ในทางคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงแบบอนันต์หรือทฤษฎีเซตเชิงการจัดเรียงเป็นการขยายแนวคิดในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงไปสู่เซตอนันต์สิ่งต่างๆ ที่ศึกษาได้แก่กราฟและต้นไม้ ต่อเนื่อง การขยายทฤษฎีบทของแรมซีย์และสัจพจน์ของมาร์ตินการพัฒนาล่าสุดเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงของความต่อเนื่อง^{[ 1 ]}และคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงบนตัวสืบทอดของคาร์ดินัลเอกฐาน^{[ 2 ]}

เขียน${\displaystyle \คัปปา ,\แลมบ์ดา }$สำหรับลำดับที่ ${\displaystyle m}$สำหรับจำนวนเชิงคาร์ดินัล (จำกัดหรืออนันต์) และ${\displaystyle n}$สำหรับจำนวนธรรมชาติErdős & Rado (1956)ได้นำเสนอสัญลักษณ์นี้

${\displaystyle \displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda )_{m}^{n}}$

เพื่อเป็นคำย่อในการกล่าวว่า การแบ่งแต่ละส่วนของเซต${\displaystyle [\kappa ]^{n}}$ของ${\displaystyle n}$- เซตย่อยขององค์ประกอบ${\displaystyle \kappa }$เข้าไปข้างใน${\displaystyle m}$ชิ้นส่วนมีชุดประเภทลำดับที่เป็นเนื้อเดียวกัน${\displaystyle \lambda }$ในกรณีนี้ เซตเอกพันธุ์คือเซตย่อยของ${\displaystyle \kappa }$โดยที่ทุกๆ${\displaystyle n}$-เซตย่อยขององค์ประกอบอยู่ในองค์ประกอบเดียวกันของพาร์ติชัน เมื่อ${\displaystyle m}$เลข 2 มักถูกละเว้น ประโยคลักษณะนี้เรียกว่า ความสัมพันธ์แบบแบ่งส่วน (partition relations)

หากยึดหลักสัจพจน์ของการเลือกแล้วจะไม่มีลำดับขั้นใดๆ${\displaystyle \kappa }$กับ${\displaystyle \kappa \rightarrow (\omega )^{\omega }}$, ดังนั้น${\displaystyle n}$โดยทั่วไปถือว่ามีขอบเขตจำกัด ส่วนขยายที่${\displaystyle n}$สัญลักษณ์ดังกล่าวแทบจะอนุญาตให้มีค่าเป็นอนันต์ได้

${\displaystyle \displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda )_{m}^{<\omega }}$

ซึ่งเป็นวิธีเขียนแบบย่อๆ ที่หมายความว่าการแบ่งส่วน ทุกส่วน ของเซตของเซตย่อยจำกัดของ${\displaystyle \kappa }$เข้าไปข้างใน${\displaystyle m}$ชิ้นส่วนมีชุดย่อยของประเภทการสั่งซื้อ${\displaystyle \lambda }$โดยที่สำหรับค่าจำกัดใดๆ${\displaystyle n}$เซตย่อยทั้งหมดที่มีขนาด${\displaystyle n}$อยู่ในองค์ประกอบเดียวกันของพาร์ติชัน เมื่อ${\displaystyle m}$ข้อ 2 มักถูกละเว้น

รูปแบบอื่นคือสัญลักษณ์

${\displaystyle \displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda ,\mu )^{n}}$

ซึ่งเป็นวิธีพูดแบบย่อๆ ว่าการระบายสีทุกสีของชุดนั้น${\displaystyle [\kappa ]^{n}}$ของ${\displaystyle n}$-เซตย่อยขององค์ประกอบ${\displaystyle \kappa }$ที่มี 2 สีจะมีประเภทลำดับย่อย${\displaystyle \lambda }$โดยที่องค์ประกอบทั้งหมดของ${\displaystyle [\แลมบ์ดา ]^{n}}$มีสีแรก หรือชุดย่อยของประเภทลำดับ${\displaystyle \mu }$โดยที่องค์ประกอบทั้งหมดของ${\displaystyle [\mu ]^{n}}$มีสีที่สอง การระบายสีของ${\displaystyle [\kappa ]^{n}}$เป็นฟังก์ชัน${\displaystyle f:[\kappa ]^{n}\rightarrow p}$.

คุณสมบัติบางประการของสิ่งนี้ได้แก่: (ดังต่อไปนี้)${\displaystyle \kappa }$(เป็นนกคาร์ดินัล)

${\displaystyle \displaystyle \aleph _{0}\rightarrow (\aleph _{0})_{k}^{n}}$สำหรับค่าจำกัดทั้งหมด${\displaystyle n}$และ${\displaystyle k}$( ทฤษฎีบทของแรมซีย์ )

${\displaystyle \displaystyle \beth _{n}^{+}\rightarrow (\aleph _{1})_{\aleph _{0}}^{n+1}}$( ทฤษฎีบท Erdős–Rado )

${\displaystyle \displaystyle 2^{\kappa }\not \rightarrow (\kappa ^{+})^{2}}$(ทฤษฎีบทเซียร์ปินสกี)

${\displaystyle \displaystyle 2^{\kappa }\not \rightarrow (3)_{\kappa }^{2}}$

${\displaystyle \displaystyle \kappa \rightarrow (\kappa ,\aleph _{0})^{2}}$(ทฤษฎีบทแอร์ดอส–ดุชนิก–มิลเลอร์ )

ในเอกภพที่ปราศจากทางเลือก คุณสมบัติการแบ่งส่วนที่มีเลขชี้กำลังอนันต์อาจเกิดขึ้นได้ และบางส่วนได้มาเป็นผลสืบเนื่องมาจากสัจพจน์แห่งความแน่นอน (AD) ตัวอย่างเช่นโดนัลด์ เอ. มาร์ตินพิสูจน์ว่า AD บ่งชี้ว่า

${\displaystyle \displaystyle \aleph _{1}\rightarrow (\aleph _{1})_{2}^{\aleph _{1}}}$

Wacław Sierpińskiแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบท Ramsey ไม่สามารถขยายไปใช้กับเซตที่มีขนาดได้${\displaystyle \aleph _{1}}$โดยการแสดงให้เห็นว่า${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\nrightarrow (\aleph _{1})_{2}^{2}}$กล่าวคือ เซียร์ปินสกีได้สร้างการระบายสีคู่ของจำนวนจริงเป็นสองสี โดยที่สำหรับทุกเซตย่อยที่นับไม่ได้ของจำนวนจริง${\displaystyle X}$,${\displaystyle [X]^{2}}$ใช้ทั้งสองสี โดยพิจารณาชุดจำนวนจริงใดๆ ที่มีขนาด${\displaystyle \aleph _{1}}$และเมื่อนำวิธีการลงสีของ Sierpiński มาประยุกต์ใช้ เราก็จะได้ผลลัพธ์ดังนี้${\displaystyle \aleph _{1}\not \rightarrow (\aleph _{1})_{2}^{2}}$การระบายสีแบบนี้เรียกว่าการระบายสีแบบเข้มข้น^{[ 3 ]}และศึกษาในทฤษฎีเซตErdős, Hajnal & Rado (1965)ได้นำเสนอสัญลักษณ์ที่คล้ายกับข้างต้นสำหรับสิ่งนี้

เขียน${\displaystyle \kappa ,\lambda }$สำหรับลำดับที่ ${\displaystyle m}$สำหรับจำนวนเชิงคาร์ดินัล (จำกัดหรืออนันต์) และ${\displaystyle n}$สำหรับจำนวนธรรมชาติ จากนั้น

${\displaystyle \displaystyle \kappa \nrightarrow [\lambda ]_{m}^{n}}$

เป็นวิธีย่อในการบอกว่ามีการระบายสีของชุดอยู่${\displaystyle [\kappa ]^{n}}$ของ${\displaystyle n}$-เซตย่อยขององค์ประกอบ${\displaystyle \kappa }$เข้าไปข้างใน${\displaystyle m}$ชิ้นส่วนต่างๆ เช่นนั้น ชุดคำสั่งประเภททุกชุด${\displaystyle \lambda }$เป็นเซตสีรุ้ง ในกรณีนี้ เซตสีรุ้งคือเซตย่อย${\displaystyle A}$ของ${\displaystyle \kappa }$โดยที่${\displaystyle [A]^{n}}$เอาทั้งหมด${\displaystyle m}$สีต่างๆ เมื่อ${\displaystyle m}$เลข 2 มักถูกละเว้น ประโยคดังกล่าวเรียกว่า ความสัมพันธ์การแบ่งส่วนวงเล็บเหลี่ยมเชิงลบ

รูปแบบอื่นคือสัญลักษณ์

${\displaystyle \kappa \nrightarrow [\lambda$ ;\mu ]_{m}^{2}}

ซึ่งเป็นวิธีพูดแบบย่อๆ ว่ามีการระบายสีชุดอยู่${\displaystyle [\kappa ]^{2}}$ของเซตย่อย 2 องค์ประกอบของ${\displaystyle \kappa }$กับ${\displaystyle m}$สีต่างๆ เช่นนั้นสำหรับทุกเซตย่อย${\displaystyle A}$ของประเภทการสั่งซื้อ${\displaystyle \lambda }$และทุกกลุ่มย่อย${\displaystyle B}$ของประเภทการสั่งซื้อ${\displaystyle \mu }$ชุด${\displaystyle A\times B}$เอาทั้งหมด${\displaystyle m}$สีต่างๆ

คุณสมบัติบางประการของสิ่งนี้ได้แก่: (ดังต่อไปนี้)${\displaystyle \kappa }$(เป็นนกคาร์ดินัล)

${\displaystyle \displaystyle 2^{\kappa }\nrightarrow [\kappa ^{+}]^{2}}$(เซียร์ปินสกี)

${\displaystyle \displaystyle \aleph _{1}\nrightarrow [\aleph _{1}]^{2}}$(เซียร์ปินสกี)

${\displaystyle \displaystyle \aleph _{1}\nrightarrow [\aleph _{1}]_{3}^{2}}$( ลาเวอร์ , บลาส )

${\displaystyle \displaystyle \aleph _{1}\nrightarrow [\aleph _{1}]_{4}^{2}}$( กัลวินและเชลาห์ )

${\displaystyle \displaystyle \aleph _{1}\nrightarrow [\aleph _{1}]_{\aleph _{1}}^{2}}$( โทดอร์เชวิช)

${\displaystyle \displaystyle \aleph _{1}\nrightarrow [\aleph _{1};\aleph _{1}]_{\aleph _{1}}^{2}}$( มัวร์ )

${\displaystyle \displaystyle 2^{\aleph _{0}}\nrightarrow [2^{\aleph _{0}}]_{\aleph _{0}}^{2}}$( กัลวินและเชลาห์ )

คุณสมบัติ เชิงปริมาณขนาดใหญ่หลายอย่างสามารถกำหนดได้โดยใช้สัญลักษณ์นี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง:

• คาร์ดินัลขนาดกะทัดรัดอ่อน${\displaystyle \kappa }$คือสิ่งที่ตอบสนองความต้องการ${\displaystyle \kappa \rightarrow (\kappa )^{2}}$
• α- คาร์ดินัลของ Erdős${\displaystyle \kappa }$คือสิ่งที่เล็กที่สุดที่ตอบสนองความต้องการ${\displaystyle \kappa \rightarrow (\alpha )^{<\,\omega }}$
• แรมซีย์ คาร์ดินัลส์${\displaystyle \kappa }$คือสิ่งที่ตอบสนองความต้องการ${\displaystyle \kappa \rightarrow (\kappa )^{<\,\omega }}$