ในทางคณิตศาสตร์ลำดับคาบ (บางครั้งเรียกว่าวัฏจักรหรือวงโคจร ) คือลำดับที่มีพจน์ เดียวกัน ซ้ำกันไปเรื่อยๆ:

a ₁ , a ₂ , ..., a _p ,   a ₁ , a ₂ , ..., a _p ,   a ₁ , a ₂ , ..., a _p , ...

จำนวนpของพจน์ที่ซ้ำกันเรียกว่าคาบ ( period ) ^{[ 1 ]}

ลำดับคาบ (บริสุทธิ์) (ที่มีคาบp ) หรือลำดับคาบpคือลำดับa ₁ , a ₂ , a ₃ , ... ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข

a _{n + p} = a _n

^{สำหรับ ค่า} nทั้งหมด^[ 1 ^{] [ 2 ] [ 3 ]}หากลำดับถือเป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนธรรมชาติลำดับคาบก็เป็นเพียงฟังก์ชันคาบ ประเภทพิเศษ ^{[ 4 ]}ค่า pที่เล็กที่สุดที่ทำให้ลำดับคาบเป็นp- คาบเรียกว่าคาบน้อยที่สุด^{[ 1 ]}หรือคาบที่แน่นอน

ฟังก์ชันคงที่ทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันคาบ 1

ลำดับนี้เป็นลำดับคาบ โดยมีคาบต่ำสุดคือ 2 ${\displaystyle 1,2,1,2,1,2\dots }$

ลำดับของตัวเลขใน การขยาย ทศนิยมของ 1/7 เป็นคาบที่มีคาบ 6:

${\displaystyle {\frac {1}{7}}=0.142857\,142857\,142857\,\ldots }$

โดยทั่วไปแล้ว ลำดับของตัวเลขในการขยายทศนิยมของจำนวนตรรกยะ ใดๆ จะเป็นคาบในที่สุด (ดูด้านล่าง) ^{[ 5 ]}

ลำดับของเลขยกกำลังของ −1 เป็นลำดับคาบที่มีคาบสอง:

${\displaystyle -1,1,-1,1,-1,1,\ldots }$

โดยทั่วไป ลำดับของกำลังของรากที่หนึ่ง ใดๆ จะเป็นคาบ เช่นเดียวกันนี้ก็เป็นจริงสำหรับกำลังขององค์ประกอบใดๆ ที่มีอันดับ จำกัด ในกลุ่มลำดับตัวเลขที่เป็นคาบทุกลำดับสามารถเขียนได้เป็นพหุนาม โดยประเมินค่าที่กำลังของรากที่หนึ่ง: โดยที่คือรากที่หนึ่งซึ่งมีอันดับเท่ากับคาบของลำดับ^{[ 4 ]}${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle a_{i}=p(z^{i})}$${\displaystyle z}$

จุดคาบสำหรับฟังก์ชันf  : X → Xคือจุดxที่มีวงโคจร

${\displaystyle x,\,f(x),\,f(f(x)),\,f^{3}(x),\,f^{4}(x),\,\ldots }$

เป็นลำดับคาบ ในที่นี้หมายถึงการประกอบกันnครั้งของ ฟังก์ชัน fที่ใช้กับxจุดคาบมีความสำคัญในทฤษฎีระบบพลวัตทุกฟังก์ชันจากเซตจำกัดไปยังตัวมันเองจะมีจุดคาบการตรวจจับวัฏจักรคือปัญหาเชิงอัลกอริทึมในการค้นหาจุดดังกล่าว ${\displaystyle f^{n}(x)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{kp+m}a_{n}=k*\sum _{n=1}^{p}a_{n}+\sum _{n=1}^{m}a_{n},\qquad \prod _{n=1}^{kp+m}a_{n}={\biggl (}{\prod _{n=1}^{p}a_{n}}{\biggr )}^{k}\cdot \prod _{n=1}^{m}a_{n}}$,

โดยที่และเป็นจำนวนเต็มบวก ${\displaystyle m<p}$${\displaystyle k}$

ลำดับคาบใดๆ สามารถสร้างขึ้นได้โดยการบวก ลบ คูณ และหารลำดับคาบที่ประกอบด้วยศูนย์และหนึ่งทีละตัว ลำดับคาบศูนย์และหนึ่งสามารถแสดงได้ในรูปผลรวมของฟังก์ชันตรีโกโนเมตริก:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{0}\cos \left(2\pi {\frac {nk}{1}}\right)/1=1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,\cdots }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{1}\cos \left(2\pi {\frac {nk}{2}}\right)/2=1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,\cdots }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{2}\cos \left(2\pi {\frac {nk}{3}}\right)/3=1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,\cdots }$

${\displaystyle \cdots }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}\cos \left(2\pi {\frac {nk}{N}}\right)/N=1,0,0,0,\cdots ,1,\cdots \quad {\text{ลำดับที่มีคาบ }}N}$

วิธีการมาตรฐานวิธีหนึ่งในการพิสูจน์เอกลักษณ์เหล่านี้คือการใช้สูตรของเดอ มัวร์กับรากที่หนึ่ง ที่สอดคล้องกัน ลำดับดังกล่าวเป็นพื้นฐานในการศึกษาทฤษฎี จำนวน

ลำดับจะเป็นคาบในที่สุดหรือเป็นคาบในที่สุด^{[ 1 ]}หากสามารถทำให้เป็นคาบได้โดยการตัดพจน์จำนวนจำกัดบางส่วนออกจากจุดเริ่มต้น เงื่อนไขสุดท้ายสามารถระบุได้เทียบเท่า กับ rบางค่าและk ที่มีค่ามากพอ ตัวอย่างเช่น ลำดับของตัวเลขในการขยายทศนิยมของ 1/56 จะเป็นคาบในที่สุด: ${\displaystyle a_{k+r}=a_{k}}$

1 / 56 = 0 . 0 1 7 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 ...

ลำดับจะเป็นคาบเชิงอะซิมโทติกก็ต่อ_{เมื่อพจน์ของลำดับนั้นเข้าใกล้พจน์ของลำดับคาบ นั่นคือ ลำดับ x₁, x₂ ,} x₃ , ...  เป็นคาบ  เชิง_อะซิมโทติกก็ต่อเมื่อมีลำดับคาบa₁ ,  a₂ ,  a₃ _, ... อยู่ ซึ่ง

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}-a_{n}=0.}$^{[ 3 ]}

ตัวอย่างเช่น ลำดับ

1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 4/5, ...

เป็นคาบเชิงอะซิมโทติก เนื่องจากพจน์ของมันเข้าใกล้พจน์ของลำดับคาบ 0, 1, 0, 1, 0, 1, ....

• ลำดับคาบทั้งหมดใน OEIS