ในแมชชีนเลิร์ นนิง ฟังก์ชัน เคอร์เนลพหุนามเป็นฟังก์ชันเคอร์เนลที่ใช้กันทั่วไปในเครื่องสนับสนุนเวกเตอร์ (SVM) และ โมเดล เคอร์เนล อื่นๆ ซึ่งแสดงถึงความคล้ายคลึงกันของเวกเตอร์ (ตัวอย่างการฝึกอบรม) ในพื้นที่คุณลักษณะเหนือพหุนามของตัวแปรดั้งเดิม ทำให้สามารถเรียนรู้โมเดลที่ไม่เป็นเชิงเส้นได้

โดยสัญชาตญาณแล้ว เคอร์เนลพหุนามไม่เพียงแต่พิจารณาคุณลักษณะที่กำหนดของตัวอย่างอินพุตเพื่อกำหนดความคล้ายคลึงกันเท่านั้น แต่ยังรวมถึงการรวมกันของคุณลักษณะเหล่านั้นด้วย ในบริบทของการวิเคราะห์การถดถอย การรวมกันดังกล่าวเรียกว่าคุณลักษณะปฏิสัมพันธ์ พื้นที่คุณลักษณะ (โดยปริยาย) ของเคอร์เนลพหุนามเทียบเท่ากับพื้นที่คุณลักษณะของการถดถอยพหุนามแต่ไม่มีการเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณในจำนวนพารามิเตอร์ที่จะเรียนรู้ เมื่อคุณลักษณะอินพุตเป็นค่าไบนารี (บูลีน) คุณลักษณะเหล่านั้นจะสอดคล้องกับการเชื่อมโยงเชิงตรรกะของคุณลักษณะอินพุต^{[ 1 ]}

สำหรับพหุนามดีกรีdเคอร์เนลพหุนามจะถูกกำหนดเป็น^{[ 2 ]}

${\displaystyle K(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} +c)^{d}}$

โดยที่xและyเป็นเวกเตอร์ขนาดnในพื้นที่อินพุต กล่าวคือ เวกเตอร์ของคุณลักษณะที่คำนวณจากตัวอย่างการฝึกอบรมหรือการทดสอบ และc ≥ 0เป็นพารามิเตอร์อิสระที่แลกเปลี่ยนอิทธิพลของพจน์ลำดับสูงกว่ากับพจน์ลำดับต่ำกว่าในพหุนาม เมื่อc = 0เคอร์เนลจะเรียกว่าเป็นเอกพันธุ์^{[ 3 ]} (โพลีเคอร์เนลทั่วไปเพิ่มเติมจะหารx ^T y ด้วยพารามิเตอร์สเกลา ร์ aที่ผู้ใช้กำหนด^{[ 4 ]} )

ในฐานะเคอร์เนลKสอดคล้องกับผลคูณภายในในพื้นที่คุณลักษณะโดยอิงจากการแมปφ บางอย่าง :

${\displaystyle K(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\langle \varphi (\mathbf {x} ),\varphi (\mathbf {y} )\rangle }$

ลักษณะของφสามารถมองเห็นได้จากตัวอย่าง ให้d = 2ดังนั้นเราจะได้กรณีพิเศษของเคอร์เนลกำลังสอง หลังจากใช้ทฤษฎีพหุนาม (สองครั้ง—การประยุกต์ใช้ภายนอกสุดคือทฤษฎีทวินาม ) และจัดกลุ่มใหม่

${\displaystyle K(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}+c\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}^{2}\right)\left(y_{i}^{2}\right)+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{i-1}\left({\sqrt {2}}x_{i}x_{j}\right)\left({\sqrt {2}}y_{i}y_{j}\right)+\sum _{i=1}^{n}\left({\sqrt {2c}}x_{i}\right)\left({\sqrt {2c}}y_{i}\right)+c^{2}}$

จากนี้จึงสรุปได้ว่าแผนที่ลักษณะเฉพาะ (feature map) กำหนดโดย:

${\displaystyle \varphi (x)=\left(x_{n}^{2},\ldots ,x_{1}^{2},{\sqrt {2}}x_{n}x_{n-1},\ldots ,{\sqrt {2}}x_{n}x_{1},{\sqrt {2}}x_{n-1}x_{n-2},\ldots ,{\sqrt {2}}x_{n-1}x_{1},\ldots ,{\sqrt {2}}x_{2}x_{1},{\sqrt {2c}}x_{n},\ldots ,{\sqrt {2c}}x_{1},c\right)}$

โดยสรุปสำหรับโดยที่และใช้ทฤษฎีบทพหุนาม : ${\displaystyle \left(\mathbf {x} ^{T}\mathbf {y} +c\right)^{d}}$${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(\mathbf {x} ^{T}\mathbf {y} +c\right)^{d}&=\sum _{j_{1}+j_{2}+\dots +j_{n+1}=d}{\frac {\sqrt {d!}}{\sqrt {j_{1}!\cdots j_{n}!j_{n+1}!}}}x_{1}^{j_{1}}\cdots x_{n}^{j_{n}}{\sqrt {c}}^{j_{n+1}}{\frac {\sqrt {d!}}{\sqrt {j_{1}!\cdots j_{n}!j_{n+1}!}}}y_{1}^{j_{1}}\cdots y_{n}^{j_{n}}{\sqrt {c}}^{j_{n+1}}\\&=\varphi (\mathbf {x} )^{T}\varphi (\mathbf {y} )\end{alignedat}}}$

ผลรวมสุดท้ายมีองค์ประกอบดังนี้: ${\displaystyle l_{d}={\tbinom {n+d}{d}}}$

${\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )=\left(a_{1},\dots ,a_{l},\dots ,a_{l_{d}}\right)}$

ที่ไหนและ ${\displaystyle l=(j_{1},j_{2},...,j_{n},j_{n+1})}$

${\displaystyle a_{l}={\frac {\sqrt {d!}}{\sqrt {j_{1}!\cdots j_{n}!j_{n+1}!}}}x_{1}^{j_{1}}\cdots x_{n}^{j_{n}}{\sqrt {c}}^{j_{n+1}}\quad |\quad j_{1}+j_{2}+\dots +j_{n}+j_{n+1}=d}$

แม้ว่าเคอร์เนล RBFจะเป็นที่นิยมมากกว่าในการจำแนกประเภท SVM มากกว่าเคอร์เนลพหุนาม แต่เคอร์เนลพหุนามก็เป็นที่นิยมมากในการประมวลผลภาษาธรรมชาติ (NLP) ^{[ 1 ] [ 5 ]} ระดับที่พบมากที่สุดคือd = 2 (กำลังสอง) เนื่องจากระดับที่สูงกว่ามักจะทำให้เกิดการโอเวอร์ฟิตในปัญหา NLP

มีการคิดค้นวิธีการต่างๆ ในการคำนวณเคอร์เนลพหุนาม (ทั้งแบบแม่นยำและแบบประมาณ) เพื่อใช้เป็นทางเลือกแทนอัลกอริธึมการฝึก SVM แบบไม่เชิงเส้นทั่วไป ซึ่งรวมถึง:

• การขยายเคอร์เนลอย่างเต็มรูปแบบก่อนการฝึก/ทดสอบด้วย SVM เชิงเส้น^{[ 5 ]}กล่าวคือ การคำนวณการแมปφ อย่างเต็มรูปแบบ เช่นเดียวกับการถดถอยพหุนาม
• การขุดตะกร้า (โดยใช้ อัลกอริธึม aprioriเวอร์ชันหนึ่ง) สำหรับการรวมคุณลักษณะที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุดในชุดฝึกอบรมเพื่อสร้างการขยายโดยประมาณ^{[ 6 ]}
• การจัดทำดัชนีแบบผกผันของเวกเตอร์สนับสนุน^{[ 6 ] [ 1 ]}

ปัญหาหนึ่งของเคอร์เนลพหุนามคืออาจเกิดความไม่เสถียรเชิงตัวเลขได้ : เมื่อx ^T y + c < 1 , K ( x , y ) = ( x ^T y + c ) ^dมีแนวโน้มเข้าใกล้ศูนย์เมื่อd เพิ่มขึ้น ในขณะที่เมื่อx ^T y + c > 1 , K ( x , y )มีแนวโน้มเข้าใกล้อนันต์^{[ 4 ]}

^{[ 7 ]}