ในสเปกโทรสโกปีความแรงของการสั่น (oscillator strength)เป็นปริมาณไร้มิติที่แสดงถึงความน่าจะเป็นของการดูดกลืนหรือการปล่อยรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าในการเปลี่ยนผ่านระหว่างระดับพลังงานของอะตอมหรือโมเลกุล^{[ 1 ] [ 2 ]}ตัวอย่างเช่น หากสถานะที่ปล่อยรังสีมีความแรงของการสั่นน้อยการสลายตัวแบบไม่แผ่รังสีจะเร็วกว่าการสลายตัวแบบแผ่รังสีในทางกลับกัน การเปลี่ยนผ่านที่ "สว่าง" จะมีความแรงของการสั่นมาก^{[ 3 ]}ความแรงของการสั่นสามารถคิดได้ว่าเป็นอัตราส่วนระหว่างอัตราการเปลี่ยนผ่านทางกลศาสตร์ควอนตัมและอัตราการดูดกลืน/การปล่อยแบบคลาสสิกของตัวสั่นอิเล็กตรอนเดี่ยวที่มีความถี่เดียวกับการเปลี่ยนผ่าน^{[ 4 ]}

อะตอมหรือโมเลกุลสามารถดูดซับแสงและเกิดการเปลี่ยนแปลงจากสถานะควอนตัมหนึ่งไปสู่อีกสถานะหนึ่งได้

ความแรงของการสั่นของช่วงเปลี่ยนผ่านจากสถานะต่ำ ไปสู่สถานะสูงสามารถกำหนดได้โดย ${\displaystyle f_{12}}$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |2\rangle }$

${\displaystyle f_{12}={\frac {2}{3}}{\frac {m_{e}}{\hbar ^{2}}}(E_{2}-E_{1})\sum _{\alpha =x,y,z}|\langle 1m_{1}|R_{\alpha }|2m_{2}\rangle |^{2},}$

โดยที่คือมวลของอิเล็กตรอน และคือค่าคงที่ของพลังค์แบบลดทอน สถานะ ควอนตัม 1, 2 ถือว่ามีสถานะย่อยที่เสื่อมสภาพหลายสถานะ ซึ่งถูกกำหนดด้วย"เสื่อมสภาพ" หมายความว่าสถานะย่อยเหล่านั้นมีพลังงานเท่ากันทั้งหมดตัวดำเนินการคือผลรวมของพิกัด x ของอิเล็กตรอนทั้งหมดในระบบ นั่นคือ ${\displaystyle m_{e}}$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle |n\rangle ,n=}$${\displaystyle m_{n}}$${\displaystyle E_{n}}$${\displaystyle R_{x}}$${\displaystyle r_{i,x}}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle R_{\alpha }=\sum _{i=1}^{N}r_{i,\alpha }.}$

ความแรงของการสั่นนั้นเท่ากันสำหรับแต่ละสถานะย่อย ${\displaystyle |nm_{n}\rangle }$

สามารถกำหนดนิยามใหม่ได้โดยการแทรกพลังงานริดเบิร์ก และรัศมีโบร์ เข้าไป${\displaystyle {\text{Ry}}}$${\displaystyle a_{0}}$

${\displaystyle f_{12}={\frac {E_{2}-E_{1}}{3\,{\text{Ry}}}}{\frac {\sum _{\alpha =x,y,z}|\langle 1m_{1}|R_{\alpha }|2m_{2}\rangle |^{2}}{a_{0}^{2}}}.}$

ในกรณีที่องค์ประกอบเมทริกซ์ของเหมือนกัน เราสามารถกำจัดผลรวมและตัวประกอบ 1/3 ออกไปได้ ${\displaystyle R_{x},R_{y},R_{z}}$

${\displaystyle f_{12}=2{\frac {m_{e}}{\hbar ^{2}}}(E_{2}-E_{1})\,|\langle 1m_{1}|R_{x}|2m_{2}\rangle |^{2}.}$

เพื่อให้สมการในส่วนก่อนหน้านี้สามารถนำไปใช้กับสถานะที่อยู่ในสเปกตรัมต่อเนื่องได้ จะต้องเขียนสมการเหล่านั้นใหม่ในรูปของเมทริกซ์องค์ประกอบของโมเมนตัมในกรณีที่ไม่มีสนามแม่เหล็กแฮมิลโทเนียนสามารถเขียนได้เป็นและการคำนวณคอมมิวเทเตอร์ในฐานของฟังก์ชันเฉพาะของจะส่งผลให้เกิดความสัมพันธ์ระหว่างเมทริกซ์องค์ประกอบ ${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {p}}}$${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}{\boldsymbol {p}}^{2}+V({\boldsymbol {r}})}$${\displaystyle [H,x]}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle x_{nk}=-{\frac {i\hbar /m}{E_{n}-E_{k}}}(p_{x})_{nk}.}$.

ถัดไป การคำนวณเมทริกซ์องค์ประกอบของคอมมิวเทเตอร์ในฐานเดียวกันและการกำจัดเมทริกซ์องค์ประกอบของเราจะได้ ${\displaystyle [p_{x},x]}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \langle n|[p_{x},x]|n\rangle ={\frac {2i\hbar }{m}}\sum _{k\neq n}{\frac {|\langle n|p_{x}|k\rangle |^{2}}{E_{n}-E_{k}}}.}$

เนื่องจากนิพจน์ข้างต้นส่งผลให้เกิดกฎผลรวม ${\displaystyle [p_{x},x]=-i\hbar }$

${\displaystyle \sum _{k\neq n}f_{nk}=1,\,\,\,\,\,f_{nk}=-{\frac {2}{m}}{\frac {|\langle n|p_{x}|k\rangle |^{2}}{E_{n}-E_{k}}},}$

โดยที่ค่าความแรงของออสซิลเลเตอร์สำหรับการเปลี่ยนผ่านควอนตัมระหว่างสถานะและนี่คือกฎผลรวมของ Thomas-Reiche-Kuhn และเทอมที่มี ได้ถูกละเว้นเนื่องจากในระบบที่ถูกจำกัด เช่น อะตอมหรือโมเลกุล องค์ประกอบเมทริกซ์แนวทแยงเนื่องจากสมมาตรการผกผันเวลาของแฮมิลโทเนียน การไม่รวมเทอมนี้ทำให้การล divergence หายไปเนื่องจากตัวหารเป็นศูนย์^{[ 5 ]}${\displaystyle f_{nk}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=n}$${\displaystyle \langle n|p_{x}|n\rangle =0}$${\displaystyle H}$

ในผลึก สเปกตรัมพลังงานอิเล็กตรอนมีโครงสร้างแถบพลังงาน ใกล้จุดต่ำสุดของแถบพลังงานไอโซโทรปิก พลังงานอิเล็กตรอนสามารถขยายได้ในรูปกำลังของโดยที่ คือ มวลยังผลของอิเล็กตรอนสามารถแสดงได้^{[ 6 ]}ว่าเป็นไปตามสมการ ${\displaystyle E_{n}({\boldsymbol {p}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$${\displaystyle E_{n}({\boldsymbol {p}})={\boldsymbol {p}}^{2}/2m^{*}}$${\displaystyle m^{*}}$

${\displaystyle {\frac {2}{m}}\sum _{k\neq n}{\frac {|\langle n|p_{x}|k\rangle |^{2}}{E_{k}-E_{n}}}+{\frac {m}{m^{*}}}=1.}$

ในที่นี้ ผลรวมจะครอบคลุมทุกแถบที่มีดังนั้น อัตราส่วนของมวลอิเล็กตรอนอิสระต่อมวลยังผลในผลึกสามารถถือได้ว่าเป็นความแข็งแรงของออสซิลเลเตอร์สำหรับการเปลี่ยนผ่านของอิเล็กตรอนจากสถานะควอนตัมที่ด้านล่างของแถบไปสู่สถานะเดียวกัน^{[ 7 ]}${\displaystyle k\neq n}$${\displaystyle m/m^{*}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m^{*}}$${\displaystyle n}$

• เส้นสเปกตรัมอะตอม
• กฎผลรวมในกลศาสตร์ควอนตัม
• โครงสร้างแถบอิเล็กตรอน
• สัมประสิทธิ์ของไอน์สไตน์