการวัดที่ไม่มีอะตอมเรียกว่าการวัดแบบไม่มีอะตอมหรือ การวัดแบบ ไร้ อะตอม

เมื่อกำหนดปริภูมิที่วัดได้ และ การวัดบนปริภูมินั้น เซตในเรียกว่าอะตอมก็ต่อ^{เมื่อ}และ สำหรับเซตย่อยที่วัดได้ใดๆ ก็ตามหรือ^{[ 1} ]${\displaystyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle A\subset X}$${\displaystyle \Sigma }$$${\displaystyle \mu (A)>0}$$${\displaystyle B\subseteq A}$${\displaystyle \mu (B)=0}$${\displaystyle \mu (B)=\mu (A)}$

ชั้นสมมูลของถูกกำหนดโดย โดย ที่เป็น ตัวดำเนินการ ผลต่างสมมาตรถ้าเป็นอะตอมแล้วเซตย่อยทั้งหมดใน จะเป็น อะตอมและเรียกว่าชั้นอะตอม^{[ 2 ]}ถ้าเป็นการวัดแบบจำกัด จะมีชั้นอะตอมจำนวนนับได้ ${\displaystyle A}$$${\displaystyle [A]:=\{B\in \Sigma :\mu (A\Delta B)=0\},}$$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle A}$${\displaystyle [A]}$${\displaystyle [A]}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$

• พิจารณาเซตX = {1, 2, ..., 9, 10} และให้ซิกมาแอลเจบรา เป็นเซตกำลังของXกำหนดให้การวัดของเซตคือจำนวนสมาชิก ของเซต นั่นคือจำนวนสมาชิกในเซต ดังนั้น เซตเอกซ์ตัน { i } สำหรับi = 1, 2, ..., 9, 10 แต่ละเซตจะเป็นอะตอม${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \mu }$
• พิจารณามาตรวัดเลเบสบนเส้นจำนวนจริงมาตรวัดนี้ไม่มีอะตอม

การวัดแบบจำกัดบนปริภูมิที่วัดได้เรียกว่าอะตอมหรืออะตอมบริสุทธิ์หากเซตที่วัดได้ทุกเซตที่มีการวัดเป็นบวกมีอะตอมอยู่ ซึ่งเทียบเท่ากับการกล่าวว่ามี การแบ่งส่วน ที่นับได้ของปริภูมิที่เกิดจากอะตอมจนถึงเซตว่าง^{[ 3 ]}ข้อสมมติฐานของขนาดจำกัดมีความสำคัญ พิจารณาปริภูมิอื่นที่แทนการวัดการนับปริภูมินี้เป็นอะตอม โดยที่อะตอมทั้งหมดเป็นเอกฐานแต่ปริภูมินี้ไม่สามารถแบ่งออกเป็นผลรวมที่ไม่ทับซ้อนกันของอะตอมที่ไม่ทับซ้อนกันจำนวนนับได้และเซตว่างได้เนื่องจากผลรวมที่นับได้ของเอกฐานเป็นเซตที่นับได้ และความไม่สามารถนับได้ของจำนวนจริงแสดงให้เห็นว่าส่วนเติมเต็มจะต้องไม่สามารถนับได้ ดังนั้นการวัดแบบจำกัดของมันจะเป็นอนันต์ ซึ่งขัดแย้งกับการเป็นเซตว่าง ความถูกต้องของผลลัพธ์สำหรับปริภูมิจำกัด -finite นั้นได้มาจากการพิสูจน์สำหรับปริภูมิการวัดจำกัด โดยสังเกตว่าการรวมกันแบบนับได้ของการรวมกันแบบนับได้ก็ยังคงเป็นการรวมกันแบบนับได้ และการรวมกันแบบนับได้ของเซตว่างก็เป็นเซตว่างเช่นกัน ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle (X,\Sigma )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ),\nu )}$${\displaystyle \nu }$${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$${\displaystyle N}$${\textstyle N=\mathbb {R} \setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \sigma }$

การวัดอะตอมแบบจำกัดเรียกว่าแบบไม่ต่อเนื่องหากจุดตัดของอะตอมในชั้นอะตอมใดๆ ไม่ว่างเปล่า เทียบเท่ากับ^{[ 4 ]}ที่จะกล่าวว่า เป็นผลรวมถ่วงน้ำหนักของการวัด Dirac ที่นับได้ นั่นคือ มีลำดับของจุดในและลำดับของจำนวนจริงบวก (น้ำหนัก) เช่นนั้นซึ่งหมายความว่าสำหรับทุกเราสามารถเลือกแต่ละจุดให้เป็นจุดร่วมของอะตอมในชั้นอะตอมที่ ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle x_{1},x_{2},...}$${\displaystyle X}$${\displaystyle c_{1},c_{2},...}$${\textstyle \mu =\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}}$${\textstyle \mu (A)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\delta _{x_{k}}(A)}$${\displaystyle A\in \Sigma }$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle k}$

การวัดแบบไม่ต่อเนื่องเป็นอะตอมิก แต่การบ่งชี้แบบผกผันนั้นใช้ไม่ได้: ลองพิจารณาพีชคณิตของเซตย่อยที่นับได้และนับร่วมกัน ในเซตย่อยที่นับได้และในเซตย่อยที่นับร่วมกัน จากนั้นจะมีคลาสอะตอมิกเพียงคลาสเดียว คือคลาสที่เกิดจากเซตย่อยที่นับร่วมกัน การวัดเป็นอะตอมิก แต่จุดตัดของอะตอมในคลาสอะตอมิกที่ไม่ซ้ำกันนั้นว่างเปล่าและไม่สามารถเขียนเป็นผลรวมของการวัดของ Dirac ได้ ${\displaystyle X=[0,1]}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \mu =1}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$

ถ้าอะตอมทุกตัวเทียบเท่ากับอะตอมเดี่ยว แสดงว่าไม่ต่อเนื่องก็ต่อเมื่อเป็นอะตอม ในกรณีนี้ข้างต้นเป็นอะตอมเดี่ยว ดังนั้นจึงมีเอกลักษณ์ การวัดแบบจำกัดใดๆ ในปริภูมิเมตริกที่แยกได้ซึ่งมีเซตโบเรลเป็นไปตามเงื่อนไขนี้^{[ 5 ]}${\displaystyle \mu }$${\displaystyle x_{k}}$

หน่วยวัดที่ไม่มีอะตอมเรียกว่าอะไรการวัดที่ไม่ใช่อะตอมหรือการวัดแบบกระจาย กล่าวอีกนัยหนึ่ง การวัดนั้นไม่ใช่แบบอะตอมิก ถ้าสำหรับเซตที่วัดได้ใดๆที่มี จะมีเซตย่อยที่วัดได้ของอยู่เช่นนั้น ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mu (A)>0}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \mu (A)>\mu (B)>0.}$$

การวัดที่ไม่ใช่อะตอมิกที่มีค่าบวกอย่างน้อยหนึ่งค่าจะมีค่าที่แตกต่างกันเป็นจำนวนอนันต์ เนื่องจากเริ่มต้นจากเซตที่มี ค่าบวก หนึ่งค่า สามารถสร้างลำดับที่ลดลงของเซตที่วัดได้ เช่นนั้น ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mu (A)>0}$$${\displaystyle A=A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots }$$$${\displaystyle \mu (A)=\mu (A_{1})>\mu (A_{2})>\mu (A_{3})>\cdots >0.}$$

สิ่งนี้อาจไม่เป็นความจริงสำหรับมาตรวัดที่มีอะตอม โปรดดูตัวอย่างแรกด้านบน

ปรากฏว่ามาตรวัดที่ไม่ใช่อะตอมนั้นมี ค่า ต่อเนื่องกันสามารถพิสูจน์ได้ว่า ถ้าเป็นมาตรวัดที่ไม่ใช่อะตอม และเป็นเซตที่วัดได้ โดยที่ แล้วสำหรับจำนวนจริงใดๆที่สอดคล้องกับเงื่อนไข จะมีเซตย่อยที่วัดได้ของ อยู่เช่นนั้น ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mu (A)>0,}$${\displaystyle b}$$${\displaystyle \mu (A)\geq b\geq 0}$$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \mu (B)=b.}$$

ทฤษฎีบทนี้เป็นผลงานของWacław Sierpiński [ ^{6 ] [ 7 ] ซึ่ง} คล้ายคลึงกับทฤษฎีบทค่ากลางสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง

ภาพร่างการพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Sierpiński เกี่ยวกับการวัดแบบไม่เป็นอะตอม ข้อความที่แข็งแกร่งกว่าเล็กน้อย ซึ่งทำให้การพิสูจน์ง่ายขึ้น คือ ถ้าเป็นปริภูมิการวัดแบบไม่เป็นอะตอม และมีฟังก์ชันที่เป็นแบบโมโนโทนเมื่อเทียบกับการรวม และมีตัวผกผันทางขวาของนั่นคือ มีตระกูลของเซตที่วัดได้แบบพารามิเตอร์เดียวอยู่ซึ่งสำหรับทุก การพิสูจน์นั้นทำได้ง่ายจากเลมมาของ Zornที่ใช้กับเซตของส่วนย่อยแบบโมโนโทนทั้งหมดของ : เรียงลำดับตามการรวมของกราฟจากนั้นเป็นเรื่องปกติที่จะแสดงว่าทุกสายโซ่ในมีขอบเขตบนในและองค์ประกอบสูงสุดใด ๆ ของมีโดเมนที่พิสูจน์ข้ออ้าง ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle \mu (X)=c,}$${\displaystyle S:[0,c]\to \Sigma }$${\displaystyle \mu :\Sigma \to [0,c].}$${\displaystyle S(t)}$${\displaystyle 0\leq t\leq t'\leq c}$$${\displaystyle {\begin{aligned}S(t)&\subseteq S(t'),\\\mu \left(S(t)\right)&=t.\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle \Gamma :=\{S:D\to \Sigma \;:\;D\subseteq [0,c],\,S\;\mathrm {monotone} ,{\text{ สำหรับทุก }}t\in D\;(\mu (S(t))=t)\},}$$${\displaystyle \mathrm {graph} (S)\subseteq \mathrm {graph} (S').}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma ,}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle [0,c],}$

• อะตอม (ทฤษฎีลำดับ) — แนวคิดที่คล้ายคลึงกันในทฤษฎีลำดับ
• ฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac
• เหตุการณ์พื้นฐานหรือที่เรียกว่าเหตุการณ์อะตอม

• อะตอมในสารานุกรมคณิตศาสตร์