ในสถิติประยุกต์ การประมาณค่าที่เหมาะสมที่สุดคือวิธีการหาเมทริกซ์ ผกผัน แบบปรับปรุง โดยอาศัยทฤษฎีบทของเบย์สวิธีนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายในสาขาธรณีวิทยาโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการสำรวจชั้นบรรยากาศปัญหาการหาเมทริกซ์ผกผันมีลักษณะดังนี้:

${\displaystyle \mathbf {A} {\vec {x}}={\vec {y}}}$

แนวคิดหลักคือการแปลงเมทริกซ์Aให้เป็นความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขและตัวแปรต่างๆให้เป็นการกระจายความน่าจะเป็น โดยสมมติว่าสถิติเป็นแบบเกาส์เซียน และใช้เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมที่กำหนดขึ้นจากข้อมูลเชิงประจักษ์ ${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle {\vec {y}}}$

โดยทั่วไปแล้ว เราคาดว่าสถิติของการวัดส่วนใหญ่จะเป็นแบบเกาส์เซียนดังนั้น ตัวอย่างเช่น สำหรับเราสามารถเขียนได้ดังนี้: ${\displaystyle P({\vec {y}}|{\vec {x}})}$

${\displaystyle P({\vec {y}}|{\vec {x}})={\frac {1}{(2\pi )^{mn/2}|{\boldสัญลักษณ์ {S_{y}}}|}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}({\boldสัญลักษณ์ {A}}{\vec {x}}-{\vec {y}})^{T}{\boldสัญลักษณ์ {S_{y}}}^{-1}({\boldสัญลักษณ์ {A}}{\vec {x}}-{\vec {y}})\right]}$

โดยที่mและnคือจำนวนองค์ประกอบในและตามลำดับคือเมทริกซ์ที่จะต้องแก้ไข (แบบจำลองเชิงเส้นหรือแบบจำลองเชิงเส้นแบบส่งต่อ) และคือเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของเวกเตอร์สามารถทำเช่นเดียวกันนี้ได้สำหรับ: ${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle {\vec {y}}}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {A}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {S_{y}}}}$${\displaystyle {\vec {y}}}$${\displaystyle {\vec {x}}}$

${\displaystyle P({\vec {x}})={\frac {1}{(2\pi )^{m/2}|{\boldsymbol {S_{x_{a}}}}|}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}({\vec {x}}-{\widehat {x_{a}}})^{T}{\boldsymbol {S_{x_{a}}}}^{-1}({\vec {x}}-{\widehat {x_{a}}})\right]}$

ในที่นี้ถือว่าเป็นการแจกแจงแบบ "a-priori" โดยที่ แทนค่า a-priori สำหรับและคือเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม ${\displaystyle P({\vec {x}})}$${\displaystyle {\widehat {x_{a}}}}$${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {S_{x_{a}}}}}$

ข้อดีของการแจกแจงแบบเกาส์เซียนคือ เราต้องการเพียงสองพารามิเตอร์ในการอธิบายเท่านั้น ดังนั้นปัญหาทั้งหมดจึงสามารถแปลงกลับไปเป็นเมทริกซ์ได้อีกครั้ง โดยสมมติว่ามีรูปแบบดังต่อไปนี้: ${\displaystyle P({\vec {x}}|{\vec {y}})}$

${\displaystyle P({\vec {x}}|{\vec {y}})={\frac {1}{(2\pi )^{mn/2}|{\boldsymbol {S_{x}}}|}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}({\vec {x}}-{\widehat {x}})^{T}{\boldsymbol {S_{x}}}^{-1}({\vec {x}}-{\widehat {x}})\right]}$

${\displaystyle P({\vec {y}})}$อาจละเลยได้ เนื่องจากสำหรับค่าที่กำหนดของมันเป็นเพียงพจน์การปรับขนาดคงที่ ตอนนี้สามารถหาค่าคาดหวังของ, , และเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมได้โดยการเทียบและซึ่งจะได้สมการต่อไปนี้: ${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle {\widehat {x}}}$${\displaystyle P({\vec {x}}|{\vec {y}})}$${\displaystyle P({\vec {y}}|{\vec {x}})P({\vec {x}})}$

${\displaystyle {\boldsymbol {S_{x}}}=({\boldsymbol {A}}^{T}{\boldsymbol {S_{y}^{-1}}}{\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {S_{x_{a}}^{-1}}})^{-1}}$

${\displaystyle {\widehat {x}}={\widehat {x_{a}}}+{\boldsymbol {S_{x}}}{\boldsymbol {A}}^{T}{\boldsymbol {S_{y}}}^{-1}({\vec {y}}-{\boldsymbol {A}}{\widehat {x_{a}}})}$

เนื่องจากเราใช้การแจกแจงแบบเกาส์เซียนค่าที่คาดหวังจึงเทียบเท่ากับค่าที่เป็นไปได้สูงสุด ดังนั้นนี่จึงเป็นรูปแบบหนึ่งของการประมาณค่า ความน่าจะเป็นสูงสุด เช่นกัน

โดยทั่วไป ในการประมาณค่าแบบเหมาะสมที่สุด นอกเหนือจากเวกเตอร์ของปริมาณที่ดึงมาแล้ว ยังมีเมทริกซ์เพิ่มเติมอีกหนึ่งเมทริกซ์ที่ส่งคืนมาพร้อมกับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม เมทริกซ์นี้บางครั้งเรียกว่าเมทริกซ์ความละเอียดหรือเคอร์เนลเฉลี่ย และคำนวณได้ดังนี้:

${\displaystyle {\boldsymbol {R}}=({\boldsymbol {A}}^{T}{\boldsymbol {S_{y}}}^{-1}{\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {S_{x_{a}}}}^{-1})^{-1}{\boldsymbol {A}}^{T}{\boldsymbol {S_{y}}}^{-1}{\boldsymbol {A}}}$

ข้อมูลนี้บอกเราว่า สำหรับองค์ประกอบใดองค์ประกอบหนึ่งของเวกเตอร์ที่ดึงมานั้น มีองค์ประกอบอื่น ๆ ของเวกเตอร์ผสมอยู่มากน้อยเพียงใด ในกรณีของการดึงข้อมูลโปรไฟล์ โดยทั่วไปแล้วจะบ่งชี้ความละเอียดของระดับความสูงสำหรับระดับความสูงที่กำหนด ตัวอย่างเช่น หากเวกเตอร์ความละเอียดสำหรับระดับความสูงทั้งหมดมีองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ (ภายในค่าความคลาดเคลื่อนเชิงตัวเลข) ในเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดสี่ตัว ความละเอียดของระดับความสูงนั้นจะมีเพียงหนึ่งในสี่ของขนาดกริดจริง