ปัวซง ทวินาม
พารามิเตอร์	${\displaystyle \mathbf {p} \in [0,1]^{n}}$— ความน่าจะเป็นของความสำเร็จสำหรับ การทดลองแต่ละครั้งจากทั้งหมดn ครั้ง
สนับสนุน	k ∈ { 0, …, n }
พีเอ็มเอฟ	${\displaystyle \sum \limits _{A\in F_{k}}\prod \limits _{i\in A}p_{i}\prod \limits _{j\in A^{c}}(1-p_{j})}$
ซีดีเอฟ	${\displaystyle \sum \limits _{l=0}^{k}\sum \limits _{A\in F_{l}}\prod \limits _{i\in A}p_{i}\prod \limits _{j\in A^{c}}(1-p_{j})}$
หมายถึง	${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}}$
ค่ามัธยฐาน	ไม่มีรูปแบบปิดที่เรียบง่าย
โหมด	${\displaystyle m={\begin{cases}k&{\text{ถ้า }}k\leq \mu <k+{\frac {1}{k+2}}\\k{\text{ หรือ }}k+1&{\text{ถ้า }}k+{\frac {1}{k+2}}\leq \mu \leq k+1-{\frac {1}{n-k+1}}\\k+1&{\text{ถ้า }}k+1-{\frac {1}{n-k+1}}\leq \mu \leq k+1\end{cases}}}$
ความแปรปรวน	${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})p_{i}}$
ความเบี่ยงเบน	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma ^{3}}}\sum \limits _{i=1}^{n}(1-2p_{i})(1-p_{i})p_{i}}$
ความโค้งส่วนเกิน	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma ^{4}}}\sum \limits _{i=1}^{n}(1-6(1-p_{i})p_{i})(1-p_{i})p_{i}}$
เอ็มจีเอฟ	${\displaystyle \prod \limits _{j=1}^{n}(1-p_{j}+p_{j}e^{t})}$
ซีเอฟ	${\displaystyle \prod \limits _{j=1}^{n}(1-p_{j}+p_{j}e^{it})}$
พีจีเอฟ	${\displaystyle \prod \limits _{j=1}^{n}(1-p_{j}+p_{j}z)}$

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติการแจกแจงแบบปัวซงทวินาม คือการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องของผลรวมของการทดลองแบบเบอร์นูลลีอิสระ ที่ไม่จำเป็นต้องมีการกระจายแบบเดียวกัน แนวคิดนี้ตั้งชื่อตามซีเมออน เดนิส ปัวซง

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นของจำนวนความสำเร็จในชุดการทดลองใช่/ไม่ใช่ที่เป็นอิสระต่อกัน จำนวน n ครั้ง โดย มีความน่า จะเป็นของความสำเร็จ การแจกแจงทวินามแบบธรรมดาเป็นกรณีพิเศษของการแจกแจงทวินามแบบปัวซง เมื่อความน่าจะเป็นของความสำเร็จทั้งหมดเท่ากัน นั่นคือ ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}}$${\displaystyle p_{1}=p_{2}=\cdots =p_{n}}$

ความน่าจะเป็นที่จะมี การทดลองที่ประสบความสำเร็จ kครั้งจากทั้งหมดn ครั้ง สามารถเขียนเป็นผลรวม ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \Pr(K=k)=\sum \limits _{A\in F_{k}}\prod \limits _{i\in A}p_{i}\prod \limits _{j\in A^{c}}(1-p_{j})}$

โดยที่คือเซตของเซตย่อยทั้งหมดของ จำนวนเต็ม kตัวที่สามารถเลือกได้จากตัวอย่างเช่น ถ้าn  = 3 แล้วคือส่วนเติมเต็มของนั่นคือ ${\displaystyle F_{k}}$${\displaystyle \{1,2,3,...,n\}}$${\displaystyle F_{2}=\left\{\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\right\}}$${\displaystyle A^{c}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{c}=\{1,2,3,\dots ,n\}\smallsetminus A}$

${\displaystyle F_{k}}$จะมีองค์ประกอบที่การคำนวณผลรวมในทางปฏิบัติทำได้ยาก เว้นแต่จำนวนครั้งในการทดลองnจะมีขนาดเล็ก (เช่น ถ้าn  = 30 จะมีองค์ประกอบมากกว่า^10²⁰ตัว) อย่างไรก็ตาม มีวิธีอื่นที่มีประสิทธิภาพมากกว่าในการคำนวณ ${\displaystyle n!/((nk)!k!)}$${\displaystyle F_{15}}$${\displaystyle \Pr(K=k)}$

ตราบใดที่ความน่าจะเป็นของความสำเร็จไม่เท่ากับหนึ่ง เราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของ ความสำเร็จ kครั้งโดยใช้สูตรเวียนเกิด ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle \Pr(K=k)={\begin{cases}\prod \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})&k=0\\{\frac {1}{k}}\sum \limits _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}\Pr(K=ki)T(i)&k>0\\\end{cases}}}$

ที่ไหน

${\displaystyle T(i)=\sum \limits _{j=1}^{n}\left({\frac {p_{j}}{1-p_{j}}}\right)^{i}.}$

สูตรเวียนเกิดนี้ไม่เสถียรทางตัวเลขและควรหลีกเลี่ยงหากมีค่ามากกว่าประมาณ 20 ${\displaystyle n}$

อีกทางเลือกหนึ่งคือการใช้อัลกอริทึมแบบแบ่งและพิชิต : ถ้าเราสมมติว่าเป็นกำลังของสอง โดยให้ เป็นพหุนามปัวซงของและเป็น ตัวดำเนินการ คอนโวลูชันเราจะได้ ${\displaystyle n=2^{b}}$${\displaystyle f(p_{i:j})}$${\displaystyle p_{i},\dots ,p_{j}}$${\displaystyle *}$${\displaystyle f(p_{1:2^{b}})=f(p_{1:2^{b-1}})*f(p_{2^{b-1}+1:2^{b}})}$

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันความน่าจะเป็นมวลของพหุนามปัวซงสามารถแสดงได้ในรูปของการสังเคราะห์เวกเตอร์โดยที่ข้อสังเกตนี้ทำให้เกิดอัลกอริทึมการสังเคราะห์โดยตรง (DC) สำหรับการคำนวณผ่าน: ${\displaystyle P_{1},\dots ,P_{n}}$${\displaystyle P_{i}=[1-p_{i},p_{i}]}$${\displaystyle \Pr(K=0)}$${\displaystyle \Pr(K=n)}$

// PMF และ nextPMF เริ่มต้นที่ดัชนี 0 ฟังก์ชัน DC( ) คือ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}}$ ประกาศอาร์เรย์ PMF ใหม่ขนาด 1 PMF[0] = [1] สำหรับ i = 1 เพื่อทำ${\displaystyle n}$ ประกาศอาร์เรย์ nextPMF ใหม่ขนาด i + 1 nextPMF[0] = (1 - ) * PMF[0]${\displaystyle p_{i}}$ nextPMF[i] = * PMF[i - 1] สำหรับ k = 1 ถึง i - 1 ทำ nextPMF[k] = * PMF[k - 1] + (1 - ) * PMF[k] ทำซ้ำ${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$ PMF = PMF ถัดไป ฟังก์ชัน PMF สิ้นสุด การส่งคืนซ้ำ

${\displaystyle \Pr(K=k)}$จะพบได้ใน PMF[k] DC มีเสถียรภาพเชิงตัวเลข แม่นยำ และเมื่อนำไปใช้เป็นรูทีนซอฟต์แวร์จะเร็วเป็นพิเศษสำหรับ นอกจากนี้ยังค่อนข้างเร็วสำหรับค่าที่มากขึ้น ขึ้นอยู่กับการกระจายของ^{[ 4 ]}${\displaystyle n\leq 2000}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p_{i}}$

อีกความเป็นไปได้หนึ่งคือการใช้การแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง^{[ 5 ]}

${\displaystyle \Pr(K=k)={\frac {1}{n+1}}\sum _{\ell =0}^{n}C^{-lk}\prod _{m=1}^{n}\left(1+(C^{\ell }-1)p_{m}\right)}$

ที่ไหนและ. ${\displaystyle C=\exp \left({\frac {2i\pi }{n+1}}\right)}$${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

ยังมีวิธีการอื่น ๆ ที่อธิบายไว้ใน "การประยุกต์ใช้ทางสถิติของการแจกแจงปัวซง-ทวินามและการแจกแจงเบอร์นูลีแบบมีเงื่อนไข" โดย Chen และ Liu ^{[ 6 ]}และใน "วิธีการที่ง่ายและรวดเร็วสำหรับการคำนวณฟังก์ชันการแจกแจงปัวซง-ทวินาม" โดย Biscarri et al. ^{[ 4 ]}

ฟังก์ชันการกระจายสะสม (CDF) สามารถแสดงได้ดังนี้:

${\displaystyle \Pr(K\leq k)=\sum _{\ell =0}^{k}\sum _{A\in F_{\ell }}\prod _{i\in A}p_{i}\prod _{j\in A^{c}}(1-p_{j}),}$

โดยที่คือเซตของเซตย่อยทั้งหมดที่มีขนาดที่สามารถเลือกได้จาก ${\displaystyle F_{\ell }}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \{1,2,3,\ldots ,n\}}$

สามารถคำนวณได้โดยการเรียกใช้ฟังก์ชัน DC ด้านบน แล้วบวกองค์ประกอบต่างๆเข้ากับอาร์เรย์ PMF ที่ส่งคืนมา ${\displaystyle 0}$${\displaystyle k}$

เนื่องจากตัวแปรที่มีการแจกแจงแบบปัวซงทวินามเป็นผลรวมของ ตัวแปรอิสระที่มีการแจกแจงแบบเบอร์นูลลีจำนวน nตัว ดังนั้นค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของตัวแปรดังกล่าวจะเป็นผลรวมของค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของการแจกแจงแบบเบอร์นูลลี ทั้ง n ตัว นั้น

${\displaystyle \mu =\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})p_{i}}$

ไม่มีสูตรง่ายๆ สำหรับเอนโทรปีของการแจกแจงแบบปัวซงทวินาม แต่เอนโทรปีจะมีค่าสูงสุดจำกัดโดยเอนโทรปีของการแจกแจงแบบทวินามที่มีพารามิเตอร์จำนวนเดียวกันและค่าเฉลี่ยเดียวกัน ดังนั้น เอนโทรปีจึงมีค่าสูงสุดจำกัดโดยเอนโทรปีของการแจกแจงแบบปัวซงที่มีค่าเฉลี่ยเดียวกันด้วย^{[ 7 ]}

ข้อสันนิษฐานเรื่องความเว้าของ Shepp–Olkin ซึ่งเสนอโดยLawrence SheppและIngram Olkinในปี 1981 ระบุว่าเอนโทรปีของการแจกแจงแบบ Poisson binomial เป็นฟังก์ชันเว้าของความน่าจะเป็นของความสำเร็จ[ ^{8 ] ข้อ}สันนิษฐานนี้ได้รับการพิสูจน์โดย Erwan Hillion และ Oliver Johnson ในปี 2015 ^{[ 9 ]}ข้อสันนิษฐานเรื่องความเป็นเอกภาคของ Shepp–Olkin ซึ่งมาจากเอกสารเดียวกันในปี 1981 ระบุว่าเอนโทรปีจะเพิ่มขึ้นแบบเอกภาคในถ้าทุกค่าข้อสันนิษฐานนี้ได้รับการพิสูจน์โดย Hillion และ Johnson ในปี 2019 เช่นกัน^{[ 10 ]}${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle p_{i}\leq 1/2}$

ความน่าจะเป็นที่การแจกแจงแบบปัวซงทวินามจะมีค่ามาก สามารถจำกัดได้โดยใช้ฟังก์ชันสร้างโมเมนต์ดังต่อไปนี้ (ใช้ได้เมื่อและสำหรับค่าใดๆ): ${\displaystyle s\geq \mu }$${\displaystyle t>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr[S\geq s]&\leq \exp(-st)\operatorname {E} \left[\exp \left[t\sum _{i}X_{i}\right]\right]\\&=\exp(-st)\prod _{i}(1-p_{i}+e^{t}p_{i})\\&=\exp \left(-st+\sum _{i}\log \left(p_{i}(e^{t}-1)+1\right)\right)\\&\leq \exp \left(-st+\sum _{i}\log \left(\exp(p_{i}(e^{t}-1))\right)\right)\\&=\exp \left(-st+\sum _{i}p_{i}(e^{t}-1)\right)\\&=\exp \left(s-\mu -s\log {\frac {s}{\mu }}\right),\end{aligned}}}$

โดยที่เราใช้ค่านี้ ซึ่งคล้ายกับขอบเขตส่วนหางของการแจกแจงแบบทวินาม ${\textstyle t=\log \left(s/\mu \right)}$

การแจกแจงปัวซงแบบทวินามสามารถประมาณได้ด้วยการแจกแจงทวินามโดยที่คือค่าเฉลี่ยของและ คือความน่าจะเป็นของความสำเร็จความแปรปรวนของและมีความสัมพันธ์กันตามสูตร ${\displaystyle PB}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle PB}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (PB)=\operatorname {Var} (B)-\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-\mu )^{2}}$

ดังที่เห็นได้ ยิ่งค่าเข้า ใกล้มากเท่าไร นั่นคือยิ่งมีแนวโน้มเป็นเนื้อเดียวกัน มากเท่าไร ความแปรปรวนของค่าก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น เมื่อค่าทั้งหมดเท่ากับค่าจะกลายเป็นและความแปรปรวนจะมีค่าสูงสุด^{[ 1 ]}${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle PB}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle PB}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \operatorname {Var} (PB)=\operatorname {Var} (B)}$

Ehm ได้กำหนดขอบเขตสำหรับระยะทางความแปรผันรวมของและซึ่งในทางปฏิบัติแล้วเป็นการกำหนดขอบเขตของข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นเมื่อประมาณค่าด้วยให้และเป็นระยะทางความแปรผันรวมของและแล้ว ${\displaystyle PB}$${\displaystyle B}$${\displaystyle PB}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \nu =1-\mu }$${\displaystyle d(PB,B)}$${\displaystyle PB}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle d(PB,B)\leq (1-\mu ^{n+1}-\nu ^{n+1}){\frac {\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-\mu )^{2}}{((n+1)\mu \nu )}}}$

${\displaystyle d(PB,B)\geq C\min \left\{\,1,{\frac {1}{n\mu \nu }}\,\right\}\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-\mu )^{2}}$

ที่ไหน. ${\displaystyle C\geq {\frac {1}{124}}}$

${\displaystyle d(PB,B)}$มีแนวโน้มเข้าใกล้ 0 ก็ต่อเมื่อมีแนวโน้มเข้าใกล้ 1 ^{[ 11 ]}${\displaystyle \operatorname {Var} (PB)/\operatorname {Var} (B)}$

การแจกแจงแบบปัวซงทวินามสามารถประมาณได้ด้วยการแจกแจงแบบปัวซงที่มีค่าเฉลี่ยบาร์เบอร์และฮอลล์ได้แสดงให้เห็นว่า ${\displaystyle PB}$${\displaystyle Po}$${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}p_{i}}$

${\displaystyle {\frac {1}{32}}\min \left\{\,{\frac {1}{\lambda }},1\,\right\}\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}\leq d(PB,Po)\leq {\frac {1-e^{-\lambda }}{\lambda }}\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{2}}$

โดยที่ระยะห่างการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดของและ[ ^{12 ] จะ}เห็นได้ว่ายิ่ง มีค่าน้อยลงเท่าใดก็ยิ่งประมาณค่า ได้ดีขึ้น เท่านั้น ${\displaystyle d(PB,B)}$${\displaystyle PB}$${\displaystyle Po}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle Po}$${\displaystyle PB}$

เนื่องจากและ; ดังนั้น ความแปรปรวนของการแจกแจงแบบปัวซงทวินามจึงถูกจำกัดไว้ด้านบนโดยการแจกแจงแบบปัวซงที่มี และยิ่ง มีค่าน้อยลงเท่าใด ก็ยิ่งเข้าใกล้ มากขึ้นเท่านั้น ${\displaystyle \operatorname {Var} (Po)=\lambda =\sum _{i=1}^{n}p_{i}}$${\displaystyle \operatorname {Var} (PB)=\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}-\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}^{2}}$${\displaystyle \operatorname {Var} (Po)\operatorname {Var} (PB)}$${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}p_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle \operatorname {Var} (Po)}$${\displaystyle \operatorname {Var} (PB)}$

เอกสารอ้างอิง^{[ 13 ]}กล่าวถึงเทคนิคการประเมินฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นของการแจกแจงแบบปัวซงทวินาม การใช้งานซอฟต์แวร์ต่อไปนี้มีพื้นฐานมาจากเอกสารดังกล่าว:

• แพ็กเกจ R poibinได้รับการจัดเตรียมไว้พร้อมกับเอกสาร^{[ 13 ]}ซึ่งสามารถใช้ในการคำนวณ cdf, pmf, ฟังก์ชันควอนไทล์ และการสร้างตัวเลขสุ่มของการแจกแจงแบบปัวซงไบโนเมียล สำหรับการคำนวณ PMF สามารถระบุอัลกอริทึม DFT หรืออัลกอริทึมแบบเรียกซ้ำเพื่อคำนวณ PMF ที่แน่นอนได้ และยังสามารถระบุวิธีการประมาณโดยใช้การแจกแจงแบบปกติและปัวซงได้อีกด้วย
• poibinซึ่งเป็นการใช้งานในภาษา Pythonสามารถคำนวณ PMF และ CDF ได้ โดยใช้วิธี DFT ตามที่อธิบายไว้ในบทความวิจัย

• ทฤษฎีบทของเลอแคม