ในทฤษฎีจำนวนทฤษฎีบทของ Ostrowskiซึ่งคิดค้นโดยAlexander Ostrowski (1916) ระบุว่าค่าสัมบูรณ์ ที่ไม่เป็นศูนย์ทุกค่า บนจำนวนตรรกยะ จะเทียบเท่ากับค่าสัมบูรณ์จริงปกติหรือค่าสัมบูรณ์p -adic ^{[ 1 ]}${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนตรรกยะคือฟังก์ชัน ที่สอดคล้องกับ เงื่อนไขสำหรับทุกค่า${\displaystyle |\cdot |_{*}:\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle x,y\in \mathbb {Q} }$

1. ${\displaystyle |x|_{*}\geq 0}$โดยมีความเท่าเทียมกันก็ต่อเมื่อ${\displaystyle x=0}$
2. ${\displaystyle |xy|_{*}=|x|_{*}|y|_{*}}$
3. ${\displaystyle |x+y|_{*}\leq |x|_{*}+|y|_{*}}$

ค่าสัมบูรณ์สองค่าบนจำนวนตรรกยะจะถือว่าสมมูลกัน ก็ต่อ เมื่อก่อให้เกิดโทโพโลยี เดียวกัน ซึ่งสามารถแสดงให้เห็นได้ว่าเทียบเท่ากับการมีอยู่ของจำนวนจริงบวกเช่นนั้น ${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle |\cdot |_{*}}$${\displaystyle \lambda \in (0,\infty )}$

${\displaystyle |x|_{*}=|x|^{\lambda }}$

สำหรับจำนวนตรรกยะทั้งหมด(หมายเหตุ: โดยทั่วไป ถ้าเป็นค่าสัมบูรณ์ไม่จำเป็นต้องเป็นค่าสัมบูรณ์อีกต่อไป อย่างไรก็ตามถ้าค่าสัมบูรณ์สองค่าเท่ากัน แต่ละค่าจะเป็นกำลังบวกของอีกค่าหนึ่ง^{[ 2 ]} ) ค่าสัมบูรณ์ที่ไม่สำคัญบนฟิลด์K ใดๆ ถูกกำหนดให้เป็น ${\displaystyle x}$${\displaystyle |x|}$${\displaystyle |x|^{\lambda }}$

${\displaystyle |x|_{0}:={\begin{cases}0,&x=0,\\1,&x\neq 0.\end{cases}}}$

ค่าสัมบูรณ์ที่แท้จริงของจำนวนตรรกยะ คือค่าสัมบูรณ์ มาตรฐาน ของจำนวนจริง ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle |x|_{\infty }:={\begin{cases}x,&x\geq 0,\\-x,&x<0.\end{cases}}}$

บางครั้งอาจเขียนโดยใช้เลข 1 เป็น ตัวห้อยแทน เลข อนันต์

สำหรับจำนวนเฉพาะp ค่าสัมบูรณ์ p-adicบนx ถูกกำหนดดังนี้: จำนวนตรรกยะที่ไม่เป็นศูนย์x ใดๆ สามารถเขียนได้ในรูป x = 0 ได้อย่างไม่ซ้ำกัน โดยที่aและbเป็นจำนวนเต็มที่ ไม่มีตัวหารร่วมที่หารด้วย pไม่ลงตัวและnเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นเราจึงกำหนด x = 0 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle x=p^{n}{\tfrac {a}{b}}}$

${\displaystyle |x|_{p}:={\begin{cases}0,&x=0,\\p^{-n},&x,\neq 0.\end{cases}}}$

ทฤษฎีบทของ Ostrowski ระบุว่า ถ้าเป็นค่าสัมบูรณ์ใดๆ บนจำนวนตรรกยะ แล้วหรือจะเทียบเท่ากับหรือจะเทียบเท่ากับ^{[ 1 ]}${\displaystyle |\cdot |_{*}:\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle |\cdot |_{*}=|\cdot |_{0}}$${\displaystyle |\cdot |_{*}}$${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle |\cdot |_{*}}$${\displaystyle |\cdot |_{p}}$

การพิสูจน์ต่อไปนี้เป็นไปตามทฤษฎีบท 10.1 ใน Schikhof (2007)

ให้เป็นค่าสัมบูรณ์ของจำนวนตรรกยะ เราจะเริ่มการพิสูจน์โดยแสดงให้เห็นว่า ค่านี้ถูกกำหนดโดยสมบูรณ์จากค่าที่มันมีต่อจำนวน เฉพาะ${\displaystyle |\cdot |_{*}}$

จากข้อเท็จจริงที่ว่าและคุณสมบัติการคูณของค่าสัมบูรณ์ เราจึงอนุมานได้ว่าโดยเฉพาะอย่างยิ่งต้องเป็น 0 หรือ 1 และเนื่องจากจึงต้องมีเหตุผลที่คล้ายกันแสดงให้เห็นว่า ${\displaystyle 1\times 1=1}$${\displaystyle |1|_{*}^{2}=|1|_{*}}$${\displaystyle |1|_{*}}$${\displaystyle 1\neq 0}$${\displaystyle |1|_{*}=1}$${\displaystyle |-1|_{*}=1}$

สำหรับจำนวนเต็มบวกn ทุกตัว คุณสมบัติการคูณบ่งชี้ว่า กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มลบจะเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของจำนวนตรงข้าม ${\displaystyle |-n|_{*}=|-1|_{*}\times |n|_{*}=|n|_{*}}$

ให้nเป็นจำนวนเต็มบวก จากข้อเท็จจริงที่ว่าและคุณสมบัติการคูณ เราสรุปได้ว่า ${\displaystyle n^{-1}\times n=1}$${\displaystyle |n^{-1}|_{*}=|n|_{*}^{-1}}$

ให้rเป็นจำนวนตรรกยะบวก มีจำนวนเต็ม บวก pและq สองจำนวนที่เป็นจำนวนเฉพาะ สัมพัทธ์กัน โดยที่. คุณสมบัติข้างต้นแสดงให้เห็นว่า. โดยรวมแล้ว ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนตรรกยะบวกถูกกำหนดโดยสมบูรณ์จากค่าสัมบูรณ์ของตัวเศษและตัวส่วน ${\displaystyle r=pq^{-1}}$${\displaystyle |r|_{*}=|p|_{*}|q^{-1}|_{*}=|p|_{*}|q|_{*}^{-1}}$

สุดท้ายนี้ ให้เป็นเซตของจำนวนเฉพาะ สำหรับจำนวนเต็มบวกn ทุกตัว เราสามารถเขียนได้ว่า ${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle n=\prod _{p\in \mathbb {P} }p^{v_{p}(n)},}$

ค่า p-adicของnอยู่ที่ไหนคุณสมบัติการคูณช่วยให้สามารถคำนวณค่าสัมบูรณ์ของnจากค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเฉพาะได้โดยใช้ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ ${\displaystyle v_{p}(n)}$

${\displaystyle |n|_{*}=\left|\prod _{p\in \mathbb {P} }p^{v_{p}(n)}\right|_{*}=\prod _{p\in \mathbb {P} }|p|_{*}^{v_{p}(n)}.}$

เราจะดำเนินการพิสูจน์ต่อโดยแยกออกเป็นสองกรณี:

1. มีจำนวนเต็มบวกnอยู่จริงซึ่ง; หรือ${\displaystyle ||_{*}>1}$
2. สำหรับจำนวนเต็มn ทุกตัว จะมีค่าเท่ากับ.${\displaystyle |n|_{*}\leq 1}$

สมมติว่ามีจำนวนเต็มบวกn อยู่จริง โดยที่ให้kเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และbเป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่าเราแสดงในฐานbว่า มีจำนวนเต็มบวกmและจำนวนเต็ม อยู่จริง โดยที่ สำหรับทุกiและโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ดังนั้น${\displaystyle ||_{*}>1.}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle n^{k}}$${\displaystyle (c_{i})_{0\leq i<m}}$${\displaystyle 0\leq c_{i}<b}$${\displaystyle n^{k}=\sum _{i<m}c_{i}b^{i}}$${\displaystyle n^{k}\geq b^{m-1}}$${\displaystyle m\leq 1+k\log _{b}n}$

แต่ละพจน์มีค่าไม่เกิน. (โดยคุณสมบัติการคูณแล้วใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเป็นตัวเลขหลักเดียว เขียนได้เช่นนั้นโดยอสมการสามเหลี่ยม.) นอกจากนี้มีค่าไม่เกิน. โดยอสมการสามเหลี่ยมและขอบเขตข้างต้นของmจะได้ว่า: ${\displaystyle |c_{i}b^{i}|_{*}}$${\displaystyle (b-1)|b|_{*}^{i}}$${\displaystyle |c_{i}b^{i}|_{*}=|c_{i}|_{*}|b|_{*}^{i}}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle c_{i}=1+1+\cdots +1}$${\displaystyle |c_{i}|\leq |1|+|1|+\cdots +|1|=c_{i}\leq b-1}$${\displaystyle |b|_{*}^{i}}$${\displaystyle \max\{1,|b|_{*}^{m-1}\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|n|_{*}^{k}&\leq m\max _{i<m}\{|c_{i}b^{i}|_{*}\}\\&\leq m(b-1)\max\{1,|b|_{*}^{m-1}\}\\&\leq (1+k\log _{b}n)(b-1)\max\{1,|b|_{*}^{k\log _{b}n}\}.\end{aligned}}}$

ดังนั้น เมื่อยกกำลังทั้งสองข้างเราจะได้ ${\displaystyle 1/k}$

${\displaystyle |n|_{*}\leq \left((1+k\log _{b}n)(b-1)\right)^{1/k}\max\{1,|b|_{*}^{\log _{b}n}\}.}$

สุดท้าย การหาลิมิตเมื่อkเข้าสู่ค่าอนันต์แสดงให้เห็นว่า

${\displaystyle |n|_{*}\leq \max\{1,|b|_{*}^{\log _{b}n}\}.}$

เมื่อรวมกับเงื่อนไขข้างต้น ข้อโต้แย้งข้างต้นจะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ว่า ไม่ว่าเราจะเลือกค่าbอย่างไรก็ตาม (มิฉะนั้นจะหมายความว่า) ดังนั้น จำนวนเต็มทั้งหมดที่มากกว่าหนึ่งจะมีค่าสัมบูรณ์มากกว่าหนึ่งอย่างแน่นอน ด้วยเหตุนี้ เมื่อสรุปโดยทั่วไปจากข้างต้น สำหรับจำนวนเต็มnและb ใดๆ ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 2 เราจะได้ ${\displaystyle ||_{*}>1,}$${\displaystyle ||_{*}>1}$${\displaystyle |b|_{*}^{\log _{b}n}\leq 1}$${\displaystyle |n|_{*}\leq 1}$

${\displaystyle |n|_{*}\leq |b|_{*}^{\log _{b}n},}$

เช่น

${\displaystyle \log _{n}|n|_{*}\leq \log _{b}|b|_{*}.}$

โดยสมมาตร อสมการนี้จึงเป็นสมการ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับทุก, , นั่นคือเนื่องจากอสมการสามเหลี่ยมบ่งชี้ว่าสำหรับจำนวนเต็มบวกn ทุกตัว เราจะได้ในกรณีนี้ เราจะได้ว่า อย่างแม่นยำยิ่งขึ้น ${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle \log _{n}|n|_{*}=\log _{2}|2|_{*}=\lambda }$${\displaystyle |n|_{*}=n^{\lambda }=|n|_{\infty }^{\lambda }}$${\displaystyle |n|_{*}\leq n}$${\displaystyle 0<\lambda \leq 1}$

จากผลลัพธ์ข้างต้นเกี่ยวกับการกำหนดค่าสัมบูรณ์โดยใช้ค่าของค่าดังกล่าวบนจำนวนเฉพาะ เราสามารถเห็นได้อย่างง่ายดายว่าสำหรับจำนวนตรรกยะr ทั้งหมด ค่าสัมบูรณ์จะเท่ากับค่าสัมบูรณ์จริง ${\displaystyle |r|_{*}=|r|_{\infty }^{\lambda }}$

สมมติว่าสำหรับจำนวนเต็มn ทุก ตัว จะมี. เนื่องจากค่าสัมบูรณ์ของเราไม่ใช่ค่าศูนย์ จึงต้องมีจำนวนเต็มบวกn อยู่ตัวหนึ่ง ซึ่งการแยก ตัวประกอบ ตามจำนวนเฉพาะแสดงให้เห็นว่ามีอยู่ตัวหนึ่งซึ่ง. เราอ้างว่าในความเป็นจริงแล้วเป็นเช่นนั้นสำหรับจำนวนเฉพาะเพียงตัวเดียวเท่านั้น ${\displaystyle |n|_{*}\leq 1}$${\displaystyle |n|_{*}<1.}$${\displaystyle |n|_{*}}$${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$${\displaystyle |p|_{*}<1}$

สมมติโดยวิธีขัดแย้งว่าpและqเป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันสองจำนวนซึ่งมีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า 1 อย่างเคร่งครัด ให้kเป็นจำนวนเต็มบวกซึ่งและมีค่าน้อยกว่าโดยเอกลักษณ์ของเบซูต์เนื่องจากและเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์จึงมีจำนวนเต็มaและb สองจำนวนที่ทำให้ ซึ่งนำไปสู่ข้อขัดแย้ง เนื่องจาก ${\displaystyle |p|_{*}^{k}}$${\displaystyle |q|_{*}^{k}}$${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle p^{k}}$${\displaystyle q^{k}}$${\displaystyle ap^{k}+bq^{k}=1.}$

${\displaystyle 1=|1|_{*}\leq |a|_{*}|p|_{*}^{k}+|b|_{*}|q|_{*}^{k}<{\frac {|a|_{*}+|b|_{*}}{2}}\leq 1.}$

นี่หมายความว่ามีจำนวนเฉพาะp เพียงตัวเดียว เท่านั้นที่ และสำหรับจำนวนเฉพาะ qอื่นๆ ทั้งหมดจะได้(จากสมมติฐานของกรณีที่สองนี้) ให้จากเราอนุมานได้ว่า(และในกรณีนี้ จำนวนเฉพาะบวกทั้งหมดจะให้ค่าสัมบูรณ์ที่เทียบเท่ากับจำนวนเฉพาะ p) ${\displaystyle |p|_{*}<1}$${\displaystyle |q|_{*}=1}$${\displaystyle \lambda =-\log _{p}|p|_{*}}$${\displaystyle |p|_{*}<1}$${\displaystyle 0<\lambda <\infty }$${\displaystyle \lambda }$

ในที่สุดเราก็ตรวจสอบแล้วว่า และสำหรับจำนวน เฉพาะqอื่นๆ ทั้งหมดตามผลลัพธ์ข้างต้นเกี่ยวกับการกำหนดค่าสัมบูรณ์โดยใช้ค่าของมันบนจำนวนเฉพาะ เราสรุปได้ว่าสำหรับจำนวนตรรกยะr ทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าค่าสัมบูรณ์นี้เทียบเท่ากับค่าp -adic${\displaystyle |p|_{p}^{\lambda }=p^{-\lambda }=|p|_{*}}$${\displaystyle |q|_{p}^{\lambda }=1=|q|_{*}}$${\displaystyle |r|_{*}=|r|_{p}^{\lambda }}$${\displaystyle \blacksquare }$

ทฤษฎีบทอีกข้อหนึ่งระบุว่าฟิลด์ใดๆ ที่สมบูรณ์โดยสัมพันธ์กับค่าสัมบูรณ์ของอาร์คิมีเดียนนั้น (ในเชิงพีชคณิตและเชิงโทโพโลยี) จะเป็นไอโซมอร์ฟิกกับจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนก็ได้ บางครั้งเรียกสิ่งนี้ว่าทฤษฎีบทของออสโตรฟสกี^{[ 3 ]}

• การประเมินค่า (พีชคณิต)