ในทางคณิตศาสตร์วิถีตั้งฉากคือ เส้นโค้งที่ตัดกับเส้นโค้งใดๆ ในกลุ่ม เส้น โค้ง (ระนาบ) ที่กำหนดให้ ในแนวตั้งฉาก

ตัวอย่างเช่น วิถีตั้งฉากของกลุ่มวงกลมศูนย์กลางเดียวกันคือเส้นที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางร่วมของวงกลมเหล่านั้น (ดูแผนภาพ)

วิธีการที่เหมาะสมสำหรับการกำหนดวิถีตั้งฉากนั้นได้มาจากการแก้สมการเชิงอนุพันธ์วิธีมาตรฐานคือการสร้างสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ อันดับหนึ่ง และแก้สมการนั้นโดยการแยกตัวแปร อย่างไรก็ตามทั้งสองขั้นตอนอาจทำได้ยากหรือเป็นไปไม่ได้เลย ในกรณีเช่นนี้จึงจำเป็นต้องใช้วิธีการเชิงตัวเลข

วิถีตั้งฉากถูกนำมาใช้ในทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น ในระบบพิกัดโค้ง (เช่นพิกัดวงรี ) และปรากฏในทางฟิสิกส์ในรูปของสนามไฟฟ้าและเส้นโค้งศักย์ไฟฟ้า เท่ากัน

ถ้าวิถีโคจรตัดกับเส้นโค้งที่กำหนดด้วยมุมใดๆ (แต่คงที่) จะได้วิถีโคจรแบบไอโซโกนัล

โดยทั่วไป เราจะถือว่ากลุ่มเส้นโค้งนั้นถูกกำหนด โดย ปริยายด้วยสมการ

(0) 1. ตัวอย่าง2. ตัวอย่าง${\displaystyle :\ F(x,y,c)=0,\qquad }$${\displaystyle :\ x^{2}+y^{2}-c=0\ ,\qquad }$${\displaystyle y=cx^{2}\ \leftrightarrow \ y-cx^{2}=0\ ,}$

โดยที่คือพารามิเตอร์ของดินสอ หากดินสอถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจนด้วยสมการเราสามารถเปลี่ยนการแสดงเป็นการแสดงโดยปริยายได้ดังนี้: สำหรับการพิจารณาต่อไปนี้ ถือว่าอนุพันธ์ที่จำเป็นทั้งหมดมีอยู่จริง ${\displaystyle c}$${\displaystyle y=f(x,c)}$${\displaystyle yf(x,c)=0}$

ขั้นตอนที่ 1.

การหาอนุพันธ์โดยปริยายสำหรับผลผลิต ${\displaystyle x}$

(1) ใน 1. ตัวอย่าง 2. ตัวอย่าง${\displaystyle :\ F_{x}(x,y,c)+F_{y}(x,y,c)\;y'=0,\qquad }$${\displaystyle :\ 2x+2yy'=0\ ,\qquad }$${\displaystyle :\ y'-2cx=0\ .}$

ขั้นตอนที่ 2.

ตอนนี้ถือว่าสมการ (0) สามารถแก้หาพารามิเตอร์ได้ซึ่งสามารถกำจัดออกจากสมการ (1) ได้ จะได้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ${\displaystyle c}$

(2) ใน 1. ตัวอย่าง2. ตัวอย่าง${\displaystyle :\ y'=f(x,y),\qquad }$${\displaystyle :\ y'=-{\frac {x}{y}}\ ,\qquad }$${\displaystyle :\ y'=2{\frac {y}{x}}\ ,}$

ซึ่งบรรลุผลได้ด้วยเส้นโค้งที่กำหนดให้

ขั้นตอนที่ 3.

เนื่องจากความชันของวิถีตั้งฉาก ณ จุดหนึ่งเป็นค่าผกผันเชิงคูณติดลบของความชันของเส้นโค้งที่กำหนด ณ จุดนั้น วิถีตั้งฉากจึงสอดคล้องกับสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ${\displaystyle (x,y)}$

(3) ใน 1. ตัวอย่าง2. ตัวอย่าง${\displaystyle :\ y'=-{\frac {1}{f(x,y)}}\ ,\qquad }$${\displaystyle :\ y'=y/x\ ,\qquad }$${\displaystyle :\ y'=-{\frac {x}{2y}}\ .}$

ขั้นตอนที่ 4.

สมการเชิงอนุพันธ์นี้สามารถ (หวังว่า) หาคำตอบได้ด้วยวิธีที่เหมาะสม สำหรับทั้งสองตัวอย่าง วิธีการแยกตัวแปรนั้นเหมาะสม คำตอบที่ได้คือ: ในตัวอย่างที่ 1 เป็นเส้นตรงและ ในตัวอย่างที่ 2 เป็นวงรี${\displaystyle y=mx,\ m\in \mathbb {R} }$${\displaystyle x^{2}+2y^{2}=d,\ d>0\ .}$

ถ้ากลุ่มเส้นโค้งถูกแสดงโดยปริยายในพิกัดเชิงขั้วโดย

(0p)${\displaystyle :\ F(r,\varphi ,c)=0}$

เราสามารถกำหนดสมการเชิงอนุพันธ์ที่ไม่มีพารามิเตอร์ได้เช่นเดียวกับกรณีคาร์ทีเซียน

(1 คะแนน)${\displaystyle :\ F_{r}(r,\varphi ,c)+F_{\varphi }(r,\varphi ,c)\;\varphi '=0,\qquad }$

(2 เพนนี)${\displaystyle :\ \varphi '=f(r,\varphi )}$

ของดินสอ สมการเชิงอนุพันธ์ของวิถีตั้งฉากคือ (ดู Redheffer & Port หน้า 65, Heuser หน้า 120)

(3 เพนนี)${\displaystyle :\ \varphi '=-{\frac {1}{{\color {red}r^{2}}f(r,\varphi )}}\ .}$

ตัวอย่าง: คาร์ดิโออิดส์ :

(0p) (ในแผนภาพ: สีน้ำเงิน)${\displaystyle :\ F(r,\varphi ,c)=rc(1+\cos \varphi )=0,\ c>0\ .\ }$

(1 คะแนน)${\displaystyle :\ F_{r}(r,\varphi ,c)+F_{\varphi }(r,\varphi ,c)\;\varphi '=1+c\sin \varphi \;\varphi '=0,\qquad }$

การกำจัดตัวแปรทำให้ได้สมการเชิงอนุพันธ์ของดินสอที่กำหนด: ${\displaystyle c}$

(2 เพนนี)${\displaystyle :\ \varphi '=-{\frac {1+\cos \varphi }{r\sin \varphi }}}$

ดังนั้นสมการเชิงอนุพันธ์ของวิถีตั้งฉากจึงเป็นดังนี้:

(3 เพนนี)${\displaystyle :\ \varphi '={\frac {\sin \varphi }{r(1+\cos \varphi )}}}$

หลังจากแก้สมการเชิงอนุพันธ์นี้โดยใช้วิธีการแยกตัวแปรแล้วจะได้

${\displaystyle r=d(1-\cos \varphi )\ ,\ d>0\ ,}$

ซึ่งอธิบายถึงกลุ่มของรูปหัวใจ (สีแดงในแผนภาพ) ที่สมมาตรกับกลุ่มของรูปหัวใจที่กำหนดให้

เส้นโค้งที่ตัดกับเส้นโค้งใดๆ ในกลุ่มเส้นโค้ง (ระนาบ) ที่กำหนดด้วยมุมคงที่เรียกว่าวิถีไอโซโกนัล ${\displaystyle \alpha }$

ความสัมพันธ์ ระหว่างความชันของวิถีโคจรตั้งฉากและความชันของเส้นโค้งของดินสอ ณ จุดหนึ่งมีดังนี้: ${\displaystyle \eta '}$${\displaystyle y'}$${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle \eta '={\frac {y'+\tan(\alpha )}{1-y'\tan(\alpha )}}\ .}$

ความสัมพันธ์นี้เกิดจากสูตรสำหรับซึ่งทำให้ได้เงื่อนไขสำหรับวิถี ตั้งฉาก${\displaystyle \tan(\alpha +\beta )}$${\displaystyle \alpha \rightarrow 90^{\circ }}$

ในการกำหนดวิถีโคจรตั้งฉาก จำเป็นต้องปรับขั้นตอนที่ 3 ของคำแนะนำข้างต้น:

3. step (isog. traj.)

สมการเชิงอนุพันธ์ของวิถีโคจรตั้งฉากคือ:

• (3i)${\displaystyle :\ y'={\frac {f(x,y)+\tan(\alpha )}{1-f(x,y)\;\tan(\alpha )}}\ .}$

สำหรับตัวอย่างที่ 1 (วงกลมศูนย์กลางเดียวกัน) และมุมที่ได้${\displaystyle \alpha =45^{\circ }}$

(3i)${\displaystyle :\ y'={\frac {-x/y+1}{1+x/y}}\ .}$

นี่คือสมการเชิงอนุพันธ์ชนิดพิเศษ ซึ่งสามารถแปลงเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ที่สามารถแก้ได้โดย การ แยกตัวแปร โดยการแทนค่าหลังจากกลับการแทนค่าแล้วจะได้สมการคำตอบ: ${\displaystyle z=y/x}$

${\displaystyle \arctan {\frac {y}{x}}+{\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+y^{2})=C\ .}$

การนำพิกัดเชิงขั้วมาใช้ทำให้ได้สมการที่เรียบง่ายดังนี้

${\displaystyle C-\varphi =\ln(r)\ ,}$

ซึ่งอธิบายถึงเกลียวลอการิทึม (ดูแผนภาพ)

ในกรณีที่สมการเชิงอนุพันธ์ของวิถีการเคลื่อนที่นั้นไม่สามารถแก้ได้ด้วยวิธีการทางทฤษฎี จำเป็นต้องแก้สมการนั้นด้วยวิธีเชิงตัวเลข เช่นวิธี Runge– Kutta

• วงรีแคสสินี
• ส่วนตัดรูปกรวยแบบคอนโฟคอล
• วิถี
• วงกลมอะพอลโลเนียนคือกลุ่มของวงกลมที่ตั้งฉากกันเป็นคู่ๆ

• การสำรวจวิถีเชิงตั้งฉาก - แอปเพล็ตที่ช่วยให้ผู้ใช้สามารถวาดกลุ่มของเส้นโค้งและวิถีเชิงตั้งฉากของเส้นโค้งเหล่านั้นได้
• mathcurve: เส้นสนาม, เส้นตั้งฉาก, ระบบเส้นตั้งฉากคู่