ในทางคณิตศาสตร์สมการเชิงอนุพันธ์เชิงพีชคณิตคือสมการเชิงอนุพันธ์ที่สามารถแสดงได้โดยใช้พีชคณิตเชิงอนุพันธ์มีแนวคิดดังกล่าวอยู่หลายแบบ ขึ้นอยู่กับแนวคิดของพีชคณิตเชิงอนุพันธ์ที่ใช้

จุดประสงค์คือการรวมสมการที่สร้างขึ้นโดยใช้ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ซึ่งสัมประสิทธิ์เป็นฟังก์ชันตรรกยะของตัวแปร (เช่น สมการไฮเปอร์จีโอเมตริก ) สมการเชิงอนุพันธ์พีชคณิตมีการใช้งานอย่างแพร่หลายในพีชคณิตคอมพิวเตอร์และทฤษฎีจำนวน

แนวคิดง่ายๆ คือฟิลด์เวกเตอร์พหุนามหรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง คือ ฟิลด์เวกเตอร์ที่แสดงโดยอ้างอิงจากฐานพิกัดมาตรฐานในรูปของอนุพันธ์ย่อยอันดับแรกที่มีสัมประสิทธิ์เป็นพหุนาม นี่คือตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์พีชคณิตอันดับหนึ่งชนิดหนึ่ง

• อนุพันธ์Dสามารถใช้เป็นอนาล็อกเชิงพีชคณิตของส่วนที่เป็นทางการของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ได้ดังนั้นสมการเชิงอนุพันธ์เชิงพีชคณิตจึงมีความหมายในวงแหวนสลับที่ได้
• ทฤษฎีสนามเชิงอนุพันธ์ถูกสร้างขึ้นเพื่อแสดงทฤษฎีกาโลอิสเชิงอนุพันธ์ในรูปพีชคณิต
• สามารถพิจารณาพีชคณิต Weyl W ของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่มีสัมประสิทธิ์พหุนามได้ และสามารถใช้โมดูล M บางอย่างเพื่อแสดงสมการเชิงอนุพันธ์ได้ ตามการนำเสนอของM
• แนวคิดเรื่องการเชื่อมต่อของ Koszulนั้นสามารถถ่ายทอดไปยังเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ได้อย่างง่ายดาย โดยให้แบบจำลองเชิงพีชคณิตของวิธีการที่ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ถูกแทนด้วยกลุ่มเวกเตอร์ที่มีการเชื่อมต่อใน เชิงเรขาคณิต
• แนวคิดของเจ็ตสามารถอธิบายได้ด้วยเงื่อนไขทางพีชคณิตล้วนๆ ดังเช่นที่ได้ทำไว้ในส่วนหนึ่งของโครงการEGAของGrothendieck
• ทฤษฎีD-โมดูลเป็นทฤษฎีระดับโลกของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น และได้รับการพัฒนาให้รวมผลลัพธ์ที่สำคัญในทฤษฎีพีชคณิต (รวมถึงความสัมพันธ์แบบรีมันน์-ฮิลเบิร์ตสำหรับมิติที่สูงกว่า)

โดยทั่วไปแล้ว คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์พีชคณิตมักไม่ใช่ฟังก์ชันพีชคณิตการแก้สมการมักจะสร้างฟังก์ชันอดิศัย ใหม่ๆ อย่างไรก็ตาม กรณีของคำตอบพีชคณิตนั้นน่าสนใจอย่างมากรายการของ Schwarz แบบคลาสสิก นั้นเกี่ยวข้องกับกรณีของสมการไฮเปอร์จีโอเมตริก ในทฤษฎีเชิงอนุพันธ์กาโลอิส กรณีของคำตอบพีชคณิตคือกรณีที่กลุ่มเชิงอนุพันธ์กาโลอิสGเป็นกลุ่มจำกัด (หรือเทียบเท่ากับมิติ 0 หรือกลุ่มโมโนโดร มีจำกัด สำหรับกรณีของพื้นผิวรีมันน์และสมการเชิงเส้น) กรณีนี้มีความสัมพันธ์กับทฤษฎีทั้งหมดโดยประมาณเช่นเดียวกับที่ทฤษฎีไม่แปรเปลี่ยนมีความสัมพันธ์กับทฤษฎีการแสดงกลุ่มกลุ่มGนั้นโดยทั่วไปแล้วคำนวณได้ยาก ความเข้าใจเกี่ยวกับคำตอบพีชคณิตเป็นตัวบ่งชี้ขอบเขตบนสำหรับG

• Mikhalev, AV; Pankrat'ev, EV (2001) [1994], "พีชคณิตเชิงอนุพันธ์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
• Mikhalev, AV; Pankrat'ev, EV (2001) [1994], "การขยายฟิลด์เชิงอนุพันธ์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press