การ ประเมินค่า p -adicของจำนวนเต็ม${\displaystyle n}$ถูกกำหนดให้เป็น

${\displaystyle \nu _{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{k\in \mathbb {N} _{0}:p^{k}\mid n\}&{\text{if }}n\neq 0\\\infty &{\text{if }}n=0,\end{cases}}}$

ที่ไหน${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$หมายถึงเซตของจำนวนธรรมชาติ (รวมถึงศูนย์) และ${\displaystyle m\mid n}$แสดงถึงการหารลงตัวของ${\displaystyle n}$โดย${\displaystyle m}$โดยเฉพาะอย่างยิ่ง${\displaystyle \nu _{p}}$เป็นฟังก์ชัน${\displaystyle \nu _{p}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}}$[ ^{2 ]​}

ตัวอย่างเช่น,${\displaystyle \nu _{2}(-12)=2}$,${\displaystyle \nu _{3}(-12)=1}$, และ${\displaystyle \nu _{5}(-12)=0}$เนื่องจาก${\displaystyle |{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}}$.

สัญลักษณ์${\displaystyle p^{k}\ขนาน n}$บางครั้งใช้เพื่อหมายความว่า${\displaystyle k=\nu _{p}(n)}$[ ^{3 ]​}

ถ้า${\displaystyle n}$ถ้าเป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว${\displaystyle \nu _{p}(n)\leq \log _{p}n}$; นี่เป็นผลสืบเนื่องโดยตรงจาก${\displaystyle n\geq p^{\nu _{p}(n)}}$.

การ ประเมินค่า p -adic สามารถขยายไปยังจำนวนตรรกยะได้เป็นฟังก์ชัน

${\displaystyle \nu _{p}:\mathbb {Q} \to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$^{[ 4 ] [ 5 ]}

กำหนดโดย

${\displaystyle \nu _{p}\left({\frac {r}{s}}\right)=\nu _{p}(r)-\nu _{p}(s).}$

ตัวอย่างเช่น,${\displaystyle \nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3}$และ${\displaystyle \nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2}$เนื่องจาก${\displaystyle {\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}}$.

คุณสมบัติบางประการได้แก่:

${\displaystyle \nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s)}$

${\displaystyle \nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}$

นอกจากนี้ หาก${\displaystyle \nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)}$, แล้ว

${\displaystyle \nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}$

ที่ไหน${\displaystyle \min }$คือค่าต่ำสุด (กล่าวคือ ค่าที่น้อยกว่าระหว่างสองค่า)

สูตรของเลอฌองเดรแสดงให้เห็นว่า${\displaystyle \nu _{p}(n!)=\sum _{i=1}^{\infty {}}{\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor {}}}$.

สำหรับจำนวนเต็มบวกn ใด ๆ${\displaystyle n={\frac {n!}{(n-1)!}}}$และดังนั้น${\displaystyle \nu _{p}(n)=\nu _{p}(n!)-\nu _{p}((n-1)!)}$.

ดังนั้น,${\displaystyle \nu {}_{p}(n)=\sum _{i=1}^{\infty {}}{{\bigg (}\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor {}-\left\lfloor {\frac {n-1}{p^{i}}}\right\rfloor {}{\bigg )}}}$.

ผลรวมอนันต์นี้สามารถลดทอนลงได้เป็น${\displaystyle \sum _{i=1}^{\lfloor {\log _{p}{(n)}\rfloor {}}}{{\bigg (}\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor {}-\left\lfloor {\frac {n-1}{p^{i}}}\right\rfloor {}{\bigg )}}}$.

สูตรนี้สามารถขยายไปใช้กับค่าจำนวนเต็มลบได้ดังนี้:

${\displaystyle \nu {}_{p}(n)=\sum _{i=1}^{\lfloor {\log _{p}{(|n|)}\rfloor {}}}{{\bigg (}\left\lfloor {\frac {|n|}{p^{i}}}\right\rfloor {}-\left\lfloor {\frac {|n|-1}{p^{i}}}\right\rfloor {}{\bigg )}}}$

การเลือกฐานpในการยกกำลัง${\displaystyle p^{-\nu _{p}(r)}}$ไม่มีผลกระทบต่อคุณสมบัติส่วนใหญ่ แต่ช่วยสนับสนุนสูตรของผลิตภัณฑ์:

${\displaystyle \prod _{0,p}|r|_{p}=1}$

โดยที่ผลคูณนั้นหาได้จากจำนวนเฉพาะp ทั้งหมด และค่าสัมบูรณ์ตามปกติ ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์${\displaystyle |r|_{0}}$สิ่งนี้เป็นผลมาจากการแยกตัวประกอบเฉพาะ อย่างง่ายๆ : ตัวประกอบกำลังของจำนวนเฉพาะแต่ละตัว${\displaystyle p^{k}}$โดยจะนำค่าผกผันมาบวกกับ ค่าสัมบูรณ์ p -adic จากนั้น ค่าสัมบูรณ์อาร์คิมีเดียนตามปกติ จะหักล้างค่าเหล่านั้นทั้งหมด

ตามทฤษฎีบทของ Ostrowski ค่าสัมบูรณ์ ปกติและ ค่าสัมบูรณ์ p -adic ที่ปรากฏในสูตรนั้นคือค่าสัมบูรณ์ทั้งหมดของจำนวนตรรกยะจนถึงค่าสมมูล สูตรผลคูณที่คล้ายกันนี้สามารถใช้เพื่อกำหนดฟิลด์ทั่วโลก ในเชิงสัจพจน์ได้ ซึ่งจำนวนตรรกยะเป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุด

สามารถสร้าง ปริภูมิเมตริกบนเซตได้${\displaystyle \mathbb {Q} }$ด้วยเมตริก ( ที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียนและไม่เปลี่ยนแปลงตามการเลื่อน )

${\displaystyle d\colon \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

กำหนดโดย

${\displaystyle d(r,s)=|r-s|_{p}.}$

การเสร็จสิ้น${\displaystyle \mathbb {Q} }$เมื่อพิจารณาตามตัวชี้วัดนี้ จะนำไปสู่ชุดข้อมูลดังกล่าว${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ของ จำนวน p -adic เช่นเดียวกับจำนวนตรรกยะ พวกมันก่อตัวเป็นฟิลด์และ การประเมินค่า p -adic และค่าสัมบูรณ์สามารถขยายไปยัง${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ทำให้เป็นสาขาที่มีคุณค่าอย่างสมบูรณ์