แบบจำลองพลัมเมอร์หรือทรงกลมพลัมเมอร์ เป็นกฎความหนาแน่นที่ HC Plummerใช้เป็นครั้งแรกเพื่อปรับให้เข้ากับการสังเกตการณ์ของกระจุกดาวทรงกลม [ ^{1 ] ปัจจุบัน}มักใช้เป็นแบบจำลองของเล่นในการจำลอง N-bodyของระบบดาวฤกษ์

โปรไฟล์ความหนาแน่นสามมิติของ Plummer กำหนดโดย $${\displaystyle \rho _{P}(r)={\frac {3M_{0}}{4\pi a^{3}}}\left(1+{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{-{5}/{2}}={\frac {3M_{0}a^{2}}{4\pi (a^{2}+r^{2})^{{5}/{2}}}},}$$ ที่ไหน${\displaystyle M_{0}}$คือมวลรวมของกระจุกดาว และaคือรัศมีพลัมเมอร์ซึ่ง เป็น พารามิเตอร์มาตราส่วนที่กำหนดขนาดของแกนกลางของกระจุกดาว ศักยภาพที่สอดคล้องกันคือ $${\displaystyle \Phi _{P}(r)=-{\frac {GM_{0}}{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}},}$$ โดยที่Gคือค่าคงที่ความโน้มถ่วงของนิวตันความแปรปรวนของความเร็วคือ $${\displaystyle \sigma _{P}^{2}(r)={\frac {GM_{0}}{6{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}}}.}$$

ฟังก์ชันการกระจายแบบไอโซโทรปิกมีดังนี้ $${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {v}})={\frac {24{\sqrt {2}}}{7\pi ^{3}}}{\frac {a^{2}}{G^{5}M_{0}^{4}}}(-E({\vec {x}},{\vec {v}}))^{7/2},}$$ ถ้า${\displaystyle E<0}$, และ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {v}})=0}$มิฉะนั้น ที่${\textstyle E({\vec {x}},{\vec {v}})={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi _{P}(r)}$คือพลังงานจำเพาะ

มวลที่อยู่ภายในรัศมี${\displaystyle r}$ได้รับจาก $${\displaystyle M(<r)=4\pi \int _{0}^{r}r'^{2}\rho _{P}(r')\,dr'=M_{0}{\frac {r^{3}}{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}}.}$$

คุณสมบัติอื่นๆ อีกมากมายของแบบจำลอง Plummer ได้รับการอธิบายไว้ในบทความที่ครอบคลุมของHerwig Dejonghe ^{[ 2 ]}

รัศมีแกนกลาง${\displaystyle r_{c}}$บริเวณที่ความหนาแน่นของพื้นผิวลดลงเหลือครึ่งหนึ่งของค่าที่จุดศูนย์กลาง คือบริเวณนี้${\textstyle r_{c}=a{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}\approx 0.64a}$[ ^{3 ]​}

รัศมีครึ่งมวลคือ${\displaystyle r_{h}=\left({\frac {1}{0.5^{2/3}}}-1\right)^{-0.5}a\approx 1.3a.}$

รัศมีไวเรียลคือ${\displaystyle r_{V}={\frac {16}{3\pi }}a\approx 1.7a}$.

ความหนาแน่นของพื้นผิว 2 มิติ คือ: $${\displaystyle \Sigma (R)=\int _{-\infty }^{\infty }\rho (r(z))dz=2\int _{0}^{\infty }{\frac {3a^{2}M_{0}dz}{4\pi (a^{2}+z^{2}+R^{2})^{5/2}}}={\frac {M_{0}a^{2}}{\pi (a^{2}+R^{2})^{2}}},}$$ ดังนั้น โปรไฟล์มวลที่ฉายลงบนระนาบ 2 มิติ คือ: $${\displaystyle M(R)=2\pi \int _{0}^{R}\Sigma (R')\,R'dR'=M_{0}{\frac {R^{2}}{a^{2}+R^{2}}}.}$$

ในทางดาราศาสตร์ การกำหนดรัศมีครึ่งมวลแบบ 2 มิติ ซึ่งก็คือรัศมีที่โปรไฟล์มวลที่ฉายลงบนระนาบ 2 มิติมีค่าเป็นครึ่งหนึ่งของมวลทั้งหมด เป็นสิ่งที่สะดวก${\displaystyle M(R_{1/2})=M_{0}/2}$.

สำหรับข้อมูลประวัติของพลัมเมอร์:${\displaystyle R_{1/2}=a}$.

ความเร็วหลุดพ้น ณ จุดใดๆ คือ $${\displaystyle v_{\rm {esc}}(r)={\sqrt {-2\Phi (r)}}={\sqrt {12}}\,\sigma (r),}$$

สำหรับวงโคจรแบบผูกติด จุดเปลี่ยนทิศทางรัศมีของวงโคจรจะถูกกำหนดโดยพลังงานจำเพาะ${\textstyle E={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi (r)}$และโมเมนตัมเชิงมุมจำเพาะ${\displaystyle L=|{\vec {r}}\times {\vec {v}}|}$ได้มาจากรากบวกของสมการกำลังสาม$${\displaystyle R^{3}+{\frac {GM_{0}}{E}}R^{2}-\left({\frac {L^{2}}{2E}}+a^{2}\right)R-{\frac {GM_{0}a^{2}}{E}}=0,}$$ ที่ไหน${\displaystyle R={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}}$ดังนั้น${\displaystyle r={\sqrt {R^{2}-a^{2}}}}$สมการนี้มีรากจริงสามรากสำหรับ${\displaystyle R}$: สองค่าบวกและหนึ่งค่าลบ โดยที่${\displaystyle L<L_{c}(E)}$, ที่ไหน${\displaystyle L_{c}(E)}$คือโมเมนตัมเชิงมุมจำเพาะสำหรับการโคจรเป็นวงกลมที่พลังงานเท่ากัน ในที่นี้${\displaystyle L_{c}}$สามารถคำนวณได้จากรากจริงเดี่ยวของดิสครีมิแนนต์ของสมการกำลังสามซึ่งตัวมันเองก็เป็นสมการกำลังสาม อีกสมการหนึ่ง$${\displaystyle {\underline {E}}\,{\underline {L}}_{c}^{3}+\left(6{\underline {E}}^{2}{\underline {a}}^{2}+{\frac {1}{2}}\right){\underline {L}}_{c}^{2}+\left(12{\underline {E}}^{3}{\underline {a}}^{4}+20{\underline {E}}{\underline {a}}^{2}\right){\underline {L}}_{c}+\left(8{\underline {E}}^{4}{\underline {a}}^{6}-16{\underline {E}}^{2}{\underline {a}}^{4}+8{\underline {a}}^{2}\right)=0,}$$ โดยที่พารามิเตอร์ที่ขีดเส้นใต้เป็นค่าไร้มิติในหน่วยเฮนอนซึ่งกำหนดไว้ดังนี้${\displaystyle {\underline {E}}=Er_{V}/(GM_{0})}$,${\displaystyle {\underline {L}}_{c}=L_{c}/{\sqrt {GMr_{V}}}}$, และ${\displaystyle {\underline {a}}=a/r_{V}=3\pi /16}$.

แบบจำลองพลัมเมอร์ใกล้เคียงที่สุดกับการแสดงโปรไฟล์ความหนาแน่นที่สังเกตได้ของกระจุกดาวแม้ว่าความหนาแน่นจะลดลงอย่างรวดเร็วที่รัศมีขนาดใหญ่ (${\displaystyle \rho \rightarrow r^{-5}}$) ไม่ใช่คำอธิบายที่ดีสำหรับระบบเหล่านี้

พฤติกรรมของความหนาแน่นบริเวณใกล้ศูนย์กลางไม่ตรงกับการสังเกตการณ์กาแล็กซีรูปทรงรี ซึ่งโดยทั่วไปจะแสดงให้เห็นว่าความหนาแน่นบริเวณศูนย์กลางมีแนวโน้มกระจายตัวออกไป

ความง่ายในการสร้างทรงกลมพลัมเมอร์เป็นแบบจำลองมอนเตคาร์โลทำให้เป็นตัวเลือกที่ได้รับความนิยมจากนักทดลอง N-bodyแม้ว่าแบบจำลองจะขาดความสมจริงก็ตาม^{[ 4 ]}