ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่อง ณ จุดใด ๆหรือเรียกว่าฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องทุกที่คือฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องณ จุดใด ๆ ในโดเมน ของมัน ถ้าเป็นฟังก์ชันจากจำนวนจริงไปยังจำนวนจริง ฟังก์ชันนั้นจะไม่ต่อเนื่อง ณ จุดใด ๆ ก็ต่อเมื่อ สำหรับแต่ละจุดจะมีค่าอยู่ค่าหนึ่งที่ทำให้ สำหรับทุก ๆเราสามารถหาจุดได้ที่ทำให้และดังนั้น ไม่ว่าฟังก์ชันจะเข้าใกล้จุดใด ๆ มากเพียงใด ก็ยังมีจุดที่ใกล้กว่านั้นซึ่งฟังก์ชันจะมีค่าที่ไม่ใกล้เคียงกัน ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0,}$${\displaystyle y}$${\displaystyle |xy|<\delta }$${\displaystyle |f(x)-f(y)|\geq \varepsilon }$

สามารถกำหนดนิยามทั่วไปของฟังก์ชันประเภทนี้ได้มากขึ้น โดยการแทนที่ค่าสัมบูรณ์ด้วยฟังก์ชันระยะทางในปริภูมิเมตริกหรือโดยการใช้นิยามของความต่อเนื่องในปริภูมิเชิงทอพอโลยี

ตัวอย่างหนึ่งของฟังก์ชันดังกล่าวคือฟังก์ชันตัวบ่งชี้ของจำนวนตรรกยะหรือที่รู้จักกันในชื่อฟังก์ชัน Dirichletฟังก์ชันนี้เขียนแทนด้วยและมีโดเมนและโคโดเมนเท่ากับจำนวนจริงตามนิยามจะมีค่าเท่ากับถ้าเป็นจำนวนตรรกยะและจะมีค่าเท่ากับ ในกรณีอื่น ๆ ${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle \mathbf {1} _{\mathbb {Q} }(x)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 0}$

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเป็นเซตย่อยใดๆ ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่ทั้งและส่วนเติมเต็มของมีความหนาแน่นในแล้วฟังก์ชันค่าจริงซึ่งมีค่าเป็น บนและบนส่วนเติมเต็มของจะไม่มีความต่อเนื่องที่ใดเลย ฟังก์ชันประเภทนี้ได้รับการศึกษาครั้งแรกโดยPeter Gustav Lejeune Dirichlet ^{[ 1 ]}${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle E}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle E}$

ฟังก์ชันเรียกว่าฟังก์ชันบวกได้ก็ต่อเมื่อมันสอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชันของโคชีตัวอย่าง เช่น ทุกแผนที่ในรูปแบบโดยที่เป็นค่าคงที่บางค่า จะเป็นฟังก์ชันบวกได้ (อันที่จริง มันเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นและต่อเนื่อง) ยิ่งไปกว่านั้น ทุกแผนที่เชิงเส้นจะมีรูปแบบนี้ (โดยการเลือก) ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$$${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\quad {\text{ สำหรับทุก }}x,y\in \mathbb {R} .}$$${\displaystyle x\mapsto cx,}$${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$${\displaystyle L:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle c:=L(1)}$

ถึงแม้ว่า ฟังก์ชันเชิงเส้นทุกฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันบวก แต่ฟังก์ชันบวกทุกฟังก์ชันไม่ใช่ฟังก์ชันเชิงเส้น ฟังก์ชันบวกจะเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นก็ต่อเมื่อมีจุดหนึ่งที่ฟังก์ชันนั้นต่อเนื่อง ซึ่งในกรณีนี้ฟังก์ชันนั้นจะต่อเนื่องทุกที่ ดังนั้น ฟังก์ชันบวกที่ไม่เป็นเชิงเส้นทุกฟังก์ชันจึงไม่ต่อเนื่องที่ทุกจุดในโดเมนของมัน อย่างไรก็ตาม การจำกัดฟังก์ชันบวกใดๆบนเซตของจำนวนจริงที่เป็นผลคูณของจำนวนตรรกยะจะต่อเนื่อง กล่าวคือ สำหรับทุกจำนวนจริงการจำกัดบนเซตนั้นเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ดังนั้น ถ้าเป็นฟังก์ชันบวกที่ไม่เป็นเชิงเส้นแล้ว สำหรับทุกจุดจะไม่ต่อเนื่องที่แต่ก็อยู่ในเซตย่อยหนาแน่น บางเซต ซึ่งการจำกัดของ นั้นต่อเนื่อง (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้เลือกถ้าและเลือกถ้า) ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle r\in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle f{\big \vert }_{r\mathbb {Q} }:r\,\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle r\,\mathbb {Q} :=\{rq:q\in \mathbb {Q} \}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\vert _{D}:D\to \mathbb {R} }$${\displaystyle D:=x\,\mathbb {Q} }$${\displaystyle x\neq 0,}$${\displaystyle D:=\mathbb {Q} }$${\displaystyle x=0}$

ฟังก์ชันเชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี สองปริภูมิ เช่นปริภูมิบรรทัดฐานเป็นต้น จะต่อเนื่อง (ทุกที่) ก็ต่อเมื่อมีจุดหนึ่งที่ฟังก์ชันนั้นต่อเนื่อง ซึ่งในกรณีนั้น ฟังก์ชันนั้นจะต่อเนื่องอย่างสม่ำเสมอ ด้วย ดังนั้น ฟังก์ชันเชิงเส้นทุกฟังก์ชันจึงต่อเนื่องทุกที่หรือไม่ก็ไม่ต่อเนื่องที่ใดเลยฟังก์ชันเชิงเส้น ทุกฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นและในปริภูมิบรรทัดฐานมิติอนันต์ทุกปริภูมิ จะมีฟังก์ชันเชิงเส้นที่ไม่ต่อเนื่อง อยู่บาง ฟังก์ชัน

ฟังก์ชันฐาน 13 ของคอนเวย์ไม่ต่อเนื่องในทุกจุด

ฟังก์ชันจริงจะไม่มีความต่อเนื่องที่ใดเลย หาก ส่วนขยาย ไฮเปอร์เรียล ตามธรรมชาติของฟังก์ชันนั้น มีคุณสมบัติที่ว่าทุกค่าของฟังก์ชันนั้นอยู่ใกล้กับค่า a อย่างไม่มีที่สิ้นสุด โดยที่ความแตกต่างนั้นมีนัยสำคัญ (กล่าวคือ ไม่ใช่ค่าเล็กน้อย ) ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f(x)-f(y)}$

• ทฤษฎีบทบลัมเบิร์ก  – แม้ว่าฟังก์ชันจริงจะไม่ต่อเนื่องที่ใดเลย แต่ก็ยังมีเซตย่อยหนาแน่นของซึ่งการจำกัดของไปยังนั้นมีความต่อเนื่อง${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle D}$
• ฟังก์ชันของโทมาเอ (หรือที่รู้จักกันในชื่อฟังก์ชันป๊อปคอร์น) – ฟังก์ชันที่ต่อเนื่องที่จำนวนอตรรกยะทั้งหมด และไม่ต่อเนื่องที่จำนวนตรรกยะทั้งหมด
• ฟังก์ชันเวียร์สตรัส  – ฟังก์ชันที่ต่อเนื่องทุกที่ (ภายในโดเมนของมัน) และ ไม่ สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ใดเลย

• "ฟังก์ชัน Dirichlet" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• ฟังก์ชัน Dirichlet — จาก MathWorld
• ฟังก์ชัน Dirichlet ที่ได้รับการดัดแปลงถูกเก็บถาวรเมื่อวันที่ 2 พฤษภาคม 2019 ที่Wayback Machineโดย George Beck จากโครงการWolfram Demonstrations Project