แผนภาพ พิกัดขนานเป็นวิธีการทั่วไปในการแสดงภาพชุดข้อมูลที่มีมิติสูงเพื่อวิเคราะห์ข้อมูลหลายตัวแปรที่มีตัวแปรหรือคุณลักษณะหลายตัว

ในการแสดงภาพหรือพล็อตชุดจุดในปริภูมิn มิติ จะ มีการลาก เส้นขนานn เส้นบนพื้นหลังเพื่อแสดง แกน พิกัดโดยทั่วไปจะวางในแนวตั้งและมีระยะห่างเท่ากัน จุดใน ปริภูมิ nมิติจะถูกแสดงเป็นเส้นหลายเหลี่ยม แต่ละเส้น ที่มี จุดยอด n จุดวางอยู่บนแกนขนานที่สอดคล้องกับค่าพิกัด แต่ละค่า ของ จุด nมิติ จุดยอดเหล่านี้เชื่อมต่อกันด้วยส่วนของเส้นหลายเหลี่ยม n-1 ส่วน

การแสดงภาพข้อมูลนี้คล้ายกับ การแสดงภาพ อนุกรมเวลาแต่ใช้พิกัดขนานกับข้อมูลที่ไม่สอดคล้องกับเวลาตามลำดับเหตุการณ์ ดังนั้น การจัดเรียงแกนที่แตกต่างกันจึงน่าสนใจ รวมถึงการสะท้อนแกนในแนวนอน หรือการกลับช่วงของคุณลักษณะ

แนวคิดของพิกัดขนานมักกล่าวกันว่ามีต้นกำเนิดในปี พ.ศ. 2428 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสPhilbert Maurice d'Ocagne [ ^{1 ] d'} Ocagne พยายามหาวิธีการคำนวณฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ด้วยกราฟโดยใช้แผนภาพการจัดเรียงที่เรียกว่าโนโมแกรมซึ่งใช้แกนขนานที่มีมาตราส่วนต่างกัน ตัวอย่างเช่น สมการสามตัวแปรสามารถแก้ไขได้โดยใช้แกนขนานสามแกน โดยทำเครื่องหมายค่าที่ทราบบนมาตราส่วน จากนั้นลากเส้นเชื่อมระหว่างแกนเหล่านั้น โดยอ่านค่าที่ไม่ทราบจากมาตราส่วน ณ จุดที่เส้นตัดกับมาตราส่วนนั้น

การใช้พิกัดขนานเป็นเทคนิคการแสดงภาพเพื่อแสดงข้อมูลมักกล่าวกันว่ามีต้นกำเนิดมาจากเฮนรี แกนเน็ตต์ในงานที่มาก่อนแอตลาสสถิติของสหรัฐอเมริกาสำหรับสำมะโนประชากรปี 1890 ตัวอย่างเช่น "สรุปทั่วไป แสดงอันดับของรัฐตามอัตราส่วน ปี 1880" ^{[ 2 ]} ซึ่งแสดงอันดับของการวัด 10 รายการ (ประชากร อาชีพ ความมั่งคั่ง การผลิต การเกษตร และอื่นๆ) บนแกนขนานที่เชื่อมต่อด้วยเส้นสำหรับแต่ละรัฐ

อย่างไรก็ตาม ทั้ง d'Ocagne และ Gannet ต่างก็มีAndré-Michel Guerry มาก่อนแล้ว ^{[ 3 ]} แผ่นที่ IV "อิทธิพลของอายุ" ซึ่ง เขาแสดงการจัดอันดับอาชญากรรมต่อบุคคลตามอายุตามแกนคู่ขนาน โดยเชื่อมโยงอาชญากรรมเดียวกันในกลุ่มอายุต่างๆ^{[ 4 ]}

ระบบพิกัดขนานได้รับความนิยมอีกครั้งในอีก 87 ปีต่อมาโดยAlfred Inselberg ^{[ 5 ]}ในปี 1985 และได้รับการพัฒนาอย่างเป็นระบบในฐานะระบบพิกัดตั้งแต่ปี 1977 การใช้งานที่สำคัญบางอย่าง ได้แก่อัลกอริทึมการหลีกเลี่ยงการชนกันสำหรับการควบคุมการจราจรทางอากาศ (สิทธิบัตรของสหรัฐอเมริกา 3 ฉบับในปี 1987) การขุดข้อมูล (สิทธิบัตรของสหรัฐอเมริกา) วิชั่นคอมพิวเตอร์ (สิทธิบัตรของสหรัฐอเมริกา) การเพิ่มประสิทธิภาพการควบคุมกระบวนการและล่าสุดในการตรวจจับการบุกรุกและอื่นๆ

ในระนาบที่มีระบบพิกัดคาร์ทีเซียน XY การเพิ่มมิติ เพิ่มเติม ในพิกัดขนาน (มักย่อว่า ||-พิกัด, PCP หรือ PC) เกี่ยวข้องกับการเพิ่มแกนมากขึ้น คุณค่าของพิกัดขนานคือคุณสมบัติทางเรขาคณิตบางอย่างในมิติสูงจะแปลงเป็นรูปแบบ 2 มิติที่มองเห็นได้ง่าย ตัวอย่างเช่น เซตของจุดบนเส้นตรงใน ปริภูมิ n มิติ แปลงเป็นเซตของเส้นหลายเหลี่ยมในพิกัดขนานซึ่งตัดกันที่n  − 1 จุด สำหรับn = 2 จะได้ความสัมพันธ์แบบจุด-เส้นตรง ซึ่งชี้ให้เห็นว่าเหตุใดพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของพิกัดขนานจึงได้รับการพัฒนาในปริภูมิเชิง ฉาย มากกว่าปริภูมิยุคลิดเส้นตรงสองเส้นตัดกันที่จุดเฉพาะจุดหนึ่งซึ่งมีสองพิกัด และดังนั้นจึงสามารถสอดคล้องกับเส้นตรงเฉพาะเส้นหนึ่งซึ่งระบุโดยพารามิเตอร์สองตัว (หรือสองจุด) ในทางตรงกันข้าม ต้องใช้จุดมากกว่าสองจุดในการระบุเส้นโค้ง และเส้นโค้งสองเส้นอาจไม่มีจุดตัดเฉพาะจุดเดียว ดังนั้น การใช้เส้นโค้งในพิกัดขนานแทนเส้นตรง จะทำให้คุณสมบัติทวิภาวะของจุดและเส้นตรงหายไปพร้อมกับคุณสมบัติอื่นๆ ทั้งหมดของเรขาคณิตเชิงฉายภาพ และรูปแบบมิติสูงที่ดีที่รู้จักกันดีซึ่งสอดคล้องกับระนาบ (ไฮเปอร์) เส้นโค้ง พื้นผิว (ไฮเปอร์) เรียบหลายแบบ ความใกล้เคียง ความนูน และล่าสุดคือการไม่สามารถกำหนดทิศทางได้^{[ 6 ]}เป้าหมายคือการแมปความสัมพันธ์ n มิติไปยังรูปแบบ 2 มิติ ดังนั้น พิกัดขนานจึงไม่ใช่การแมปแบบจุดต่อจุด แต่เป็นการ แมปเซตย่อย nมิติไปยังเซตย่อย 2 มิติ โดยไม่มีการสูญเสียข้อมูล หมายเหตุ: แม้แต่จุดใน n มิติก็ไม่ได้ถูกแมปไปยังจุดใน 2 มิติ แต่ไปยังเส้นรูปหลายเหลี่ยม ซึ่งเป็นเซตย่อยของ 2 มิติ

เมื่อใช้สำหรับการแสดงภาพข้อมูลทางสถิติ มีข้อควรพิจารณาที่สำคัญสามประการ ได้แก่ ลำดับ การหมุน และการปรับขนาดของแกน

ลำดับของแกนมีความสำคัญต่อการค้นหาคุณลักษณะ และในการวิเคราะห์ข้อมูลทั่วไป จำเป็นต้องลองจัดลำดับใหม่หลายครั้ง ผู้เขียนบางคนได้คิดค้นฮิวริสติกส์ในการจัดลำดับซึ่งอาจสร้างลำดับที่ชัดเจนได้^{[ 7 ]}

การหมุนแกนเป็นการเลื่อนในพิกัดขนาน และหากเส้นตัดกันนอกแกนขนาน ก็สามารถเลื่อนระหว่างแกนขนานได้โดยการหมุน ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือการหมุนแกน 180 องศา^{[ 8 ]}

การปรับขนาดมีความจำเป็นเนื่องจากพล็อตขึ้นอยู่กับการแทรกสอด (การรวมเชิงเส้น) ของคู่ตัวแปรที่ต่อเนื่องกัน^{[ 8 ]}ดังนั้นตัวแปรจะต้องอยู่ในมาตราส่วนเดียวกัน และมีวิธีการปรับขนาดมากมายที่ต้องพิจารณาเป็นส่วนหนึ่งของกระบวนการเตรียมข้อมูลซึ่งสามารถเปิดเผยมุมมองที่มีข้อมูลมากขึ้นได้

พล็อตพิกัดขนานที่เรียบเนียนนั้นทำได้ด้วยสปลาย^{[ 9 ]}ในพล็อตที่เรียบเนียน การสังเกตแต่ละครั้งจะถูกแมปไปยังเส้นพาราเมตริก (หรือเส้นโค้ง) ซึ่งเรียบเนียน ต่อเนื่องบนแกน และตั้งฉากกับแกนขนานแต่ละแกน การออกแบบนี้เน้นระดับการหาปริมาณสำหรับคุณลักษณะข้อมูลแต่ละรายการ^{[ 8 ]}

อินเซลเบิร์ก ( อินเซลเบิร์ก 1997 ) ได้ทำการทบทวนอย่างละเอียดเกี่ยวกับวิธีการอ่านรูปแบบความสัมพันธ์ของพิกัดขนานด้วยสายตา^{[ 10 ]}เมื่อเส้นส่วนใหญ่ระหว่างแกนขนานสองแกนขนานกันในระดับหนึ่ง แสดงว่ามีความสัมพันธ์เชิงบวกระหว่างสองมิตินี้ เมื่อเส้นตัดกันในลักษณะซ้อนทับกันเป็นรูปตัว X แสดงว่ามีความสัมพันธ์เชิงลบ เมื่อเส้นตัดกันแบบสุ่มหรือขนานกัน แสดงว่าไม่มีความสัมพันธ์ใดๆ เป็นพิเศษ

ในระบบพิกัดขนาน แกนแต่ละแกนจะมีแกนข้างเคียงได้มากที่สุดสองแกน (แกนหนึ่งอยู่ทางซ้าย และอีกแกนหนึ่งอยู่ทางขวา) สำหรับ ชุดข้อมูล nมิติ จะสามารถแสดงความสัมพันธ์ได้มากที่สุดn - 1 ความสัมพันธ์ในแต่ละครั้งโดยไม่ต้องเปลี่ยนแปลงวิธีการ ใน การแสดงภาพ อนุกรมเวลาจะมีตัวก่อนหน้าและตัวถัดไปตามธรรมชาติ ดังนั้นในกรณีพิเศษนี้จึงมีการจัดเรียงที่เหมาะสม อย่างไรก็ตาม เมื่อแกนไม่มีลำดับที่แน่นอน การค้นหาการจัดเรียงแกนที่ดีต้องใช้การทดลองและการออกแบบคุณลักษณะ เพื่อสำรวจความสัมพันธ์เพิ่มเติม อาจมีการจัดเรียงใหม่หรือปรับโครงสร้างแกนใหม่

แนวทางหนึ่งจัดเรียงแกนในพื้นที่ 3 มิติ (ยังคงขนานกัน โดยสร้างกราฟแลตทิซ ) แกนหนึ่งสามารถมีเพื่อนบ้านมากกว่าสองรายในวงกลมรอบคุณลักษณะกลาง และปัญหาการจัดเรียงสามารถปรับปรุงได้โดยใช้ต้นไม้ครอบคลุมขั้นต่ำ [ ^{11 ]}ต้นแบบของการแสดงภาพนี้มีให้ใช้งานเป็นส่วนขยายของซอฟต์แวร์การทำเหมืองข้อมูล^ELKIอย่างไรก็ตามการแสดงภาพนี้ยากต่อการตีความและโต้ตอบมากกว่าลำดับเชิงเส้น

แม้ว่าจะมีเอกสารจำนวนมากเกี่ยวกับพิกัดขนาน แต่ก็มีซอฟต์แวร์ที่โดดเด่นเพียงไม่กี่ตัวที่เปิดให้ใช้งานได้ทั่วไปเพื่อแปลงฐานข้อมูลเป็นกราฟิกพิกัดขนาน^{[ 12 ]}ซอฟต์แวร์ที่โดดเด่น ได้แก่ELKI , GGobi , MondrianและROOTไลบรารีต่างๆ ได้แก่Protovis.jsและD3.jsซึ่งมีตัวอย่างพื้นฐาน นอกจากนี้ยังมีการเผยแพร่ D3.Parcoords.js (ไลบรารีที่ใช้ D3) ซึ่งออกแบบมาโดยเฉพาะสำหรับการสร้างกราฟิกพิกัดขนาน ไลบรารีโครงสร้างข้อมูลและการวิเคราะห์ของ Python ^{อย่าง} Pandasใช้การพล็อตพิกัดขนานโดยใช้ไลบรารีการพล็อตmatplotlib [ ^{13 ]}

• แผนภูมิเรดาร์ – การแสดงภาพข้อมูลโดยใช้แกนพิกัดที่จัดเรียงในแนวรัศมี
• แผนภาพแอนดรูว์ – การแปลงฟูริเยร์ของกราฟพิกัดขนาน
• แผนภาพซานคีย์ - แผนภาพที่เน้นการไหล/การเคลื่อนไหว/การเปลี่ยนแปลงจากสถานะหนึ่งไปสู่อีกสถานะหนึ่ง

• ไฮน์ริช, จูเลียน และ ไวส์คอฟ, ดาเนียล (2013) สถานะปัจจุบันของพิกัดขนาน , Eurographics 2013 - รายงานสถานะปัจจุบัน, หน้า 95–116
• Moustafa, Rida (2011) พิกัดขนานและแผนภาพความหนาแน่นพิกัดขนาน , Wiley Interdisciplinary Reviews: Computational Statistics, Vol 3(2), หน้า 134–148
• Weidele, Daniel Karl I. (2019) พิกัดขนานแบบมีเงื่อนไข , การประชุม IEEE Visualization Conference (VIS) 2019, หน้า 221–225

• เว็บไซต์ของ Alfred Inselbergพร้อมบทช่วยสอนแบบภาพประกอบ ประวัติ ผลงานตีพิมพ์ที่คัดสรร และการประยุกต์ใช้
• การศึกษาเชิงวิเคราะห์วิธีการแสดงภาพข้อมูลที่มีตัวแปรหลายตัวสูงโดย C. Brunsdon, AS Fotheringham และ ME Charlton มหาวิทยาลัยนิวคาสเซิล สหราชอาณาจักร
• การใช้เส้นโค้งเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพการแสดงภาพพิกัดขนานเก็บถาวรเมื่อวันที่ 15 มีนาคม 2007 ที่Wayback Machineโดย Martin Graham และ Jessie Kennedy มหาวิทยาลัย Napierเอดินบะระสหราชอาณาจักร
• พิกัดขนานบทความแนะนำโดย โรเบิร์ต โคซารา
• พิกัดขนานแบบมีเงื่อนไข – รูปแบบเรียกซ้ำของพิกัดขนาน ซึ่งค่าเชิงหมวดหมู่สามารถขยายเพื่อเปิดเผยพิกัดขนานอีกระดับหนึ่งได้