ฮึกเหิม
ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น ตัวอย่างเส้นโค้งความหนาแน่นสำหรับการกระจายความน่าจะเป็น PERT
ฟังก์ชันการกระจายสะสม ตัวอย่างเส้นโค้งการกระจายสะสมสำหรับการกระจายความน่าจะเป็น PERT
พารามิเตอร์	${\displaystyle b>a\,}$(จริง)${\displaystyle c>b\,}$(จริง)
สนับสนุน	${\displaystyle x\in [a,c]\,}$
พีดี	${\displaystyle {\frac {(xa)^{\alpha -1}(cx)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )(ca)^{\alpha +\beta -1}}}}$ ที่ไหน ${\displaystyle \alpha ={\frac {4b+c-5a}{ca}}=1+4{\frac {ba}{ca}}}$ ${\displaystyle \beta ={\frac {5c-a-4b}{ca}}=1+4{\frac {cb}{ca}}}$
ซีดีเอฟ	${\displaystyle I_{z}(\อัลฟา ,\เบต้า )}$ ( ฟังก์ชันเบต้าไม่สมบูรณ์แบบ ปรับค่า ) ด้วย${\displaystyle z=(xa)/(ca)}$
หมายถึง	${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {a+4b+c}{6}}=\mu }$
ค่ามัธยฐาน	${\displaystyle I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta )(ca)+a}$ ${\displaystyle \approx a+(ca){\frac {\alpha -1/3}{\alpha +\beta -2/3}}={\frac {a+6b+c}{8}}}$
โหมด	${\displaystyle b}$
ความแปรปรวน	${\displaystyle \operatorname {var} [X]={\frac {(\mu -a)(c-\mu )}{7}}}$
ความเบี่ยงเบน	${\displaystyle {\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}$
ความโค้งส่วนเกิน	${\displaystyle {\frac {6[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}}$
เอนโทรปี	${\displaystyle \ln(\mathrm {B} (\alpha ,\beta )(ca))-(\alpha -1)\psi (\alpha )-(\beta -1)\psi (\beta )+4\psi (6)}$

ในวิชาความน่าจะเป็นและสถิติการแจกแจงPERTเป็นกลุ่มของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องที่กำหนดโดยค่าต่ำสุด ( a ) ค่าที่เป็นไปได้มากที่สุด ( b ) และค่าสูงสุด ( c ) ที่ตัวแปรสามารถรับได้ เป็นการแจกแจงที่แปลงมาจากการแจกแจงเบตา แบบสี่พารามิเตอร์ โดยมีข้อสมมติเพิ่มเติมว่า ค่าคาดหวังของมันคือ

${\displaystyle \mu ={\frac {a+4b+c}{6}}.}$

ดังนั้น ค่าเฉลี่ยของการกระจายจึงถูกกำหนดให้เป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของค่าต่ำสุด ค่าที่เป็นไปได้มากที่สุด และค่าสูงสุดที่ตัวแปรอาจมี โดยให้น้ำหนักกับค่าที่เป็นไปได้มากที่สุดเป็นสี่เท่า สมมติฐานเกี่ยวกับค่าเฉลี่ยนี้ได้รับการเสนอครั้งแรกโดย Clark ในปี 1962 ^{[ 1 ]}เพื่อประเมินผลกระทบของความไม่แน่นอนของระยะเวลาของงานที่มีต่อผลลัพธ์ของตารางเวลาโครงการที่ได้รับการประเมินโดยใช้เทคนิคการประเมินและทบทวนโปรแกรมจึงเป็นที่มาของชื่อนี้ คณิตศาสตร์ของการกระจายเกิดจากความต้องการของผู้เขียนที่จะทำให้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับประมาณ 1/6 ของช่วง^{[ 2 ] [ 3 ]} การกระจาย PERT ถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในการวิเคราะห์ความเสี่ยง^{[ 4 ]}เพื่อแสดงถึงความไม่แน่นอนของค่าของปริมาณบางอย่างที่ต้องอาศัยการประมาณค่าแบบอัตวิสัย เนื่องจากพารามิเตอร์ทั้งสามที่กำหนดการกระจายนั้นเข้าใจง่ายสำหรับผู้ประมาณค่า การกระจาย PERT ปรากฏอยู่ในเครื่องมือซอฟต์แวร์จำลองส่วนใหญ่

การแจกแจง PERT เสนอทางเลือก^{[ 5 ]}แทนการใช้การแจกแจงแบบสามเหลี่ยมซึ่งใช้พารามิเตอร์สามตัวเดียวกัน การแจกแจง PERT มีรูปร่างที่เรียบกว่าการแจกแจงแบบสามเหลี่ยมการแจกแจงแบบสามเหลี่ยมมีค่าเฉลี่ยเท่ากับค่าเฉลี่ยของพารามิเตอร์ทั้งสามตัว:

${\displaystyle \mu ={\frac {a+b+c}{3}}}$

ซึ่ง (ต่างจาก PERT) ให้ความสำคัญเท่าเทียมกันกับค่าสุดขั้วซึ่งมักเป็นที่รู้จักน้อยกว่าค่าที่มีความเป็นไปได้มากที่สุด และด้วยเหตุนี้จึงมีความน่าเชื่อถือน้อยกว่า นอกจากนี้ การกระจายแบบสามเหลี่ยมยังมีรูปทรงเป็นเหลี่ยมมุมที่ไม่ตรงกับรูปทรงที่เรียบเนียนกว่าซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของความรู้เชิงอัตวิสัย

การแจกแจง PERT กำหนดความน่าจะเป็นที่น้อยมากให้กับค่าสุดขั้ว โดยเฉพาะอย่างยิ่งค่าสุดขั้วที่อยู่ห่างไกลจากค่าที่เป็นไปได้มากที่สุด หากการแจกแจงเบี่ยงเบนอย่างมาก^{[ 6 ] [ 7 ]}การแจกแจง PERT ที่ปรับปรุงแล้ว^{[ 8 ]}ได้รับการเสนอเพื่อให้สามารถควบคุมได้มากขึ้นว่าความน่าจะเป็นที่กำหนดให้กับค่าหางของการแจกแจงมีมากน้อยเพียงใด PERT ที่ปรับปรุงแล้วแนะนำพารามิเตอร์ที่สี่${\displaystyle \gamma ,}$ซึ่งควบคุมน้ำหนักของค่าที่มีความเป็นไปได้มากที่สุดในการกำหนดค่าเฉลี่ย:

${\displaystyle \mu ={\frac {a+\gamma b+c}{\gamma +2}}}$

โดยทั่วไปจะใช้ค่าระหว่าง 2 ถึง 3.5 สำหรับ${\displaystyle \gamma ,}$และมีผลทำให้เส้นโค้งความหนาแน่นแบนราบลง โดย PERT ที่ไม่ได้ดัดแปลงจะใช้${\displaystyle \gamma =4}$วิธีนี้มีประโยชน์สำหรับข้อมูลที่มีการเบี่ยงเบนอย่างมาก ซึ่งระยะทาง${\displaystyle (ba),}$และ${\displaystyle (cb),}$มีขนาดแตกต่างกันมาก

การแจกแจง PERT ที่ได้รับการดัดแปลงได้ถูกนำไปใช้ในแพ็กเกจจำลองและภาษาโปรแกรมหลายภาษา:

• ModelRisk ^{[ 9 ]} – โปรแกรมเสริมสำหรับการวิเคราะห์ความเสี่ยงในExcel
• Primaveraเครื่องมือวิเคราะห์ความเสี่ยง – เครื่องมือจำลองการวิเคราะห์ความเสี่ยงของโครงการ
• Tamara ^{[ 10 ]} – เครื่องมือจำลองการวิเคราะห์ความเสี่ยงโครงการ
• Wolfram Mathematica ^{[ 11 ]} – โปรแกรมการคำนวณเชิงสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์
• R (ภาษาโปรแกรม) : แพ็คเกจmc2d ^{[ 12 ]}
• Python (ภาษาโปรแกรม) : แพ็คเกจpertdist ^{[ 13 ]}