ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในพีชคณิตเชิงสลับ เปลี่ยน พหุนามสมมาตรผลรวมกำลังเป็นหน่วยพื้นฐานชนิดหนึ่งสำหรับพหุนามสมมาตรในแง่ที่ว่าพหุนามสมมาตรทุกตัวที่มีสัมประสิทธิ์ เป็น จำนวนตรรกยะสามารถแสดงได้ในรูปผลรวมและผลต่างของผลคูณของพหุนามสมมาตรผลรวมกำลังที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ว่าพหุนามสมมาตรทุกตัวที่มี สัมประสิทธิ์ เป็นจำนวนเต็มจะถูกสร้างขึ้นจากผลรวมของผลคูณของพหุนามผลรวมกำลังที่เป็นจำนวนเต็มเสมอไป พหุนามสมมาตรเหล่านี้เป็นเซตตัวสร้างบนจำนวนตรรกยะแต่ไม่ใช่บนจำนวนเต็ม

พหุนามสมมาตรผลรวมกำลังดีกรีkใน${\displaystyle n}$ตัวแปรx , ..., x เขียนแทนด้วยp สำหรับk = 0, 1, 2, ... คือผลรวมของกำลังที่kของตัวแปรทั้งหมด ในทางคณิตศาสตร์

${\displaystyle p_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\,.}$

พหุนามกลุ่มแรกๆ เหล่านี้ได้แก่

${\displaystyle p_{0}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=1+1+\cdots +1=n\,,}$

${\displaystyle p_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\,,}$

${\displaystyle p_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\,,}$

${\displaystyle p_{3}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\cdots +x_{n}^{3}\,.}$

ดังนั้น สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบแต่ละจำนวน${\displaystyle k}$มีพหุนามสมมาตรผลรวมกำลังหนึ่งตัวที่มีดีกรีเพียงตัวเดียวเท่านั้น${\displaystyle k}$ใน${\displaystyle n}$ตัวแปร

วงแหวนพหุนามที่เกิดจากการนำ ผลรวมเชิงเส้น จำนวนเต็ม ทั้งหมด ของผลคูณของพหุนามสมมาตรผลรวมกำลังมาเป็นวงแหวนสลับที่ได้

รายการต่อไปนี้คือรายชื่อ${\displaystyle n}$พหุนามสมมาตรผลรวมกำลังที่มีดีกรีบวกถึงnสำหรับค่าบวกสามค่าแรกของ${\displaystyle n.}$ ในทุกกรณี${\displaystyle p_{0}=n}$เป็นหนึ่งในพหุนาม รายชื่อนี้เรียงลำดับไปจนถึงดีกรีnเพราะพหุนามสมมาตรผลรวมกำลังที่มีดีกรี 1 ถึงnเป็นพหุนามพื้นฐานในความหมายของทฤษฎีบทที่กล่าวไว้ด้านล่าง

สำหรับn = 1:

${\displaystyle p_{1}=x_{1}\,.}$

สำหรับn = 2:

${\displaystyle p_{1}=x_{1}+x_{2}\,,}$

${\displaystyle p_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\,.}$

สำหรับn = 3:

${\displaystyle p_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}\,,}$

${\displaystyle p_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\,,}$

${\displaystyle p_{3}=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}\,,}$

เซตของพหุนามสมมาตรผลรวมกำลังดีกรี 1, 2, ..., nในตัวแปรn ตัว สร้างวงแหวนของพหุนามสมมาตรใน ตัวแปร nตัว กล่าวโดยละเอียดคือ:

ทฤษฎีบทวงแหวนของพหุนามสมมาตรที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ เท่ากับวงแหวนพหุนามตรรกยะ${\displaystyle \mathbb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n}].}$ หลักการเดียวกันนี้ก็เป็นจริงเช่นกัน หากนำค่าสัมประสิทธิ์ไปใช้ในฟิลด์ ใดๆ ที่มีลักษณะเฉพาะเป็น 0

อย่างไรก็ตาม ข้อนี้จะไม่เป็นจริงหากสัมประสิทธิ์ต้องเป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น สำหรับn = 2 พหุนามสมมาตร

${\displaystyle P(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}}$

มีการแสดงออก

${\displaystyle P(x_{1},x_{2})={\frac {p_{1}^{3}-p_{1}p_{2}}{2}}+{\frac {p_{1}^{2}-p_{2}}{2}}\,,}$

ซึ่งเกี่ยวข้องกับเศษส่วน ตามทฤษฎีบทนี้ นี่เป็นวิธีเดียวที่จะแสดงเศษส่วนได้${\displaystyle P(x_{1},x_{2})}$ในแง่ของp และp ดังนั้นP จึง ไม่อยู่ในวงแหวนพหุนามเชิงอินทิกรัล${\displaystyle \mathbb {Z} [p_{1},\ldots ,p_{n}].}$ ตัวอย่างเช่นพหุนามสมมาตรพื้นฐานe ซึ่งแสดงในรูปพหุนามผลรวมกำลัง ไม่ได้มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มเสมอไป ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle e_{2}:=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}={\frac {p_{1}^{2}-p_{2}}{2}}\,.}$

ทฤษฎีบทนี้จะไม่เป็นจริงเช่นกันหากฟิลด์มีลักษณะเฉพาะที่แตกต่างจาก 0 ตัวอย่างเช่น ถ้าฟิลด์Fมีลักษณะเฉพาะเท่ากับ 2 แล้ว${\displaystyle p_{2}=p_{1}^{2}}$ดังนั้นp และp จึง ไม่สามารถสร้างe = x x ได้

เค้าโครงของการพิสูจน์ทฤษฎีบทบางส่วน : จากเอกลักษณ์ของนิวตันผลรวมกำลังเป็นฟังก์ชันของพหุนามสมมาตรพื้นฐาน ซึ่งเป็นสิ่งที่บ่งบอกได้จากความสัมพันธ์เวียนเกิด ต่อไปนี้ แม้ว่าฟังก์ชันที่แสดงผลรวมกำลังในรูปของe จะซับซ้อนก็ตาม:

${\displaystyle p_{n}=(-1)^{n-1}ne_{n}+\sum _{j=1}^{n-1}(-1)^{j-1}e_{j}p_{nj}\,.}$

เมื่อเขียนความสัมพันธ์เวียนเกิดเดิมใหม่ จะได้พหุนามสมมาตรพื้นฐานในรูปผลรวมกำลัง (โดยปริยายเช่นกัน เนื่องจากสูตรที่ชัดเจนนั้นซับซ้อน):

${\displaystyle e_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}e_{nj}p_{j}\,.}$

นี่หมายความว่าพหุนามพื้นฐานเป็นผลรวมเชิงเส้นแบบตรรกยะ แม้จะไม่ใช่ผลรวมเชิงเส้นแบบจำนวนเต็ม ของพหุนามผลรวมกำลังที่มีดีกรี 1, ..., nเนื่องจากพหุนามสมมาตรพื้นฐานเป็นฐานพีชคณิตสำหรับพหุนามสมมาตรทั้งหมดที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในฟิลด์ จึงสรุปได้ว่าพหุนามสมมาตรทุกตัวใน ตัวแปร nตัวเป็นฟังก์ชันพหุนาม${\displaystyle f(p_{1},\ldots ,p_{n})}$ของพหุนามสมมาตรผลรวมกำลังp , ..., p นั่นคือ วงแหวนของพหุนามสมมาตรนั้นบรรจุอยู่ในวงแหวนที่สร้างขึ้นโดยผลรวมกำลัง${\displaystyle \mathbb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n}].}$ เนื่องจากพหุนามผลรวมกำลังทุกตัวเป็นพหุนามสมมาตร ดังนั้นวงแหวนทั้งสองจึงเท่ากัน

(ส่วนนี้ไม่ได้แสดงวิธีการพิสูจน์ว่าพหุนามfมีเพียงหนึ่งเดียว)

สำหรับระบบพหุนามสมมาตรอีกระบบหนึ่งที่มีคุณสมบัติคล้ายกัน โปรดดูที่พหุนามสมมาตรเอกพันธุ์สมบูรณ์

• ทฤษฎีการเป็นตัวแทน
• เอกลักษณ์ของนิวตัน