ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในทฤษฎี หมวด หมู่หมวดหมู่พรีแอดดิทีฟ (preadditive category)เป็นอีกชื่อหนึ่งของหมวดหมู่แอบ (Ab-category) กล่าว คือหมวดหมู่ที่เสริมด้วยหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียน (abelian groups ) นั่นคือหมวด หมู่แอบ เป็นหมวดหมู่ที่ เซตโฮม (hom-set) ทุกเซตในมีโครงสร้างเป็นกลุ่มอาเบเลียน และการประกอบมอร์ฟิซึมเป็นแบบทวิเชิงเส้น (bilinear ) ในแง่ที่ว่าการประกอบมอร์ฟิซึมกระจายตัวเหนือการดำเนินการของกลุ่ม ในสูตร: และ โดยที่คือการดำเนินการของกลุ่ม ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$$${\displaystyle f\circ (g+h)=(f\circ g)+(f\circ h)}$$$${\displaystyle (f+g)\circ h=(f\circ h)+(g\circ h),}$$${\displaystyle +}$

ผู้เขียนบางท่านใช้คำว่า " หมวดหมู่แบบบวก"สำหรับหมวดหมู่แบบก่อนบวก แต่บทความนี้ขอสงวนคำดังกล่าวไว้สำหรับหมวดหมู่แบบก่อนบวกบางประเภทโดยเฉพาะ (ดูหัวข้อ§ กรณีพิเศษด้านล่าง)

ตัวอย่างที่ชัดเจนที่สุดของหมวดหมู่ก่อนการบวกคือตัวหมวดหมู่เอง กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น หมวดหมู่ เป็นหมวดหมู่โมโนอิดัลแบบปิดโปรดสังเกตว่าสมบัติการสลับที่นั้นสำคัญมากในที่นี้ มันทำให้มั่นใจได้ว่าผลรวมของโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มสองกลุ่มจะเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมอีกครั้ง ในทางตรงกันข้าม หมวดหมู่ของกลุ่ม ทั้งหมด ไม่ใช่หมวดหมู่แบบปิด ดูที่หมวดหมู่มีเดียล ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$${\displaystyle \mathbf {Ab} }$

ตัวอย่างอื่นๆ ที่พบได้ทั่วไป:

• โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หมวดหมู่ของโมดูล (ด้านซ้าย) บนวงแหวน : ${\displaystyle R}$
  • หมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์${\displaystyle K}$
• พีชคณิตของเมทริกซ์บนริง ซึ่งถูกมองว่าเป็นหมวดหมู่ตามที่อธิบายไว้ในบทความหมวดหมู่เชิงบวก
• วงแหวนใดๆ หากมองว่าเป็นหมวดหมู่ที่มีวัตถุเพียงหนึ่งเดียว จะเป็นหมวดหมู่ก่อนการบวก (preadditive category) ในที่นี้ การประกอบมอร์ฟิซึมก็คือการคูณวงแหวน และเซตโฮมที่ไม่ซ้ำกันก็คือกลุ่มอาเบเลียนพื้นฐาน

สำหรับตัวอย่างเพิ่มเติม โปรดดูหัวข้อ § กรณีพิเศษ

เนื่องจากเซตโฮมทุกเซตเป็นกลุ่มอาเบเลียน จึงมี สมาชิก ศูนย์คือ 0 ซึ่งเป็นมอร์ฟิซึมศูนย์จากไปยังเนื่องจากการประกอบมอร์ฟิซึมเป็นแบบทวิเชิงเส้น การประกอบมอร์ฟิซึมศูนย์กับมอร์ฟิซึมอื่นใด (ทั้งสองด้าน) จะต้องเป็นมอร์ฟิซึมศูนย์อีกตัวหนึ่ง หากคุณคิดว่าการประกอบนั้นคล้ายคลึงกับการคูณ นั่นหมายความว่าการคูณด้วยศูนย์จะได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์เสมอ ซึ่งเป็นสัญชาตญาณที่คุ้นเคย การขยายความคล้ายคลึงนี้ ข้อเท็จจริงที่ว่าการประกอบเป็นแบบทวิเชิงเส้นโดยทั่วไป จะกลายเป็นคุณสมบัติการกระจายของการคูณเหนือการบวก ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

เมื่อพิจารณาเฉพาะวัตถุชิ้นเดียวในหมวดหมู่ก่อนการบวก ข้อเท็จจริงเหล่านี้บอกว่า เซต เอนโดมอร์ฟิซึม hom เป็นริงถ้าเรากำหนดการคูณในริงให้เป็นการประกอบ ริงนี้คือริงเอนโดมอร์ฟิซึมของในทางกลับกัน ทุกริง (ที่มีเอกลักษณ์ ) เป็นริงเอนโดมอร์ฟิซึมของวัตถุบางอย่างในหมวดหมู่ก่อนการบวกบางหมวดหมู่ อันที่จริง เมื่อกำหนดริงเราสามารถกำหนดหมวดหมู่ก่อนการ บวก ให้มีวัตถุเพียงชิ้นเดียวให้เป็นและให้การประกอบเป็นการคูณริง เนื่องจากเป็นกลุ่มอาเบเลียนและการคูณในริงเป็นแบบทวิเชิงเส้น (กระจาย) ทำให้เป็นหมวดหมู่ก่อนการบวก นักทฤษฎีหมวดหมู่มักจะคิดว่าริงและหมวดหมู่เป็นการแสดงแทนที่แตกต่างกันสองแบบของสิ่งเดียวกัน ดังนั้น นักทฤษฎีหมวดหมู่ ที่แปลกประหลาด เป็นพิเศษ อาจกำหนดริงเป็นหมวดหมู่ก่อนการบวกที่มีวัตถุเพียงชิ้นเดียว (ในทำนองเดียวกับที่ สามารถมอง โมโนอิดเป็นหมวดหมู่ที่มีวัตถุเพียงชิ้นเดียว และการลืมโครงสร้างการบวกของริงทำให้เราได้โมโนอิด) ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (A,A)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

ด้วยวิธีนี้ หมวดหมู่ก่อนการบวก (preadditive categories) สามารถมองได้ว่าเป็นการขยายความของวงแหวน (rings) แนวคิดหลายอย่างจากทฤษฎีวงแหวน เช่นอุดมคติ (ideals) รากของจาคอบสัน ( Jacobson radicals ) และวงแหวนปัจจัย (factor rings)สามารถขยายความไปยังบริบทนี้ได้อย่างตรงไปตรงมา เมื่อพยายามเขียนการขยายความเหล่านี้ ควรนึกถึงมอร์ฟิซึม (morphisms) ในหมวดหมู่ก่อนการบวกว่าเป็น "องค์ประกอบ" ของ "วงแหวนที่ขยายความแล้ว" (generalized ring)

ถ้าและเป็นหมวดหมู่ก่อนการบวก (preadditive categories) แล้วฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันบวก (additive functor) ก็ ต่อเมื่อฟังก์ชันนั้น ได้รับ การเสริมคุณค่า (enriched)บนหมวดหมู่ ด้วยเช่นกัน กล่าวคือฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันบวกก็ต่อเมื่อเมื่อกำหนดวัตถุและ ใด ๆ ของฟังก์ชันจะเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม (group homomorphism ) ฟังก์ชันส่วนใหญ่ที่ศึกษาระหว่างหมวดหมู่ก่อนการบวกเป็นฟังก์ชันบวก ${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle F:C\rightarrow D}$${\displaystyle \mathbf {Ab} }$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle F:{\text{Hom}}(A,B)\rightarrow {\text{Hom}}(F(A),F(B))}$

เพื่อเป็นตัวอย่างง่ายๆ หากวงแหวนและถูกแทนด้วยหมวดหมู่พรีแอดดิทีฟแบบวัตถุเดียวและแล้วโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนจากไปจะถูกแทนด้วยฟังก์ชันแอดดิทีฟจากไปและในทางกลับกัน ${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle C_{R}}$${\displaystyle C_{S}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle C_{R}}$${\displaystyle C_{S}}$

ถ้าและเป็นหมวดหมู่ และเป็นหมวดหมู่แบบพรีแอดดิทีฟแล้วหมวดหมู่ฟังก์ชันเตอร์ก็จะเป็นหมวดหมู่แบบพรีแอดดิทีฟเช่นกัน เพราะการแปลงแบบธรรมชาติสามารถบวกกันได้ในแบบธรรมชาติ ถ้าเป็นหมวดหมู่แบบพรีแอดดิทีฟด้วยแล้ว หมวดหมู่ของฟังก์ชันเตอร์แบบบวกและการแปลงแบบธรรมชาติทั้งหมดระหว่างฟังก์ชันเตอร์เหล่านั้นก็จะเป็นหมวดหมู่แบบพรีแอดดิทีฟเช่นกัน ${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D^{C}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\text{เพิ่ม}}(C,D)}$

ตัวอย่างหลังนำไปสู่การสรุปทั่วไปของโมดูลเหนือริง: ถ้าเป็นหมวดหมู่พรีแอดดิทีฟ แล้วจะเรียกว่าหมวดหมู่โมดูลเหนือเมื่อเป็นหมวดหมู่พรีแอดดิทีฟหนึ่งวัตถุที่สอดคล้องกับริง สิ่งนี้จะลดลงเหลือหมวดหมู่ธรรมดาของโมดูล(ซ้าย)อีกครั้ง แนวคิดเกือบทั้งหมดจากทฤษฎีของโมดูลสามารถสรุปทั่วไปไปยังบริบทนี้ได้ ${\displaystyle C}$${\displaystyle {\text{Mod}}(C)\mathbin {:=} {\text{Add}}(C,Ab)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถพิจารณาหมวดหมู่ที่เสริมด้วยหมวดหมู่โมโนอิดัลของโมดูลเหนือวงแหวนสลับที่ได้ซึ่งเรียกว่าหมวดหมู่เชิงเส้น -linearกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ แต่ละเซต homในมีโครงสร้างของโมดูล - และการประกอบของมอร์ฟิซึมเป็นเชิงเส้น -bilinear ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\text{Hom}}(A,B)}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

เมื่อพิจารณาฟังก์ชันระหว่างสองหมวดหมู่เชิงเส้น มักจะจำกัดเฉพาะฟังก์ชันที่เป็นเชิงเส้นเท่านั้น กล่าวคือ ฟังก์ชันที่เหนี่ยวนำแผนที่เชิงเส้นบนเซตโฮมแต่ละเซต ${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

ผลคูณจำกัด ใดๆในหมวดหมู่ก่อนการบวกจะต้องเป็นผลคูณร่วม ด้วย และในทางกลับกัน อันที่จริง ผลคูณจำกัดและผลคูณร่วมในหมวดหมู่ก่อนการบวกสามารถระบุลักษณะได้ด้วยเงื่อนไขผลคูณ ร่วมต่อไปนี้ :

วัตถุจะเป็นผลคูณร่วมของวัตถุอื่นก็ต่อเมื่อมีมอร์ฟิซึมการฉายภาพและมอร์ฟิซึมการฉีดโดยที่เป็นมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์ของเป็นมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์ของและเป็นมอร์ฟิซึมศูนย์จากไปยังเมื่อใดก็ตามที่และแตกต่างกัน${\displaystyle B}$${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$${\displaystyle \pi _{j}:B\to A_{j}}$${\displaystyle \iota _{j}:A_{j}\to B}$${\displaystyle (\iota _{1}\circ \pi _{1})+\cdots +(\iota _{n}\circ \pi _{n})}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \pi _{j}\circ \iota _{j}}$${\displaystyle A_{j}}$${\displaystyle \pi _{j}\circ \iota _{k}}$${\displaystyle A_{k}}$${\displaystyle A_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$

ผลคูณร่วมนี้มักเขียนว่า โดยใช้สัญลักษณ์เดียวกับผลรวมโดยตรงเนื่องจากผลคูณร่วมในหมวดหมู่ก่อนการบวกที่รู้จักกันดี เช่นเป็นผลรวมโดยตรง อย่างไรก็ตาม แม้ว่า ผลรวมโดยตรง อนันต์จะมีความหมายในบางหมวดหมู่ เช่น แต่ผลคูณร่วมอนันต์ไม่มีความหมาย (ดูหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียน § คุณสมบัติ ) ${\displaystyle A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}}$${\displaystyle \mathbf {Ab} }$${\displaystyle \mathbf {Ab} }$

เงื่อนไขผลคูณร่วมในกรณีนี้จะง่ายขึ้นอย่างมาก กล่าวคือจะเป็นผลคูณร่วมศูนย์ก็ต่อเมื่อมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์ของคือมอร์ฟิซึมศูนย์จากไปยังตัวมันเอง หรือเทียบเท่ากับว่าเซตโฮมคือริงที่ไม่สำคัญโปรดสังเกตว่าเนื่องจากผลคูณร่วมศูนย์จะเป็นทั้งผลคูณปลายทาง (ผลคูณศูนย์) และ ผลคูณ ร่วมศูนย์ดังนั้นมันจึงเป็นวัตถุศูนย์อันที่จริง คำว่า "วัตถุศูนย์" มีต้นกำเนิดมาจากการศึกษาหมวดหมู่ก่อนการบวก เช่นซึ่งวัตถุศูนย์คือกลุ่มศูนย์ ${\displaystyle n=0}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (B,B)}$${\displaystyle \mathbf {Ab} }$

หมวดหมู่ก่อนการบวกที่ทุกผลพลอยได้มีอยู่ (รวมถึงวัตถุศูนย์) เรียกว่าหมวดหมู่ การบวก ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับผลพลอยได้ซึ่งมีประโยชน์ส่วนใหญ่ในบริบทของหมวดหมู่การบวก สามารถค้นหาได้ในหัวข้อนั้น

เนื่องจากเซตโฮมในหมวดหมู่พรีแอดดิทีฟมีมอร์ฟิซึมศูนย์ แนวคิดของเคอร์เนลและโคเคอร์เนล จึงมีความหมาย กล่าวคือ ถ้าเป็นมอร์ฟิซึมในหมวดหมู่พรีแอดดิทีฟ เคอร์เนลของคือ ตัวปรับสมดุลของและมอร์ฟิซึมศูนย์จากไปในขณะที่โคเคอร์เนลของคือตัวปรับสมดุล ร่วม ของและมอร์ฟิซึมศูนย์นี้ ต่างจากผลคูณและผลคูณร่วม เคอร์เนลและโคเคอร์เนลของโดยทั่วไปจะไม่เท่ากันในหมวดหมู่พรีแอดดิทีฟ ${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

เมื่อพิจารณาเฉพาะหมวดหมู่ก่อนการบวกของกลุ่มอาเบเลียนหรือโมดูลเหนือริง แนวคิดของเคอร์เนลนี้จะสอดคล้องกับแนวคิดปกติของเคอร์เนลของโฮโมมอร์ฟิซึม หากเราถือว่าเคอร์เนลปกติของ โฮโมมอร์ ฟิซึมคือการฝังตัวของมันอย่างไรก็ตาม ในหมวดหมู่ก่อนการบวกทั่วไป อาจมีมอร์ฟิซึมที่ไม่มีเคอร์เนลและ/หรือโคเคอร์เนลอยู่ ${\displaystyle K}$${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle K\to A}$

มีความสัมพันธ์ที่สะดวกระหว่างเคอร์เนลและโคเคอร์เนลกับโครงสร้างกลุ่มอาเบเลียนบนเซตโฮม เมื่อกำหนดมอร์ฟิซึมแบบขนานและตัวปรับสมดุลของและก็คือเคอร์เนลของถ้าตัวใดตัวหนึ่งมีอยู่ และข้อเท็จจริงที่คล้ายกันนี้ก็เป็นจริงสำหรับโคอีควอไลเซอร์ คำว่า "เคอร์เนลผลต่าง" สำหรับตัวปรับสมดุลแบบไบนารีนั้นมาจากข้อเท็จจริงนี้ ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g-f}$

หมวดหมู่ก่อนการบวก (preadditive category) ที่มีผลพลอยได้ (biproducts) เมล็ด (kernels) และเมล็ดร่วม (cokernels) อยู่ทั้งหมด เรียกว่า หมวดหมู่ ก่อนอาเบเลียน (pre- abelian category) ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเมล็ดและเมล็ดร่วมในหมวดหมู่ก่อนการบวก ซึ่งส่วนใหญ่มีประโยชน์ในบริบทของหมวดหมู่ก่อนอาเบเลียน สามารถพบได้ในหัวข้อดังกล่าว

กรณีพิเศษส่วนใหญ่ของหมวดหมู่ก่อนการบวกได้ถูกกล่าวถึงไปแล้วข้างต้น แต่เราได้รวบรวมไว้ที่นี่เพื่อเป็นข้อมูลอ้างอิง

• วงแหวนเป็นหมวดหมู่ก่อนการบวกที่มีวัตถุเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น
• หมวดหมู่แบบบวก (additive category)คือหมวดหมู่แบบก่อนบวก (preadditive category) ที่มีผลคูณร่วมจำกัดทั้งหมด
• หมวด หมู่พรี-อะเบเลียนคือ หมวดหมู่แบบบวก ที่มีทั้งเคอร์เนลและโคเคอร์เนล
• หมวดหมู่แบบอาเบเลียน (Abelian category)คือหมวดหมู่แบบพรีอาเบเลียน (Pre-abelian category) ซึ่งโมโนมอร์ฟิซึม (Monomorphism ) และเอพิโมร์ฟิซึม (Epimorphism) ทุกตัว เป็นปกติ (Normal category )

หมวดหมู่ก่อนการบวกที่ได้รับการศึกษาบ่อยที่สุดนั้น แท้จริงแล้วคือหมวดหมู่แบบอาเบเลียน ตัวอย่างเช่นเป็นหมวดหมู่แบบอาเบเลียน ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$