ในแคลคูลัสอนุพันธ์พาราเมตริกคืออนุพันธ์ของตัวแปรตามตัวหนึ่งเทียบกับตัวแปรตามอีกตัวหนึ่ง ซึ่งหาได้เมื่อตัวแปรทั้งสองขึ้นอยู่กับตัวแปรอิสระตัวที่สาม ซึ่งโดยทั่วไปมักคิดว่าเป็น "เวลา" (นั่นคือ เมื่อตัวแปรตามคือxและyและกำหนดโดยสมการพาราเมตริกในt )

ให้x ( t )และy ( t )เป็นพิกัดของจุดบนเส้นโค้งที่แสดงเป็นฟังก์ชันของตัวแปรt : $${\displaystyle y=y(t),\quad x=x(t).}$$ อนุพันธ์อันดับแรกที่ได้จากสมการพาราเมตริก เหล่านี้ คือ $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy/dt}{dx/dt}}={\frac {{\dot {y}}(t)}{{\dot {x}}(t)}},}$$ โดยที่สัญลักษณ์นั้น${\displaystyle {\dot {x}}(t)}$หมายถึงอนุพันธ์ของxเทียบกับtซึ่งสามารถหาได้โดยใช้กฎลูกโซ่สำหรับการหาอนุพันธ์: $${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}}$$ และแบ่งทั้งสองฝั่งโดย${\textstyle {\frac {dx}{dt}}}$เพื่อให้ได้สมการข้างต้น

โดยทั่วไป อนุพันธ์ทั้งหมดเหล่านี้ — dy / dt , dx / dtและdy / dx — ล้วนเป็นฟังก์ชันของtดังนั้นจึงสามารถเขียนให้ชัดเจนยิ่งขึ้นได้ เช่น${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}(t)}$.

อนุพันธ์ อันดับสองที่ได้จากสมการพาราเมตริกมีค่าดังนี้ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}&={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\\[1ex]&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\cdot {\frac {dt}{dx}}\\[1ex]&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}\right){\frac {1}{\dot {x}}}\\[1ex]&={\frac {{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}{{\dot {x}}^{3}}}\end{aligned}}}$$ โดยใช้กฎผลหารสำหรับอนุพันธ์ ผลลัพธ์หลังนี้มีประโยชน์ในการคำนวณความโค้ง

ตัวอย่างเช่น พิจารณาเซตของฟังก์ชันที่: $${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=4t^{2},&y(t)&=3t.\end{aligned}}}$$การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันทั้งสองเทียบกับtจะนำไปสู่ฟังก์ชันต่อไปนี้ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=8t,&{\frac {dy}{dt}}&=3.\end{aligned}}}$$ เมื่อแทนค่าเหล่านี้ลงในสูตรสำหรับอนุพันธ์พาราเมตริก เราจะได้ $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\frac {3}{8t}},}$$ ที่ไหน${\displaystyle {\dot {x}}}$และ${\displaystyle {\dot {y}}}$เข้าใจกันว่าเป็นฟังก์ชันของt

เราสามารถค้นหาได้ในลักษณะเดียวกัน${\displaystyle {\ddot {y}}}$.$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}({\dot {y}})=0.}$$เมื่อแทนค่าเหล่านี้ลงในสูตรสำหรับอนุพันธ์พาราเมตริกอันดับสอง เราจะได้$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}&={\frac {(8t)(0)-(3)(8)}{(8t)^{3}}}&={\frac {-3}{64t^{3}}}\end{aligned}}}$$

• การสรุปทั่วไปของอนุพันธ์