ในวิชาฟิสิกส์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีสนามควอนตัมการจัดเรียงตัวของระบบทางกายภาพที่สอดคล้องกับสมการการเคลื่อนที่ แบบคลาสสิก เรียกว่าอยู่ในขอบเขตมวล ( on shell ) ในขณะที่การจัดเรียงตัวที่ไม่สอดคล้องกับสมการดังกล่าวเรียกว่าอยู่นอกขอบเขตมวล ( off shell )

ในทฤษฎีสนามควอนตัมอนุภาคเสมือนเรียกว่า นอกเปลือก (off shell) เพราะไม่สอดคล้องกับความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานและโมเมนตัมอนุภาคแลกเปลี่ยนจริงสอดคล้องกับความสัมพันธ์นี้และเรียกว่า บนเปลือก (มวล) (on shell) ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}ตัวอย่างเช่นในกลศาสตร์คลาสสิก ในการกำหนดสูตร แอคชั่น ผลเฉลยสุดขั้วของหลักการแปรผันอยู่บนเปลือก และสมการออยเลอร์-ลากรางจ์ให้สมการบนเปลือก ทฤษฎีบทของโนเธอร์เกี่ยวกับสมมาตรที่หาอนุพันธ์ได้ของแอคชั่นทางกายภาพและกฎการอนุรักษ์เป็นทฤษฎีบทบนเปลือกอีกทฤษฎีบทหนึ่ง

มวลเปลือก (Mass shell) เป็นคำพ้องความหมายของมวลไฮเปอร์โบโลอิด (Mass hyperboloid ) ซึ่งหมายถึงไฮเปอร์โบโลอิดในปริภูมิพลังงาน - โมเมนตัมที่อธิบายคำตอบของสมการ:

${\displaystyle E^{2}-|{\vec {p}}\,|^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}}$

สูตรสมดุลมวล-พลังงานซึ่งให้พลังงานในรูปของโมเมนตัมและมวลนิ่งของอนุภาค สมการสำหรับเปลือกมวลมักเขียนในรูปของโมเมนตัมสี่มิติ ด้วยเช่นกัน ในสัญกรณ์ของไอน์สไตน์ด้วยเครื่องหมายเมตริก (+,−,−,−) และหน่วยที่ความเร็วแสงเป็นในเอกสารทางวิชาการ อาจพบการใช้เครื่องหมายเมตริก (−,+,+,+) ได้เช่นกัน${\displaystyle E}$${\displaystyle {\vec {p}}}$${\displaystyle m_{0}}$${\displaystyle c=1}$${\displaystyle p^{\mu }p_{\mu }\equiv p^{2}=m_{0}^{2}}$${\displaystyle p^{\mu }p_{\mu }=-m_{0}^{2}}$

โมเมนตัมสี่มิติของอนุภาคเสมือนที่แลกเปลี่ยนกันคือโดยมีมวลโมเมนตัมสี่มิติ ของอนุภาคเสมือนคือผลต่างระหว่างโมเมนตัมสี่มิติของอนุภาคขาเข้าและขาออก ${\displaystyle X}$${\displaystyle q_{\mu }}$${\displaystyle q^{2}=m_{X}^{2}}$${\displaystyle q_{\mu }}$

โดยทั่วไป อนุภาคเสมือนที่สอดคล้องกับตัวแพร่ ภายใน ในแผนภาพ Feynmanสามารถอยู่นอกเปลือกได้ แต่แอมพลิจูดของกระบวนการจะลดลงขึ้นอยู่กับว่าอยู่นอกเปลือกไกลแค่ไหน^{[ 4 ]}ทั้งนี้เนื่องจากการพึ่งพาของตัวแพร่ถูกกำหนดโดยโมเมนตัมสี่มิติของอนุภาคขาเข้าและขาออก โดยทั่วไปตัวแพร่จะมีจุดเอกฐานบนเปลือกมวล^{[ 5 ]}${\displaystyle q^{2}}$

เมื่อพูดถึงตัวแพร่กระจาย ค่าลบที่สอดคล้องกับสมการนั้นถือว่าอยู่บนเปลือก (on-shell) แม้ว่าทฤษฎีคลาสสิกจะไม่ยอมให้ค่าพลังงานของอนุภาคเป็นลบก็ตาม เนื่องจากตัวแพร่กระจายได้รวมกรณีที่อนุภาคมีพลังงานในทิศทางหนึ่ง และกรณีที่ปฏิอนุภาคมีพลังงานในอีกทิศทางหนึ่ง เข้าไว้ในนิพจน์เดียว ดังนั้น ค่าลบและค่าบวกบนเปลือกจึงเป็นเพียงการแสดงถึงการไหลของพลังงานบวกที่สวนทางกัน ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

ตัวอย่างหนึ่งมาจากการพิจารณาฟิลด์สเกลาร์ในปริภูมิ Minkowski มิติ D พิจารณาความหนาแน่นของ Lagrangianที่กำหนดโดย. แอคชั่นคือ: ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi )}$

${\displaystyle S=\int d^{D}x\,{\mathcal {L}}(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi )}$

สมการออยเลอร์-ลากรางจ์สำหรับแอคชั่นนี้สามารถหาได้โดยการเปลี่ยนแปลงค่าฟิลด์และอนุพันธ์ของฟิลด์ แล้วตั้งค่าการเปลี่ยนแปลงเป็นศูนย์ซึ่งจะได้สมการดังนี้:

${\displaystyle \partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}}$

ทีนี้ ลองพิจารณาการเลื่อนตำแหน่งในปริภูมิ เวลาแบบอนันต์ ความหนาแน่นของลากรางจ์เป็นปริมาณสเกลาร์ ดังนั้นมันจะแปลงรูปอย่างอนันต์ตามการแปลงแบบอนันต์ ในทางกลับกัน โดยการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์เราจะได้ว่าโดยทั่วไป: ${\displaystyle x^{\mu }\rightarrow x^{\mu }+\alpha ^{\mu }}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}\delta \varphi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\delta (\partial _{\mu }\varphi )}$

เมื่อแทนค่าและสังเกตว่า(เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงเป็นอิสระต่อกันในแต่ละจุดของกาลอวกาศ): ${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \delta (\partial _{\mu }\varphi )=\partial _{\mu }(\delta \varphi )}$

${\displaystyle \alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\varphi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\varphi )}}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi }$

เนื่องจากหลักการนี้ต้องใช้ได้กับการแปลที่เป็นอิสระเราจึงสามารถ "หาร" ด้วยและเขียนได้ดังนี้: ${\displaystyle \alpha ^{\mu }=(\varepsilon ,0,\ldots ,0),(0,\varepsilon ,\ldots ,0),\ldots }$${\displaystyle \alpha ^{\mu }}$

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}\partial _{\mu }\varphi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\varphi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi }$

นี่เป็นตัวอย่างของสมการที่ใช้ได้ กับโครงสร้าง แบบเปลือก (shell ) เนื่องจากสมการนี้ใช้ได้กับการจัดเรียงสนามใดๆ ก็ตาม โดยไม่คำนึงว่าจะสอดคล้องกับสมการการเคลื่อนที่หรือไม่ (ในกรณีนี้คือสมการออยเลอร์-ลากรางจ์ที่กล่าวไว้ข้างต้น) อย่างไรก็ตาม เราสามารถหา สมการที่ใช้ได้กับโครงสร้าง แบบเปลือกได้โดยการแทนที่สมการออยเลอร์-ลากรางจ์ลงไป:

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {L}}=\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\varphi )}}\partial _{\mu }\varphi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\varphi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi }$

เราสามารถเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\varphi )}}\partial _{\mu }\varphi -\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}\right)=0}$

และถ้าเรากำหนดปริมาณในวงเล็บเป็นเราจะได้ว่า: ${\displaystyle T^{\nu }{}_{\mu }}$

${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\nu }{}_{\mu }=0}$

นี่เป็นตัวอย่างหนึ่งของทฤษฎีบทของ Noether ในที่นี้ ปริมาณอนุรักษ์คือเทนเซอร์พลังงานความเครียดซึ่งจะอนุรักษ์ได้เฉพาะบนเปลือกเท่านั้น กล่าวคือ ถ้าสมการการเคลื่อนที่เป็นไปตามเงื่อนไข