ในทางคณิตศาสตร์ปริภูมิ ของ ลำดับออร์ลิซ (Orlicz sequence space) คือ ปริภูมิเชิงเส้นของลำดับค่าส เกลาร์ ในกลุ่มหนึ่ง ซึ่งมี บรรทัดฐานพิเศษที่ระบุไว้ด้านล่าง ภายใต้บรรทัดฐานนี้ ปริภูมิดังกล่าวจะกลายเป็นปริภูมิบานาค (Banach space ) ปริภูมิของลำดับออร์ลิซ เป็นการขยายความของ ปริภูมิอื่นๆ และมีบทบาทสำคัญในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันปริภูมิของลำดับออร์ลิซเป็นตัวอย่างเฉพาะของปริภูมิออร์ลิซ ${\displaystyle \ell _{p}}$

กำหนดค่าให้หมายถึงฟิลด์สเกลาร์จริงหรือเชิงซ้อน เรากล่าวว่าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชัน Orliczถ้าฟังก์ชันนั้นต่อเนื่อง ไม่ลดลง และ (อาจจะไม่เคร่งครัด) นูน โดยมีและในกรณีพิเศษที่มีโดยที่สำหรับทุกค่าเรียกว่าฟังก์ชันเสื่อมสภาพ ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle M:[0,\infty )\to [0,\infty )}$${\displaystyle M(0)=0}$${\textstyle \lim _{t\to \infty }M(t)=\infty }$${\displaystyle b>0}$${\displaystyle M(t)=0}$${\displaystyle t\in [0,b]}$

ต่อไปนี้ เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น เราจะถือว่าฟังก์ชัน Orlicz ทั้งหมดเป็นฟังก์ชันที่ไม่เสื่อมสภาพ ซึ่งหมายความว่าสำหรับทุกๆ ${\displaystyle M(t)>0}$${\displaystyle t>0}$

สำหรับชุด ลำดับสเกลาร์แต่ละชุด${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

${\displaystyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{M}=\inf \left\{\rho >0:\sum _{n=1}^{\infty }M(|a_{n}|/\rho )\leqslant 1\right\}.}$

จากนั้นเรากำหนดปริภูมิของลำดับออร์ลิซซ์โดยสัมพันธ์ กับ ซึ่งแทนด้วย ว่าเป็นปริภูมิเชิงเส้นของทั้งหมดโดยที่สำหรับบางค่าซึ่งมีนอร์มเป็น ${\displaystyle M}$${\displaystyle \ell _{M}}$${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }M(|a_{n}|/\rho )<\infty }$${\displaystyle \rho >0}$${\displaystyle \|\cdot \|_{M}}$

นิยามอีกสองข้อจะมีความสำคัญในการอภิปรายต่อไปนี้ ฟังก์ชัน Orlicz กล่าวได้ว่าสอดคล้องกับ เงื่อนไข Δ ₂ที่ศูนย์เมื่อใดก็ตามที่ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \limsup _{t\to 0}{\frac {M(2t)}{M(t)}}<\infty .}$

เราใช้สัญลักษณ์ แทนปริภูมิย่อยของลำดับสเกลาร์โดยที่สำหรับทุกๆ ${\displaystyle h_{M}}$${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \ell _{M}}$${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }M(|a_{n}|/\rho )<\infty }$${\displaystyle \rho >0}$

ปริภูมินี้เป็นปริภูมิบานาค และเป็นการขยายปริภูมิแบบคลาสสิกในความหมายที่แม่นยำดังต่อไปนี้: เมื่อ, , แล้วจะตรงกับนอร์ม - และดังนั้น; ถ้าเป็นฟังก์ชันออร์ลิคซ์ที่เสื่อมสภาพแล้วจะตรงกับนอร์ม - และดังนั้นในกรณีพิเศษนี้ และเมื่อเสื่อมสภาพ ${\displaystyle \ell _{M}}$${\displaystyle \ell _{p}}$${\displaystyle M(t)=t^{p}}$${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$${\displaystyle \|\cdot \|_{M}}$${\displaystyle \ell _{p}}$${\displaystyle \ell _{M}=\ell _{p}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \|\cdot \|_{M}}$${\displaystyle \ell _{\infty }}$${\displaystyle \ell _{M}=\ell _{\infty }}$${\displaystyle h_{M}=c_{0}}$${\displaystyle M}$

โดยทั่วไป เวกเตอร์หน่วยอาจไม่สามารถเป็นฐานสำหรับ ได้ดังนั้นผลลัพธ์ต่อไปนี้จึงมีความสำคัญอย่างยิ่ง ${\displaystyle \ell _{M}}$

ทฤษฎีบทที่ 1. ถ้าเป็นฟังก์ชันออร์ลิซ แล้วเงื่อนไขต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน: ${\displaystyle M}$

ฟังก์ชัน Orlicz สองฟังก์ชันและที่สอดคล้องกับเงื่อนไข Δ ₂ที่ศูนย์เรียกว่าสมมูลกันเมื่อใดก็ตามที่มีค่าคงที่บวกอยู่ซึ่งสำหรับทุก กรณีนี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อฐานเวกเตอร์หน่วยของและสมมูลกัน ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle A,B,b>0}$${\displaystyle AN(t)\leqslant M(t)\leqslant BN(t)}$${\displaystyle t\in [0,b]}$${\displaystyle \ell _{M}}$${\displaystyle \ell _{N}}$

${\displaystyle \ell _{M}}$สามารถเป็นไอโซมอร์ฟิกกับได้โดยที่ฐานเวกเตอร์หน่วยของพวกมันไม่จำเป็นต้องเท่ากัน (ดูตัวอย่างด้านล่างของปริภูมิของลำดับออร์ลิซซ์ที่มีฐานสมมาตรสองฐานที่ไม่เท่ากัน) ${\displaystyle \ell _{N}}$

ทฤษฎีบทที่ 2.ให้เป็นฟังก์ชันออร์ลิซ แล้วเป็นฟังก์ชันสะท้อนกลับก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle M}$${\displaystyle \ell _{M}}$

${\displaystyle \liminf _{t\to 0}{\frac {tM'(t)}{M(t)}}>1\;\;}$และ.${\displaystyle \;\;\limsup _{t\to 0}{\frac {tM'(t)}{M(t)}}<\infty }$

ทฤษฎีบทที่ 3 (เค.เจ. ลินด์เบิร์ก) ให้เป็นปริภูมิย่อยปิดมิติอนันต์ของปริภูมิลำดับออร์ลิคซ์ที่แยกได้แล้วมีปริภูมิย่อยที่สมisomorphic กับปริภูมิลำดับออร์ลิค ซ์บางปริภูมิ สำหรับฟังก์ชันออร์ลิคซ์บาง ฟังก์ชัน ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข Δ² _ที่ศูนย์ นอกจากนี้ ถ้ามีฐานแบบไม่มีเงื่อนไข แล้วสามารถเลือก ให้เป็นส่วนเติมเต็มใน ได้และถ้ามีฐานสมมาตร แล้ว ตัวมันเองจะสม isomorphic กับ${\displaystyle X}$${\displaystyle \ell _{M}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \ell _{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \ell _{N}}$

ทฤษฎีบทที่ 4 (ลินเดนสเตราส์/ซาฟริรี) ปริภูมิของลำดับออร์ลิคซ์ที่แยกได้ทุกปริภูมิจะมีปริภูมิย่อยที่สมมาตรกับปริภูมิออร์ลิคซ์สำหรับบางค่า ${\displaystyle \ell _{M}}$${\displaystyle \ell _{p}}$${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$

บทสรุป. ปริภูมิย่อยปิดมิติอนันต์ทุกปริภูมิของลำดับออร์ลิคซ์แบบแยกได้ จะมีปริภูมิย่อยอีกปริภูมิหนึ่งที่สมมาตรกับปริภูมิย่อยนั้นสำหรับบางค่า ${\displaystyle \ell _{p}}$${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$

โปรดสังเกตว่าในทฤษฎีบทที่ 4 ข้างต้น สำเนาของอาจไม่ถูกเลือกให้เป็นส่วนเติมเต็มเสมอไป ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ${\displaystyle \ell _{p}}$

ตัวอย่าง (Lindenstrauss/Tzafriri) มีปริภูมิของลำดับ Orlicz ที่แยกได้และสะท้อนกลับได้ซึ่งไม่สามารถบรรจุสำเนาที่เติมเต็มของสำหรับทุก ๆ ได้ปริภูมิเดียวกันนี้ประกอบด้วยฐานสมมาตรที่ไม่สมมูลกันอย่างน้อยสองฐาน ${\displaystyle \ell _{M}}$${\displaystyle \ell _{p}}$${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty }$${\displaystyle \ell _{M}}$

ทฤษฎีบทที่ 5 (KJ Lindberg & Lindenstrauss/Tzafriri) ถ้าเป็นปริภูมิของลำดับออร์ลิซซ์ที่สอดคล้องกับ(กล่าวคือ ลิมิตสองด้านมีอยู่) แล้วข้อความต่อไปนี้ทั้งหมดเป็นจริง ${\displaystyle \ell _{M}}$${\textstyle \liminf _{t\to 0}tM'(t)/M(t)=\limsup _{t\to 0}tM'(t)/M(t)}$

ตัวอย่าง สำหรับแต่ละค่า ฟังก์ชัน Orlicz จะตรงตามเงื่อนไขของทฤษฎีบทที่ 5 ข้างต้น แต่ไม่เทียบเท่ากับ ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$${\displaystyle M(t)=t^{p}/(1-\log(t))}$${\displaystyle t^{p}}$