ในทางคณิตศาสตร์กฎของปาสคาล (หรือสูตรของปาสคาล ) คือเอกลักษณ์เชิงการจัดเรียง เกี่ยวกับสัมประสิทธิ์ทวินามสัมประสิทธิ์ทวินามคือตัวเลขที่ปรากฏในสามเหลี่ยมของปาสคาลกฎของปาสคาลกล่าวว่า สำหรับจำนวนเต็มบวก nและk$${\displaystyle {n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}={n \choose k},}$$ ที่ไหน${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$คือสัมประสิทธิ์ทวินาม กล่าวคือ สัมประสิทธิ์ของ พจน์ x ^kในการขยายของ(1 + x ) ⁿไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับขนาดสัมพัทธ์ของn และ k [ 1 ^]โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เอกลักษณ์ข้างต้นยังคงใช้ได้เมื่อn ^< kเนื่องจาก${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}=0}$เมื่อใดก็ตามที่n < k

พร้อมกับเงื่อนไขขอบเขต${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}={\tbinom {n}{n}}=1}$สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบn ทุก จำนวน กฎของปาสคาลระบุว่า $${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(nk)!}},}$$ สำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด0 ≤ k ≤ nในแง่นี้ กฎของปาสคาลคือความสัมพันธ์เวียนเกิดที่กำหนดสัมประสิทธิ์ทวินาม

กฎของปาสคาลสามารถขยายความให้ครอบคลุมถึงสัมประสิทธิ์พหุนามได้ เช่นกัน

กฎ ของปาสคาลมีความหมายเชิงการจัดเรียงที่เข้าใจง่าย ซึ่งแสดงออกมาอย่างชัดเจนในการพิสูจน์การนับนี้^{[ 2 ] : 44}

หลักฐานโปรดจำไว้ว่า${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$เท่ากับจำนวนเซตย่อยที่มีkสมาชิกจากเซตที่มีnสมาชิก สมมติว่ามีสมาชิกหนึ่งตัวที่ถูกกำหนดชื่อเฉพาะว่าXในเซตที่มีnสมาชิก

ในการสร้างเซตย่อยที่ มี kสมาชิกซึ่งประกอบด้วยXให้รวม X เข้าไปด้วย และเลือกk − 1 สมาชิกจากสมาชิกที่เหลือn − 1 สมาชิกในเซตนั้น มีอยู่${\displaystyle {\tbinom {n-1}{k-1}}}$กลุ่มย่อยดังกล่าว

ในการสร้างเซตย่อยที่มีkองค์ประกอบที่ไม่ประกอบด้วยXให้เลือกkองค์ประกอบจากองค์ประกอบที่เหลือn − 1 ตัวในเซตนั้น มีอยู่${\displaystyle {\tbinom {n-1}{k}}}$กลุ่มย่อยดังกล่าว

เซตย่อยทุกเซตที่มี สมาชิก kตัว จะมีX อยู่ด้วย หรือไม่ก็ไม่มี X อยู่ด้วย จำนวนเซตย่อยทั้งหมดที่มี สมาชิก kตัวในเซตที่ มีสมาชิก nตัว คือ ผลรวมของจำนวนเซตย่อยที่มีX อยู่ด้วย และจำนวนเซตย่อยที่ไม่มีX อยู่ด้วย${\displaystyle {\tbinom {n-1}{k-1}}+{\tbinom {n-1}{k}}}$.

สิ่งนี้เท่ากับ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$; ดังนั้น,${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n-1}{k-1}}+{\tbinom {n-1}{k}}}$.

อีกทางเลือกหนึ่งคือ การพิสูจน์ทางพีชคณิตของกรณีทวินามมีดังต่อไปนี้ $${\displaystyle {\begin{aligned}{n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}&={\frac {(n-1)!}{k!(n-1-k)!}}+{\frac {(n-1)!}{(k-1)!(nk)!}}\\&=(n-1)!\left[{\frac {nk}{k!(nk)!}}+{\frac {k}{k!(nk)!}}\right]\\&=(n-1)!{\frac {n}{k!(nk)!}}\\&={\frac {n!}{k!(nk)!}}\\&={\binom {n}{k}}.\end{aligned}}}$$

การพิสูจน์ทางพีชคณิตอีกวิธีหนึ่งโดยใช้นิยามทางเลือกของสัมประสิทธิ์ทวินาม:${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}}}$. อย่างแท้จริง

$${\displaystyle {\begin{aligned}{n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}&={\frac {(n-1)\cdots ((n-1)-k+1)}{k!}}+{\frac {(n-1)\cdots ((n-1)-(k-1)+1)}{(k-1)!}}\\&={\frac {(n-1)\cdots (nk)}{k!}}+{\frac {(n-1)\cdots (n-k+1)}{(k-1)!}}\\&={\frac {(n-1)\cdots (n-k+1)}{(k-1)!}}\left[{\frac {nk}{k}}+1\right]\\&={\frac {(n-1)\cdots (n-k+1)}{(k-1)!}}\cdot {\frac {n}{k}}\\&={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}}\\&={\binom {n}{k}}.\end{aligned}}}$$

เนื่องจาก${\displaystyle {\tbinom {z}{k}}={\frac {z(z-1)\cdots (z-k+1)}{k!}}}$ใช้เป็นนิยามขยายของสัมประสิทธิ์ทวินามเมื่อzเป็นจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นการพิสูจน์ทางพีชคณิตทางเลือกข้างต้นจึงแสดงให้เห็นว่ากฎของปาสคาลใช้ได้ทั่วไปมากขึ้นเมื่อแทนn ด้วยจำนวนเชิงซ้อนใดๆ

กฎของปาสคาลสามารถขยายไปสู่สัมประสิทธิ์พหุนามได้^{[ 2 ] : 144}สำหรับจำนวนเต็มp ใดๆ ที่${\displaystyle p\geq 2}$,${\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}\in \mathbb {Z} ^{+}\!,}$และ${\displaystyle n=k_{1}+k_{2}+k_{3}+\cdots +k_{p}\geq 1}$, $${\displaystyle {n-1 \choose k_{1}-1,k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}+{n-1 \choose k_{1},k_{2}-1,k_{3},\dots ,k_{p}}+\cdots +{n-1 \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}-1}={n \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}}$$ ที่ไหน${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}}$คือสัมประสิทธิ์ของ${\displaystyle x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{p}^{k_{p}}}$คำศัพท์ในการขยายความของ${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\dots +x_{p})^{n}}$.

การพิสูจน์ทางพีชคณิตสำหรับกรณีทั่วไปนี้มีดังต่อไปนี้^{[ 2 ] : 144}ให้pเป็นจำนวนเต็มเช่นนั้น${\displaystyle p\geq 2}$,${\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}\in \mathbb {N} ^{+}\!,}$และ${\displaystyle n=k_{1}+k_{2}+k_{3}+\cdots +k_{p}\geq 1}$. แล้ว $${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad {n-1 \choose k_{1}-1,k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}+{n-1 \choose k_{1},k_{2}-1,k_{3},\dots ,k_{p}}+\cdots +{n-1 \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}-1}\\&={\frac {(n-1)!}{(k_{1}-1)!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+{\frac {(n-1)!}{k_{1}!(k_{2}-1)!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+\cdots +{\frac {(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots (k_{p}-1)!}}\\&={\frac {k_{1}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+{\frac {k_{2}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+\cdots +{\frac {k_{p}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={\frac {(k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{p})(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}\\&={\frac {n(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={n \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}.\end{aligned}}}$$

• สามเหลี่ยมปาสคาล
• เอกลักษณ์ของไม้ฮอกกี้

• เมอร์ริส, รัสเซลล์. คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง . สำนักพิมพ์จอห์น ไวลีย์ แอนด์ ซันส์. 2003 ISBN 978-0-471-26296-1

• "สัมประสิทธิ์ทวินามกลาง " PlanetMath
• "สัมประสิทธิ์ทวินาม" PlanetMath

บทความนี้ได้นำเนื้อหาจากสามเหลี่ยมปาสคาลบนเว็บไซต์ PlanetMath มาใช้ ซึ่งได้รับอนุญาตภายใต้Creative Commons Attribution/Share-Alike License

บทความนี้ได้นำเนื้อหาจากบทพิสูจน์กฎของปาสคาลบนเว็บไซต์ PlanetMath มาใช้ ซึ่งได้รับอนุญาตภายใต้Creative Commons Attribution/Share-Alike License