ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในทฤษฎีเซตและทฤษฎีลำดับ เซต ที่มีลำดับ สองเซตXและYกล่าวได้ว่ามีประเภทลำดับ เดียวกัน ถ้าเซตทั้งสองเป็นไอโซมอร์ฟิกเชิงลำดับกล่าวคือ ถ้ามี การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ทั่วถึง (แต่ละสมาชิกจับคู่กับสมาชิกเพียงหนึ่งเดียวในอีกเซตหนึ่ง) ซึ่งทำให้ทั้งfและฟังก์ชันผกผัน ของ f เป็นฟังก์ชันเอกภาค (รักษาลำดับของสมาชิก) ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

ในกรณีพิเศษที่Xเป็นฟังก์ชันเรียงลำดับสมบูรณ์ความเป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้นของfจะบ่งบอกถึงความเป็นฟังก์ชันเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันผกผันของ f โดยอัตโนมัติ

เซตเดียวกันอาจมีลำดับที่แตกต่างกันได้ เนื่องจากความเท่าเทียมกันของลำดับเป็นความสัมพันธ์สมมูลจึงแบ่งกลุ่ม ของ เซตที่มีลำดับทั้งหมดออกเป็นกลุ่ม สมมูล

ถ้าเซตมีประเภทลำดับที่แสดงด้วยประเภทลำดับของลำดับกลับด้าน ซึ่งเป็นคู่ของจะแสดงด้วย ${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma ^{*}}$

^{ประเภทลำดับ ของ}เซตที่มีลำดับที่ดีXบางครั้งแสดงเป็นord( X ) [ ^{1 ]}

โดยทั่วไปแล้ว ประเภทลำดับของจำนวนเต็มและจำนวนตรรกยะจะถูกแทน ด้วย และตามลำดับเซตของจำนวนเต็มและเซตของ จำนวนเต็ม คู่มีประเภทลำดับเดียวกัน เพราะการจับคู่เป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงที่รักษาลำดับไว้ แต่เซตของจำนวนเต็มและเซตของจำนวนตรรกยะ (ที่มีลำดับมาตรฐาน) ไม่มีประเภทลำดับเดียวกัน เพราะถึงแม้ว่าเซตจะมีขนาด เท่ากัน (ทั้งคู่เป็นอนันต์นับได้ ) แต่ก็ไม่มีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงที่รักษาลำดับไว้ระหว่างกัน ช่วงเปิด(0, 1)ของจำนวนตรรกยะมีลำดับสมมาตรกับจำนวนตรรกยะ เนื่องจากตัวอย่างเช่นเป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดจากช่วงแรกไปยังช่วงหลัง ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องในลักษณะนี้จะขยายความเพิ่มเติมด้านล่าง ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle n\mapsto 2n}$${\displaystyle f(x)={\tfrac {2x-1}{1-\vert {2x-1}\vert }}}$

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างเพิ่มเติม: เซตของจำนวนเต็มบวก (ซึ่งมีสมาชิกที่เล็กที่สุด) และเซตของจำนวนเต็มลบ (ซึ่งมีสมาชิกที่ใหญ่ที่สุด) จำนวนธรรมชาติมีประเภทลำดับที่ใช้สัญลักษณ์ ω ดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง

จำนวนตรรกยะที่อยู่ในช่วงครึ่งปิด [0,1) และ (0,1] และช่วงปิด [0,1] เป็นตัวอย่างประเภทลำดับเพิ่มเติมอีกสามตัวอย่าง

เซตที่มีลำดับที่ดีทุก เซต จะเทียบเท่ากับจำนวนเชิงอันดับ เพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น จำนวนเชิงอันดับถือเป็นตัวแทนมาตรฐานของกลุ่มของมัน ดังนั้นประเภทลำดับของเซตที่มีลำดับที่ดีจึงมักถูกระบุว่าเป็นจำนวนเชิงอันดับที่สอดคล้องกัน ประเภทลำดับจึงมักอยู่ในรูปของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเชิงอันดับ

ประการแรก ประเภทลำดับของเซตของจำนวนธรรมชาติคือωแบบจำลองอื่นๆ ของเลขคณิตของพีอาโนซึ่งก็คือแบบจำลองที่ไม่เป็นมาตรฐานจะเริ่มต้นด้วยเซกเมนต์ที่สมมาตรกับ ω แต่จากนั้นจะเพิ่มจำนวนพิเศษเข้าไป ตัวอย่างเช่น แบบจำลองที่นับได้ใดๆ จะมีประเภทลำดับเป็นω + (ω* + ω) ⋅ η

ประการที่สอง พิจารณาเซตVของลำดับคู่ที่น้อยกว่าω ⋅ 2 + 7 :

${\displaystyle V=\{0,2,4,\ldots ;\omega ,\omega +2,\omega +4,\ldots ;\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+2,\omega \cdot 2+4,\omega \cdot 2+6\}.}$

เนื่องจากลำดับนี้ประกอบด้วยลำดับการนับสองลำดับแยกกัน ตามด้วยองค์ประกอบสี่ตัวในตอนท้าย ดังนั้นประเภทของลำดับจึงเป็นดังนี้

${\displaystyle \operatorname {ord} (V)=\omega \cdot 2+4=\{0,1,2,\ldots ;\omega ,\omega +1,\omega +2,\ldots ;\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\omega \cdot 2+2,\omega \cdot 2+3\},}$

เมื่อพิจารณาตามลำดับมาตรฐานของจำนวนแล้ว เซตของจำนวนตรรกยะไม่ได้เรียงลำดับอย่างดี และ เซตของจำนวนจริง ที่สมบูรณ์ ก็ไม่ได้เรียงลำดับอย่างดี เช่นกัน

เซตจำนวนนับได้ใดๆสามารถแมปแบบหนึ่งต่อหนึ่งไปยังจำนวนตรรกยะได้โดยรักษาลำดับไว้ ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อลำดับมีความหนาแน่นและไม่มีสมาชิกสูงสุดหรือต่ำสุด ก็จะมีการจับคู่แบบ หนึ่งต่อหนึ่งที่รักษาลำดับ ไว้ไป ยังเซตจำนวนนับได้ นั้นด้วย ซึ่งเนื่องจากลำดับนั้นเป็นลำดับสมบูรณ์ จึงจำเป็นต้องเป็นไอโซมอร์ฟิซึมของลำดับดังนั้น ประเภทลำดับของเซตจำนวนนับได้ใดๆ จึงเป็นประเภทลำดับของจำนวนตรรกยะนั่นเอง ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• เป็นระเบียบเรียบร้อย

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ประเภทลำดับ" . แมธเวิลด์ .