ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันซีตาp -adic หรือโดยทั่วไปเรียกว่าฟังก์ชันL p -adicคือฟังก์ชันที่คล้ายคลึงกับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ หรือ ฟังก์ชันLทั่วไปแต่มีโดเมนและเป้าหมายเป็นp-adic (โดยที่pเป็นจำนวนเฉพาะ ) ตัวอย่างเช่น โดเมนอาจเป็นจำนวนเต็มp -adic Z _pกลุ่มp - profiniteหรือ ตระกูล p -adic ของการแทนแบบกาโลอิสและภาพอาจเป็นจำนวนp -adic Q _pหรือการปิดเชิงพีชคณิตของ มัน

แหล่งที่มาของ ฟังก์ชัน L แบบ p -adic มักมีอยู่สองประเภท ประเภทแรก—ซึ่งTomio KubotaและHeinrich-Wolfgang Leopoldtได้สร้าง ฟังก์ชัน L แบบ p -adic ขึ้นเป็นครั้งแรก ( Kubota & Leopoldt 1964 )—คือ การแทรกสอด แบบ p -adic ของค่าพิเศษของฟังก์ชันLตัวอย่างเช่น Kubota–Leopoldt ใช้ความสอดคล้องของ Kummerสำหรับจำนวน Bernoulliเพื่อสร้างฟังก์ชันL แบบ p -adic ซึ่งก็คือ ฟังก์ชันซีตาของ Riemann แบบ p -adic ζ _p ( s ) ซึ่งค่าของมันที่จำนวนคี่ลบจะเป็นค่าของฟังก์ชันซีตาของ Riemann ที่จำนวนคี่ลบ (โดยมีปัจจัยแก้ไขที่ชัดเจน) ฟังก์ชัน L แบบ p -adic ที่เกิดขึ้นในลักษณะนี้มักเรียกว่าฟังก์ชันLแบบp -adic เชิงวิเคราะห์แหล่งที่มาสำคัญอีกแหล่งหนึ่งของฟังก์ชันp -adic L— ซึ่งค้นพบครั้งแรกโดย Kenkichi Iwasawa—มาจากพีชคณิตของฟิลด์ไซโคลโท มิก หรือโดยทั่วไปแล้วโมดูลกาโลอิส บางอย่าง เหนือหอคอยของฟิลด์ไซโคลโทมิก หรือแม้แต่หอคอยที่ทั่วไปกว่านั้น ฟังก์ชัน p -adic Lที่เกิดขึ้นในลักษณะนี้มักเรียกว่าฟังก์ชันp -adic Lทางพีชคณิตเนื่องจากมันเข้ารหัสข้อมูลทางพีชคณิตของโมดูลกาโลอิสที่เกี่ยวข้อง ข้อสันนิษฐานหลักของทฤษฎี Iwasawa (ปัจจุบันเป็นทฤษฎีบทโดยBarry MazurและAndrew Wiles ) คือข้อความที่ว่า ฟังก์ชัน p -adic L ของ Kubota–Leopoldt และอนาล็อกทางพีชคณิตที่สร้างขึ้นโดยทฤษฎี Iwasawa นั้นเหมือนกันโดยพื้นฐาน ในสถานการณ์ทั่วไปที่ทั้ง ฟังก์ชัน p -adic L เชิงวิเคราะห์และเชิงพีชคณิต ถูกสร้างขึ้น (หรือคาดหวัง) ข้อความที่ว่ามันสอดคล้องกันเรียกว่าข้อสันนิษฐานหลักของทฤษฎี Iwasawa สำหรับสถานการณ์นั้น ข้อสันนิษฐานดังกล่าวเป็นข้อความเชิงรูปแบบเกี่ยวกับปรัชญาที่ว่าค่าพิเศษของ ฟังก์ชัน Lมีข้อมูลทางคณิตศาสตร์อยู่ภายใน

ฟังก์ชัน Dirichlet Lกำหนดโดยการต่อขยายเชิงวิเคราะห์ของ

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n}{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-\chi (p)p^{-s}}}}$

ฟังก์ชัน Lของ Dirichlet ที่จำนวนเต็มลบมีค่าดังนี้

${\displaystyle L(1-n,\chi )=-{\frac {B_{n,\chi }}{n}}}$

โดยที่B _{n , χ}คือจำนวนเบอร์นูลลีทั่วไปที่กำหนดโดย

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B_{n,\chi }{\frac {t^{n}}{n!}}=\sum _{a=1}^{f}{\frac {\chi (a)te^{at}}{e^{ft}-1}}}$

สำหรับχอักขระDirichletที่ มีตัวนำf

ฟังก์ชันL p -adic ของ Kubota–Leopoldt L _p ( s ,  χ ) เป็นการประมาณ ค่าแบบแทรกสอดของฟังก์ชัน L ของ Dirichlet โดยตัด ตัวประกอบ Euler ที่pออกไป กล่าวโดยละเอียดกว่านั้นL _p ( s ,  χ ) คือฟังก์ชันต่อเนื่องเพียงหนึ่งเดียวของจำนวนp -adic sที่ทำให้

${\displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=\left(1-\chi (p)p^{n-1}\right)L(1-n,\chi )}$

สำหรับจำนวนเต็มบวกnที่หารด้วยp  − 1 ลงตัว ด้านขวามือก็คือฟังก์ชัน Dirichlet L ตามปกติ ยกเว้นว่าตัวประกอบออยเลอร์ที่pถูกตัดออกไป มิฉะนั้นมันจะไม่ ต่อเนื่อง แบบ p -adically ความต่อเนื่องของด้านขวามือมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับ ความสอดคล้อง ของ Kummer

เมื่อnหารด้วยp  − 1 ไม่ลงตัว เงื่อนไขนี้มักจะไม่เป็นจริง แต่เงื่อนไขอื่นจะเป็นดังนี้

${\displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=\left(1-\chi \omega ^{-n}(p)p^{n-1}\right)L\left(1-n,\chi \omega ^{-n}\right)}$

สำหรับจำนวนเต็มบวกnโดยที่χ ถูก บิด ด้วยกำลังของอักขระ Teichmüller ω

ฟังก์ชัน L แบบp -adic สามารถมองได้ว่าเป็นมาตรวัดแบบ p -adic (หรือการกระจายแบบp -adic ) บน กลุ่ม Galois แบบ p -profinite การแปลงระหว่างมุมมองนี้กับมุมมองดั้งเดิมของ Kubota–Leopoldt (ในฐานะ ฟังก์ชันค่า Q _pบนZ _p ) ทำได้ผ่านการแปลง Mazur–Mellin (และทฤษฎีฟิลด์คลาส )

Deligne & Ribet (1980)โดยต่อยอดจากงานก่อนหน้าของSerre (1973)ได้สร้างฟังก์ชันL แบบ p -adic เชิงวิเคราะห์สำหรับฟิลด์ที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมด ในขณะเดียวกัน Barsky (1978)และCassou-Noguès (1979)ก็ได้ทำเช่นเดียวกัน แต่แนวทางของพวกเขาเป็นไปตามแนวทางของTakuro Shintani ในการศึกษา ค่า L