ค่าคงที่เฉพาะคือจำนวนจริง ที่มี เลข ฐานสองหลัก ที่ n เป็น 1 ถ้าเป็นจำนวนเฉพาะและเป็น 0 ถ้าเป็นจำนวนประกอบหรือ 1 ^{[ 1 ]}${\displaystyle \rho }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ จำนวนที่มีการขยายเลขฐานสองสอดคล้องกับฟังก์ชันบ่งชี้ของเซตของจำนวนเฉพาะนั่นคือ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho =\sum _{p}{\frac {1}{2^{p}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi _{\mathbb {P} }(n)}{2^{n}}}}$

โดยที่แสดงถึงจำนวนเฉพาะ และคือฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของเซตของจำนวนเฉพาะ ${\displaystyle p}$${\displaystyle \chi _{\mathbb {P} }}$${\displaystyle \mathbb {P} }$

จุดเริ่มต้นของการขยายทศนิยมของρคือ: (ลำดับA051006ในOEIS ) ^{[ 1 ]}${\displaystyle \rho =0.414682509851111660248109622\ldots }$

จุดเริ่มต้นของการขยายเลขฐานสองคือ: (ลำดับA010051ในOEIS ) ${\displaystyle \rho =0.011010100010100010100010000\ldots _{2}}$

จำนวน^นี้เป็นจำนวนอตรรกยะ [ ^{2 ]}${\displaystyle \rho }$

สมมติว่าพวกเขามี เหตุผล${\displaystyle \rho }$

ให้ แทนหลักที่ ของการขยายเลขฐานสองของเนื่องจากถือว่าเป็นจำนวนตรรกยะ การขยายเลขฐานสองของมันจึงเป็นคาบในที่สุด ดังนั้นจึงมีจำนวนเต็ม บวก และที่ทำให้ สำหรับทุกและทุก ${\displaystyle k}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle r_{k}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle N}$${\displaystyle k}$${\displaystyle r_{n}=r_{n+ik}}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$

เนื่องจากมีจำนวนเฉพาะเป็นอนันต์ เราจึงสามารถเลือกจำนวนเฉพาะได้โดยนิยามแล้ว เราจะเห็นว่าดังที่กล่าวไว้ เรามีสำหรับทุก ทีนี้ลองพิจารณากรณีเรามีเนื่องจากเป็นจำนวนประกอบเพราะเนื่องจากเราจะเห็นว่าเป็นจำนวนอตรรกยะ ${\displaystyle p>N}$${\displaystyle r_{p}=1}$${\displaystyle r_{p}=r_{p+ik}}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$${\displaystyle i=p}$${\displaystyle r_{p+i\cdot k}=r_{p+p\cdot k}=r_{p(k+1)}=0}$${\displaystyle p(k+1)}$${\displaystyle k+1\geq 2}$${\displaystyle r_{p}\neq r_{p(k+1)}}$${\displaystyle \rho }$