วิธีการความน่าจะเป็นบางส่วนสำหรับข้อมูลแบบพาเนล

การประมาณค่าความน่าจะเป็นแบบบางส่วน (แบบรวม) สำหรับข้อมูลแบบพาเนลเป็น วิธี การประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดแบบกึ่งสมบูรณ์สำหรับการวิเคราะห์แบบพาเนลซึ่งสมมติว่าความหนาแน่นของตัวแปรที่กำหนดนั้นระบุไว้อย่างถูกต้องสำหรับแต่ละช่วงเวลา แต่ก็อนุญาตให้มีการระบุค่าความหนาแน่นแบบมีเงื่อนไขของตัวแปร ที่กำหนดผิดพลาด ได้ ${\displaystyle y_{it}}$${\displaystyle x_{it}}$${\displaystyle y_{i}=(y_{i1},\dots ,y_{iT})}$${\displaystyle x_{i}=(x_{i1},\dots ,x_{iT})}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การประมาณค่าความน่าจะเป็นบางส่วนใช้ผลคูณของความหนาแน่นแบบมีเงื่อนไขเป็นความหนาแน่นของการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขร่วมกัน ความทั่วไปนี้อำนวยความสะดวกให้กับ วิธี การประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดในการตั้งค่าข้อมูลแผง เนื่องจากการระบุการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของy _i อย่างครบถ้วน อาจต้องใช้การคำนวณมาก^{[ 1 ]}ในทางกลับกัน การอนุญาตให้มีการระบุผิดพลาดโดยทั่วไปจะส่งผลให้เกิดการละเมิดความเท่าเทียมกันของข้อมูล และดังนั้นจึงต้องใช้ตัวประมาณค่าความคลาดเคลื่อนมาตรฐานที่แข็งแกร่งสำหรับการอนุมาน

ในการนำเสนอต่อไปนี้ เราจะปฏิบัติตามการรักษาใน Wooldridge ^{[ 1 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การหาอนุพันธ์เชิงอะซิมโทติกจะทำภายใต้การตั้งค่า T คงที่และ N ที่เพิ่มขึ้น

เมื่อเขียนความหนาแน่นแบบมีเงื่อนไขของ y _itเมื่อกำหนดx _itเป็นf _t ( y _it | x _it ;θ) ตัวประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดแบบบางส่วนจะแก้ปัญหาดังนี้:

${\displaystyle \max _{\theta \in \Theta }\sum _{i=1}^{N}\sum _{t=1}^{T}\log f_{t}(y_{it}\mid x_{it};\theta )}$

ในการกำหนดสูตรนี้ ความหนาแน่นร่วมแบบมีเงื่อนไขของy _iเมื่อกำหนดx _iจะถูกจำลองเป็นΠ _t f _t ( y _it | x _it  ; θ) เราสมมติว่าf _t (y _it | x _it  ; θ)ถูกกำหนดอย่างถูกต้องสำหรับแต่ละt = 1,..., Tและมีθ ₀ ∈ Θ ที่ทำให้E[f _t (y _it │x _it  ; θ)] มีค่าสูงสุดเพียงค่าเดียว แต่ไม่ได้สมมติว่าความหนาแน่นร่วมแบบมีเงื่อนไขถูกกำหนดอย่างถูกต้อง ภายใต้เงื่อนไขความสม่ำเสมอบางประการ ค่าประมาณความน่าจะเป็นสูงสุดแบบบางส่วน (partial MLE) จะมีความสอดคล้องและเป็นแบบปกติเชิงอะซิมโทติก

ตามข้อโต้แย้งปกติสำหรับตัวประมาณค่า M (รายละเอียดใน Wooldridge ^{[ 1 ]} ) ความแปรปรวนเชิงอะซิมโทติกของ√ N (θ _MLE - θ ₀ ) คือ A ⁻¹ BA ⁻¹โดยที่A ⁻¹ = E[ Σ _t ∇ ² _θ logf _t (y _it │x _it  ; θ)] ⁻¹และ B=E[( Σ _t ∇ _θ logf _t (y _it │x _it  ; θ) ) ( Σ _t ∇ _θ logf _t (y _it │x _it ; θ ) ) ^T ]หากความหนาแน่นร่วมแบบมีเงื่อนไขของ y _iเมื่อกำหนด x _iถูกต้อง สูตรข้างต้นสำหรับความแปรปรวนเชิงอะซิมโทติกจะง่ายขึ้นเนื่องจากความเท่าเทียมกันของข้อมูลกล่าวว่าB= A อย่างไรก็ตาม ยกเว้นในกรณีพิเศษความหนาแน่นร่วมที่จำลองโดย MLE บางส่วนนั้นไม่ถูกต้อง ดังนั้น เพื่อการอนุมานที่ถูกต้อง ควรใช้สูตรข้างต้นสำหรับความแปรปรวนเชิงอะซิมโทติก สำหรับความเท่าเทียมกันของข้อมูล เงื่อนไขที่เพียงพอประการหนึ่งคือ คะแนนของความหนาแน่นสำหรับแต่ละช่วงเวลาไม่มีความสัมพันธ์กัน ในแบบจำลองที่สมบูรณ์แบบไดนามิก เงื่อนไขนี้เป็นจริง ดังนั้นความแปรปรวนเชิงอะซิมโทติกแบบง่ายจึงถูกต้อง^{[ 1 ]}

Pooled QMLE เป็นเทคนิคที่ช่วยในการประมาณค่าพารามิเตอร์เมื่อ มี ข้อมูลแบบพาเนลที่มีผลลัพธ์แบบปัวซง ตัวอย่างเช่น อาจมีข้อมูลเกี่ยวกับจำนวนสิทธิบัตรที่ยื่นโดยบริษัทต่างๆ ในช่วงเวลาต่างๆ Pooled QMLE ไม่จำเป็นต้องมีผลกระทบที่ไม่สามารถสังเกตได้ (ซึ่งอาจเป็นผลกระทบแบบสุ่มหรือผลกระทบแบบคงที่ ) และวิธีการประมาณค่านี้ถูกเสนอขึ้นมาเพื่อวัตถุประสงค์เหล่านี้เป็นหลัก ข้อกำหนดด้านการคำนวณนั้นไม่เข้มงวดมากนัก โดยเฉพาะเมื่อเทียบกับแบบจำลองปัวซงแบบผลกระทบคงที่แต่ข้อเสียคือสมมติฐานที่อาจเข้มงวดมากเกี่ยวกับการไม่มีความแตกต่างที่ไม่สามารถสังเกตได้คำว่า Pooled หมายถึงการรวมข้อมูลในช่วงเวลาต่างๆTเข้าด้วยกัน ในขณะที่ QMLE หมายถึงเทคนิคการประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดแบบกึ่ง (quasi-maximum likelihood)

การแจกแจงปัวซงที่กำหนดจะระบุไว้ดังนี้: ^{[ 2 ]}${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle f(y_{i}\mid x_{i})={\frac {e^{-\mu _{i}}\mu _{i}^{y_{i}}}{y_{i}!}}}$

จุดเริ่มต้นสำหรับ QMLE แบบรวมของ Poisson คือสมมติฐานค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไข โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราสมมติว่าสำหรับบางค่าในพื้นที่พารามิเตอร์B ที่กระชับ ค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไขจะกำหนดโดย^{[ 2 ]}${\displaystyle b_{0}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [y_{t}\mid x_{t}]=m(x_{t},b_{0})=\mu _{t}{\text{ สำหรับ }}t=1,\ldots ,T.}$

เงื่อนไขพื้นที่พารามิเตอร์ขนาดกะทัดรัดถูกกำหนดขึ้นเพื่อเปิดใช้งานการใช้เทคนิคการประมาณค่า Mในขณะที่ค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไขสะท้อนให้เห็นว่าค่าเฉลี่ยประชากรของกระบวนการปัวซงเป็นพารามิเตอร์ที่น่าสนใจ ในกรณีนี้ พารามิเตอร์ที่ควบคุมกระบวนการปัวซงสามารถเปลี่ยนแปลงได้โดยสัมพันธ์กับเวกเตอร์[ ^{2 ] ใน} ทางทฤษฎี ฟังก์ชันmสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตลอดเวลา แม้ว่าจะมักถูกระบุว่าคงที่ตลอดเวลา^{[ 3 ]}โปรดทราบว่ามีการระบุเฉพาะฟังก์ชันค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไขเท่านั้น และเราจะได้รับค่าประมาณที่สอดคล้องกันของตราบใดที่เงื่อนไขค่าเฉลี่ยนี้ถูกระบุอย่างถูกต้อง ซึ่งนำไปสู่เงื่อนไขอันดับแรกต่อไปนี้ ซึ่งแสดงถึงความน่าจะเป็นแบบกึ่งลอการิทึมสำหรับการประมาณค่าปัวซงแบบรวม: ^{[ 2 ]}${\displaystyle x_{t}\centerdot }$${\displaystyle b_{0}}$

${\displaystyle \ell _{i}(b)=\sum [y_{it}\log(m(x_{it},b))-m(x_{it},b)]}$

ตัวเลือกที่นิยมคือเนื่องจากกระบวนการปัวซงถูกกำหนดไว้บนเส้นจำนวนจริงบวก^{[ 3 ]}ซึ่งลดโมเมนต์แบบมีเงื่อนไขให้เหลือเพียงฟังก์ชันดัชนีเลขชี้กำลัง โดยที่คือดัชนีเชิงเส้น และ exp คือฟังก์ชันเชื่อมโยง^{[ 4 ]}${\displaystyle m=(x_{t},b_{0})=\exp(x_{t}b_{0})}$${\displaystyle x_{t}b_{0}}$