ในสาขาธรณีวิทยาและธรณีฟิสิกส์แรงโน้มถ่วงเชิงทฤษฎีหรือแรงโน้มถ่วงปกติคือการประมาณค่าแรงโน้มถ่วงของโลกบนหรือใกล้พื้นผิวโลก โดยใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ แบบจำลองเชิงทฤษฎีที่ใช้กันมากที่สุดคือ โลกทรงรีหมุนรอบตัวเอง(เช่นทรงรี )

สามารถใช้การแสดงแรงโน้มถ่วงแบบอื่นในการศึกษาและวิเคราะห์วัตถุอื่น เช่นดาวเคราะห์น้อย การแสดงสนามแรงโน้มถ่วงที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในบริบทของธรณีวิทยา ได้แก่ฮาร์มอนิกทรงกลม โมเดลมาสคอน และการแสดงแรงโน้มถ่วงแบบทรงหลายเหลี่ยม^{[ 1 ]}

ประเภทของแบบจำลองแรงโน้มถ่วงที่ใช้สำหรับโลกขึ้นอยู่กับระดับความแม่นยำที่ต้องการสำหรับปัญหาที่กำหนด สำหรับปัญหาหลายอย่าง เช่น การจำลองเครื่องบิน อาจเพียงพอที่จะพิจารณาว่าแรงโน้มถ่วงเป็นค่าคงที่ ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle g=g_{45}=}$9.80665 ม./วินาที^² (32.1740 ฟุต/วินาที^² )

โดยอิงตามข้อมูลจากระบบพิกัดทางภูมิศาสตร์โลกปี 1984 ( WGS-84 ) ซึ่งหมายถึงการชี้ลง "ในกรอบอ้างอิงท้องถิ่น" ${\displaystyle g}$

หากต้องการจำลองน้ำหนักของวัตถุบนโลกเป็นฟังก์ชันของละติจูดสามารถใช้สิ่งต่อไปนี้ได้: ^{[ 2 ] : 41}

${\displaystyle g=g_{45}-{\tfrac {1}{2}}(g_{\mathrm {poles} }-g_{\mathrm {equator} })\cos \left(2\,\varphi \cdot {\frac {\pi }{180}}\right)}$

ที่ไหน

• ${\displaystyle g_{\mathrm {poles} }}$= 9.832 ม./วินาที^² (32.26 ฟุต/วินาที^² )
• ${\displaystyle g_{45}}$= 9.806 ม./วินาที^² (32.17 ฟุต/วินาที^² )
• ${\displaystyle g_{\mathrm {equator} }}$= 9.780 ม./วินาที^² (32.09 ฟุต/วินาที^² )
• ${\displaystyle \varphi }$= ละติจูด ระหว่าง -90° ถึง +90°

แบบจำลองทั้งสองนี้ไม่ได้คำนึงถึงการเปลี่ยนแปลงของแรงโน้มถ่วงเมื่อระดับความสูงเปลี่ยนแปลง แต่แบบจำลองที่มีฟังก์ชันโคไซน์นั้นคำนึงถึงแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางที่เกิดจากการหมุนของโลก บนทรงกลมที่หมุนอยู่ ผลรวมของแรงจากสนามโน้มถ่วงและแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางทำให้เกิดการเบี่ยงเบนเชิงมุมประมาณ

${\displaystyle {\frac {\sin(2\varphi )}{2g}}{R\Omega ^{2}}}$

(ในหน่วยเรเดียน) ระหว่างทิศทางของสนามโน้มถ่วงและทิศทางที่วัดโดยลูกดิ่ง โดยลูกดิ่งจะชี้ไปทางทิศใต้ในซีกโลกเหนือและชี้ไปทางทิศเหนือในซีกโลกใต้เรเดียน/วินาที คือความเร็วเชิงมุมรายวันของแกนโลก และกิโลเมตร คือรัศมีของทรงกลมอ้างอิง และ คือระยะห่างของจุดบนเปลือกโลกจากแกนโลก^{[ 3 ]}${\displaystyle \Omega \approx 7.29\times 10^{-5}}$${\displaystyle R\approx 6370}$${\displaystyle R\sin \varphi }$

สำหรับผลกระทบจากแรงดึงดูดของมวลเพียงอย่างเดียว ความเร่งโน้มถ่วงที่เส้นศูนย์สูตรจะน้อยกว่าที่ขั้วโลกประมาณ 0.18% เนื่องจากอยู่ห่างจากศูนย์กลางมวลมากกว่า เมื่อรวมองค์ประกอบของการหมุน (ดังที่กล่าวมาข้างต้น) แรงโน้มถ่วงที่เส้นศูนย์สูตรจะน้อยกว่าที่ขั้วโลกประมาณ 0.53% โดยที่แรงโน้มถ่วงที่ขั้วโลกไม่ได้รับผลกระทบจากการหมุน ดังนั้นองค์ประกอบของการเปลี่ยนแปลงเนื่องจากละติจูดที่เกิดจากการหมุน (0.35%) จึงมีความสำคัญมากกว่าการเปลี่ยนแปลงเนื่องจากแรงดึงดูดของมวลที่เกิดจากละติจูด (0.18%) ประมาณสองเท่า แต่ทั้งสองอย่างลดความแรงของแรงโน้มถ่วงที่เส้นศูนย์สูตรเมื่อเทียบกับแรงโน้มถ่วงที่ขั้วโลก

โปรดทราบว่าสำหรับดาวเทียม วงโคจรจะแยกออกจากการหมุนของโลก ดังนั้นคาบการโคจรจึงไม่จำเป็นต้องเป็นหนึ่งวันเสมอไป และข้อผิดพลาดอาจสะสมได้ในหลายวงโคจร ดังนั้นความแม่นยำจึงมีความสำคัญ สำหรับปัญหาดังกล่าว การหมุนของโลกจะไม่มีความสำคัญเว้นแต่จะมีการจำลองการเปลี่ยนแปลงตามลองจิจูด นอกจากนี้ การเปลี่ยนแปลงของแรงโน้มถ่วงตามระดับความสูงก็มีความสำคัญ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับวงโคจรที่เป็นวงรีมาก

แบบจำลองแรงโน้มถ่วงของโลกปี 1996 ( EGM96 ) ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ 130,676 ตัวที่ปรับปรุงแบบจำลองสนามแรงโน้มถ่วงของโลก^{[ 2 ] : 40} พจน์การแก้ไขที่สำคัญที่สุดมีความสำคัญมากกว่าพจน์ถัดไปประมาณสองลำดับขนาด^{[ 2 ] : 40} สัมประสิทธิ์นั้นเรียกว่าพจน์ และอธิบายถึงการแบนราบของขั้วโลก หรือความแบนของโลก ฟังก์ชันศักย์โน้มถ่วงสามารถเขียนขึ้นสำหรับการเปลี่ยนแปลงพลังงานศักย์สำหรับมวลหนึ่งหน่วยที่ถูกนำมาจากอนันต์เข้ามาใกล้โลก การหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันนั้นเทียบกับระบบพิกัดจะทำให้ได้ส่วนประกอบทิศทางของเวกเตอร์ความเร่งโน้มถ่วงเป็นฟังก์ชันของตำแหน่ง จากนั้นสามารถรวม ส่วนประกอบเนื่องจาก การหมุนของโลก ได้ หากเหมาะสม โดยอิงตามวัน ดาราคติเทียบกับดาวฤกษ์ (≈366.24 วัน/ปี) แทนที่จะเป็น วัน สุริยะ (≈365.24 วัน/ปี) ส่วนประกอบนั้นตั้งฉากกับแกนหมุน ไม่ใช่กับพื้นผิวโลก ${\displaystyle J_{2}}$

แบบจำลองที่คล้ายกันซึ่งปรับให้เข้ากับรูปทรงเรขาคณิตและสนามแรงโน้มถ่วงของดาวอังคารสามารถพบได้ในเอกสารเผยแพร่ NASA SP-8010 ^{[ 4 ]}

ความเร่ง โน้ม ถ่วงณ จุดหนึ่งในอวกาศ คำนวณได้จากสูตร:

${\displaystyle \mathbf {g} =-{GM \over r^{2}}\mathbf {\hat {r}} }$

ที่ไหน:

Mคือมวลของวัตถุที่ดึงดูดคือเวกเตอร์หน่วยจากจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุที่ดึงดูดไปยังจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุที่ถูกเร่งrคือระยะห่างระหว่างวัตถุทั้งสอง และGคือค่าคงที่ความโน้มถ่วง ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {r}} }$

เมื่อทำการคำนวณนี้สำหรับวัตถุบนพื้นผิวโลก หรืออากาศยานที่หมุนไปพร้อมกับโลก จะต้องคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าโลกกำลังหมุน และต้องหักค่าความเร่งเนื่องจากแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางออกไป ตัวอย่างเช่น สมการข้างต้นให้ค่าความเร่งที่ 9.820 m/s² ^{เมื่อ} GM = 3.986 × 10¹⁴ ^m³ / s² ^และ R = 6.371 × ^10⁶ m รัศมีสู่ศูนย์กลางคือ^r = R cos ( φ )และหน่วยเวลาสู่ศูนย์กลางโดยประมาณคือ( วัน / 2π )การลดค่านี้สำหรับr = 5 × ^10⁶เมตรจะเหลือ 9.79379 m/s² ^ซึ่งใกล้เคียงกับค่าที่สังเกตได้มากกว่า

สูตรต่างๆ ที่ได้รับการปรับปรุงให้ดียิ่งขึ้นเรื่อยๆ สำหรับการคำนวณแรงโน้มถ่วงเชิงทฤษฎี เรียกว่าสูตรแรงโน้มถ่วงสากล (International Gravity Formula ) ซึ่งสูตรแรกถูกเสนอขึ้นในปี 1930 โดยสมาคมภูมิศาสตร์สากล (International Association of Geodesy ) รูปแบบทั่วไปของสูตรนั้นมีดังนี้:

${\displaystyle g(\phi )=g_{e}\left(1+A\sin ^{2}(\phi )-B\sin ^{2}(2\phi )\right),}$

โดยที่g ( φ ) คือแรงโน้มถ่วงเป็นฟังก์ชันของละติจูดทางภูมิศาสตร์φของตำแหน่งที่ต้องการกำหนดแรงโน้มถ่วงหมายถึงแรงโน้มถ่วงที่เส้นศูนย์สูตร (ตามที่กำหนดโดยการวัด) และสัมประสิทธิ์AและBเป็นพารามิเตอร์ที่ต้องเลือกเพื่อให้ได้ความพอดีทั่วโลกที่ดีกับแรงโน้มถ่วงที่แท้จริง^{[ 5 ]}${\displaystyle g_{e}}$

เมื่อใช้ค่าของ ระบบอ้างอิง GRS80รูปแบบการใช้งานเฉพาะที่ใช้กันทั่วไปของสูตรข้างต้นมีดังนี้:

${\displaystyle g(\phi )=9.780327\left(1+0.0053024\sin ^{2}(\phi )-0.0000058\sin ^{2}(2\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2}.}$^{[ 5 ]}

เมื่อใช้สูตรมุมสองเท่า ที่เหมาะสม ร่วมกับเอกลักษณ์พีทาโกเรียนเราสามารถเขียนใหม่ให้อยู่ในรูปแบบที่เทียบเท่ากันได้

${\displaystyle {\begin{aligned}g(\phi )&=9.780327\left(1+0.0052792\sin ^{2}(\phi )+0.0000232\sin ^{4}(\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2},\\&=9.780327\left(1.0053024-.0053256\cos ^{2}(\phi )+.0000232\cos ^{4}(\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2},\\&=9.780327\left(1.0026454-0.0026512\cos(2\phi )+.0000058\cos ^{2}(2\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2}.\end{aligned}}\,\!}$

จนถึงช่วงทศวรรษ 1960 สูตรที่อิงตาม ทรงรีของ เฮย์ฟอร์ด (1924) และของเฮล์เมิร์ต นักธรณีวิทยาชาวเยอรมันชื่อดัง (1906) มักถูกนำมาใช้ ความแตกต่างระหว่างแกนกึ่งเอก (รัศมีเส้นศูนย์สูตร) ​​ของทรงรีเฮย์ฟอร์ดและของ ทรงรี WGS84 สมัยใหม่ คือ251 เมตร ; สำหรับทรงรีของเฮลเมิร์ตนั้นมีเพียงเท่านั้น63 ม .

สูตรทางทฤษฎีล่าสุดสำหรับแรงโน้มถ่วงที่เป็นฟังก์ชันของละติจูดคือสูตรแรงโน้มถ่วงสากล พ.ศ. 2523 (IGF80) ซึ่งอิงตามทรงรี GRS80 เช่นกัน แต่ใช้สมการ Somigliana (ตามCarlo Somigliana (1860–1955) ^{[ 6 ]} ):

${\displaystyle g(\phi )=g_{e}\left[{\frac {1+k\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}(\phi )}}}\right],\,\!}$

โดยที่^{[ 7 ]}

• ${\displaystyle k={\frac {bg_{p}-ag_{e}}{ag_{e}}}}$(ค่าคงที่สูตร);
• ${\displaystyle g_{e},g_{p}}$คือค่าความโน้มถ่วงที่กำหนดไว้ ณ เส้นศูนย์สูตรและขั้วโลก ตามลำดับ
• ${\displaystyle a,b}$โดยที่ คือกึ่งแกนเส้นศูนย์สูตรและกึ่งแกนขั้วโลก ตามลำดับ
• ${\displaystyle e^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}}$คือ ค่าความเยื้องศูนย์กลางยกกำลังสองของทรงรี;

โดยให้บริการ

${\displaystyle g(\phi )=9.7803267715\left[{\frac {1+0.001931851353\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-0.0066943800229\sin ^{2}(\phi )}}}\right]\,\mathrm {ms} ^{-2}.}$^{[ 5 ]}

สูตรแรงโน้มถ่วงทรงรี WGS ( World Geodetic System ) 1984 ที่ได้รับการปรับปรุงในภายหลังโดยอิง จากทรงรี WGS84 คือ ^{[ 7 ]}

${\displaystyle g(\phi )=9.7803253359\left[{\frac {1+0.00193185265241\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-0.00669437999013\sin ^{2}(\phi )}}}\right]\,\mathrm {ms} ^{-2}.}$

(โดยที่= 9.8321849378 ms ⁻² ) ${\displaystyle g_{p}}$

ความแตกต่างกับ IGF80 นั้นไม่มีนัยสำคัญเมื่อใช้เพื่อวัตถุประสงค์ทางธรณีฟิสิกส์^{[ 5 ]}แต่อาจมีความสำคัญสำหรับการใช้งานอื่นๆ

สำหรับแรงโน้มถ่วงปกติของทรงรีระดับน้ำทะเล กล่าวคือ ระดับความสูงh = 0 สูตรนี้โดย Somigliana (1929) สามารถนำมาใช้ได้: ${\displaystyle \gamma _{0}}$

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )={\frac {a\cdot \gamma _{a}\cdot \cos ^{2}\varphi +b\cdot \gamma _{b}\cdot \sin ^{2}\varphi }{\sqrt {a^{2}\cdot \cos ^{2}\varphi +b^{2}\cdot \sin ^{2}\varphi }}}}$

กับ

• ${\displaystyle \gamma _{a}}$= แรงโน้มถ่วงปกติที่เส้นศูนย์สูตร
• ${\displaystyle \gamma _{b}}$= แรงโน้มถ่วงปกติที่ขั้วโลก
• a = แกนกึ่งเอก (รัศมีเส้นศูนย์สูตร)
• b = แกนกึ่งเล็ก (รัศมีขั้ว)
• ${\displaystyle \varphi }$= ละติจูด

เนื่องจาก ปัญหา ทางตัวเลขสูตรจึงถูกลดรูปให้เหลือดังนี้:

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )=\gamma _{a}\cdot {\frac {1+p\cdot \sin ^{2}\varphi }{\sqrt {1-e^{2}\cdot \sin ^{2}\varphi }}}}$

กับ

• ${\displaystyle p={\frac {b\cdot \gamma _{b}}{a\cdot \gamma _{a}}}-1}$
• ${\displaystyle e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}};\quad }$( eคือค่าความเยื้องศูนย์ )

สำหรับระบบพิกัดทางภูมิศาสตร์ปี 1980 (GRS 80)ค่าพารามิเตอร์จะถูกกำหนดดังนี้:

${\displaystyle a=6\,378\,137\,\mathrm {m} \quad \quad \quad \quad b=6\,356\,752{.}314\,1\,\mathrm {m} }$

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780\,326\,771\,5\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} \quad \gamma _{b}=9{.}832\,186\,368\,5\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} }$

${\displaystyle \Rightarrow p=1{.}931\,851\,353\cdot 10^{-3}\quad e^{2}=6{.}694\,380\,022\,90\cdot 10^{-3}}$

สูตรของ Somigliana ได้รับการประมาณค่าโดยใช้การขยายอนุกรม แบบต่างๆ ตามแผนผังนี้:

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )=\gamma _{a}\cdot (1+\beta \cdot \sin ^{2}\varphi +\beta _{1}\cdot \sin ^{2}2\varphi +\dots )}$

สูตรแรงโน้มถ่วงปกติของจิโน คาสสินิสได้รับการกำหนดขึ้นในปี ค.ศ. 1930 โดยสหภาพธรณีวิทยาและธรณีฟิสิกส์ระหว่างประเทศ (International Union of Geodesy and Geophysics)ในฐานะสูตรแรงโน้มถ่วงสากล ร่วมกับทรงรีของเฮย์ฟอร์ด (Hayford ellipsoid ) พารามิเตอร์มีดังนี้:

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}78049{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}2884\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}9\cdot 10^{-6}}$

เมื่อเวลาผ่านไป ค่าต่างๆ ก็ได้รับการปรับปรุงให้ดีขึ้นอีกครั้งด้วยความรู้ใหม่ๆ และวิธีการวัดที่แม่นยำยิ่งขึ้น

ฮาโรลด์ เจฟฟรีย์สได้ปรับปรุงมูลค่าต่างๆ ในปี 1948 ที่:

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780373{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}2891\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}9\cdot 10^{-6}}$

สูตรความโน้มถ่วงปกติของระบบอ้างอิงทางธรณีวิทยาปี 1967 กำหนดด้วยค่าดังต่อไปนี้:

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780318{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}3024\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}9\cdot 10^{-6}}$

จากคุณสมบัติของ GRS 80 จึงเกิดเป็นการขยายซีรีส์คลาสสิก:

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780327{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}3024\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}8\cdot 10^{-6}}$

ความแม่นยำอยู่ที่ประมาณ ±10 −6 ^m /s ²

GRS 80 ยังมีการขยายซีรี่ส์เพิ่มเติมดังต่อไปนี้:

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )=\gamma _{a}\cdot (1+c_{1}\cdot \sin ^{2}\varphi +c_{2}\cdot \sin ^{4}\varphi +c_{3}\cdot \sin ^{6}\varphi +c_{4}\cdot \sin ^{8}\varphi +\dots )}$

ดังนั้นพารามิเตอร์จึงเป็นดังนี้:

• c ₁  = 5.279 0414·10 ⁻³
• c ₂  = 2.327 18·10 ⁻⁵
• c ₃  = 1.262·10 ⁻⁷
• c ₄  = 7·10 ⁻¹⁰

ความแม่นยำอยู่ที่ประมาณ ±10 ⁻⁹ m/s² ^{อย่าง}แม่นยำ หากไม่ต้องการความแม่นยำสูง สามารถละเว้นพจน์ที่อยู่ถัดไปได้ แต่ขอแนะนำให้ใช้สูตรที่สรุปไว้แล้วนี้

ยานแคสสินิสได้กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างความสูงกับปัจจัยต่างๆ ดังนี้:

${\displaystyle g(\varphi ,h)=g_{0}(\varphi )-\left(3{.}08\cdot 10^{-6}\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}-4{.}19\cdot 10^{-7}\,{\frac {\mathrm {cm} ^{3}}{\mathrm {g} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot \rho \right)\cdot h}$

ค่า ความหนาแน่นเฉลี่ยของหิน (ρ) จะไม่ถูกนำมาพิจารณาอีกต่อไป

นับตั้งแต่ GRS ปี 1967 ความสัมพันธ์กับระดับความสูงเชิงทรงรี hมีดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}g(\varphi ,h)&=g_{0}(\varphi )-\left(1-1{.}39\cdot 10^{-3}\cdot \sin ^{2}(\varphi )\right)\cdot 3{.}0877\cdot 10^{-6}\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h+7{.}2\cdot 10^{-13}\,{\frac {1}{\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot h^{2}\\&=g_{0}(\varphi )-\left(3{.}0877\cdot 10^{-6}-4{.}3\cdot 10^{-9}\cdot \sin ^{2}(\varphi )\right)\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h+7{.}2\cdot 10^{-13}\,{\frac {1}{\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot h^{2}\end{aligned}}}$

อีกสำนวนหนึ่งคือ:

${\displaystyle g(\varphi ,h)=g_{0}(\varphi )\cdot (1-(k_{1}-k_{2}\cdot \sin ^{2}\varphi )\cdot h+k_{3}\cdot h^{2})}$

โดยใช้พารามิเตอร์ที่ได้มาจาก GRS80:

• ${\displaystyle k_{1}=2\cdot (1+f+m)/a=3{.}157\,04\cdot 10^{-7}\,\mathrm {m^{-1}} }$
• ${\displaystyle k_{2}=4\cdot f/a=2{.}102\,69\cdot 10^{-9}\,\mathrm {m^{-1}} }$
• ${\displaystyle k_{3}=3/(a^{2})=7{.}374\,52\cdot 10^{-14}\,\mathrm {m^{-2}} }$

โดยที่: ^{[ 8 ]}${\displaystyle m}$${\displaystyle \omega =7.2921150\cdot 10^{-5}\ rad\cdot s^{-1}}$

${\displaystyle m={\frac {\omega ^{2}\cdot a^{2}\cdot b}{GM}}}$

การปรับค่านี้เหมาะสมสำหรับระดับความสูงทั่วไปในการบินแต่สำหรับระดับความสูงถึงอวกาศ (สูงกว่าประมาณ 100 กิโลเมตร) นั้นอยู่นอกช่วงการปรับค่า

ในสำนักงานมาตรฐาน ของเยอรมนีทั้งหมด ค่าความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง  gจะถูกคำนวณโดยอ้างอิงจากละติจูดเฉลี่ย φ และความสูงเฉลี่ยเหนือระดับน้ำทะเล hโดยใช้ สูตร WELMEC :

${\displaystyle g(\varphi ,h)=\left(1+0{.}0053024\cdot \sin ^{2}(\varphi )-0{.}0000058\cdot \sin ^{2}(2\varphi )\right)\cdot 9{.}780318{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}-0{.}000003085\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h}$

สูตรนี้อิงตามสูตรแรงโน้มถ่วงสากลปี 1967

ขนาดของความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงอิสระ ณ สถานที่ใดสถานที่หนึ่งจะต้องได้รับการกำหนดด้วยการวัดค่าทางกลหลายค่าอย่างแม่นยำ เครื่องชั่งน้ำหนักซึ่งใช้มวลในการวัดเนื่องจากน้ำหนักนั้น อาศัยความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงอิสระ ดังนั้นในการใช้งานจึงต้องเตรียมเครื่องชั่งน้ำหนักให้มีค่าคงที่ที่แตกต่างกันในแต่ละสถานที่ใช้งาน ด้วยแนวคิดของโซนแรงโน้มถ่วงที่เรียกว่า ซึ่งแบ่งโดยใช้แรงโน้มถ่วงปกติ เครื่องชั่งน้ำหนักสามารถปรับเทียบโดยผู้ผลิตก่อนใช้งานได้^{[ 9 ]}

ความเร่งในการตกอย่างอิสระในชไวน์เฟิร์ต :

ข้อมูล:

• ละติจูด: 50° 3′ 24″ = 50.0567°
• ความสูงเหนือระดับน้ำทะเล: 229.7 เมตร
• ความหนาแน่นของแผ่นหิน: ประมาณ 2.6 กรัม/ซม^³
• ค่าความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงที่วัดได้: g = 9.8100 ± 0.0001 m/ ^s²

ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงปกติ คำนวณโดยใช้สูตรแรงโน้มถ่วงปกติ:

• แคสสินิส: g  = 9.81038 m/ ^s²
• เจฟฟรีย์: g  = 9.81027 m/ ^s²
• WELMEC: g  = 9.81004 m/ ^s²

• ความผิดปกติของแรงโน้มถ่วง
• ทรงรีอ้างอิง
• EGM96 (แบบจำลองแรงโน้มถ่วงของโลก ปี 1996)
• แรงโน้มถ่วงมาตรฐาน  : 9.806 65 m/ ^s²

• คาร์ล เลเดอร์สเตเกอร์ : ดาราศาสตร์และภูมิศาสตร์กายภาพ Handbuch der Vermessungskunde Band 5, 10. Auflage. เมตซ์เลอร์, สตุ๊ตการ์ท 1969
• B.Hofmann-Wellenhof, Helmut Moritz : ธรณีวิทยาเชิงกายภาพ , ISBN 3-211-23584-1สำนักพิมพ์ Springer-Verlag Wien ปี 2006
• โวล์ฟกัง ทอร์จ : Geodäsie . 2. การออฟลาจ วอลเตอร์ เดอ กรอยเตอร์ เบอร์ลิน ua 2003 ISBN 3-11-017545-2
• โวล์ฟกัง ทอร์จ : Geodäsie . Walter de Gruyter, เบอร์ลิน ปี 1975 ISBN 3-11-004394-7

• คำจำกัดความของระบบอ้างอิงทางภูมิศาสตร์ปี 1980 (GRS80) (pdf, ภาษาอังกฤษ; 70 kB)
• ระบบสารสนเทศแรงโน้มถ่วงจากPhysikalisch-Technischen Bundesanstalt , อังกฤษ
• ออนไลน์-Berechnung der Normalschwere mit verschiedenen Normalschwereformeln