ในคณิตศาสตร์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ สูตร ของPerronเป็นสูตรที่Oskar Perron ค้นพบ เพื่อคำนวณผลรวมของฟังก์ชันเลขคณิตโดยใช้การแปลง Mellinผกผัน^{[ 1 ]}

อนุญาต${\displaystyle \{a(n)\}}$ให้ เป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์และให้

${\displaystyle g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}$

ให้ เป็นอนุกรม Dirichlet ที่สอดคล้องกัน สมมติ ว่าอนุกรม Dirichlet ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอสำหรับ${\displaystyle \Re (s)>\sigma }$ดังนั้นสูตรของเพอร์รอนคือ

${\displaystyle A(x)={\sum _{n\leq x}}'a(n)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{ci\infty }^{c+i\infty }g(z){\frac {x^{z}}{z}}\,dz.}$

ในที่นี้ เครื่องหมายไพรม์บนผลรวมแสดงว่าพจน์สุดท้ายของผลรวมจะต้องคูณด้วย 1/2 เมื่อxเป็นจำนวนเต็มอินทิกรัลนี้ไม่ใช่อินทิกรัลเลเบส ที่ลู่เข้า แต่เข้าใจได้ว่าเป็นค่าหลักของโคชีสูตรนี้ต้องการเงื่อนไขว่าc > 0, c > σ และx > 0

วิธีการพิสูจน์อย่างง่าย ๆ มาจากการนำสูตรผลรวมของอาเบล มาใช้

${\displaystyle g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }A(x)x^{-(s+1)}dx.}$

นี่ไม่ใช่สิ่งอื่นใดเลย นอกจากการแปลงลาปลาสภายใต้การเปลี่ยนตัวแปร${\displaystyle x=e^{t}.}$เมื่อกลับสูตรจะได้สูตรของเพอร์รอน

หลักฐานของสูตรของ Perron ได้รับการตีพิมพ์โดยTom M. Apostol ^{[ 2 ]}และโดยGérald Tenenbaum ^{[ 3 ]}

เนื่องจากมีความสัมพันธ์โดยทั่วไปกับอนุกรมดิริชเลต์ สูตรนี้จึงมักถูกนำไปใช้กับผลรวมเชิงทฤษฎีจำนวนหลายอย่าง ตัวอย่างเช่น เราจึงได้รูปแบบการแสดงผลแบบอินทิกรัลที่มีชื่อเสียงสำหรับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ :

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s+1}}}\,dx}$

และสูตรที่คล้ายกันสำหรับฟังก์ชันLของ Dirichlet :

${\displaystyle L(s,\chi )=s\int _{1}^{\infty }{\frac {A(x)}{x^{s+1}}}\,dx}$

ที่ไหน

${\displaystyle A(x)=\sum _{n\leq x}\chi (n)}$

และ${\displaystyle \chi (n)}$เป็นอักขระ Dirichletตัวอย่างอื่นๆ ปรากฏอยู่ในบทความเกี่ยวกับฟังก์ชัน Mertensและฟังก์ชันvon Mangoldt

สูตรของเพอร์รอนเป็นกรณีพิเศษของสูตรดังกล่าว

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a(n)f(n/x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }F(s)G(s)x^{s}ds}$

ที่ไหน

${\displaystyle G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}$

และ

${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(x)x^{s-1}dx}$

การแปลงเมลลิน สูตรของเพอร์รอนเป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันทดสอบ${\displaystyle f(1/x)=\theta (x-1),}$สำหรับ${\displaystyle \theta (x)}$ฟังก์ชันขั้นบันไดของ Heaviside

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. “สูตรของเพอร์รอน” . แมทเวิลด์ .
• Moreta, Jose Javier Garcia (2024), การสังเคราะห์แบบ Mellin แบบไม่ต่อเนื่องและส่วนขยาย สูตร Perron และสูตรที่ชัดเจนวารสารวิทยาศาสตร์ทั่วไป ISSN:1916-5382