ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันซีตาของไพรม์เป็นอนาล็อกของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ซึ่งศึกษาโดยเกลเชอร์ (1891)โดยนิยามเป็นอนุกรมอนันต์ ต่อไปนี้ ซึ่งลู่เข้าสำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle \Re (s)>1}$ :

${\displaystyle P(s)=\sum _{p\,\in \mathrm {\,primes} }{\frac {1}{p^{s}}}={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+\dots \ .}$

ผลคูณออยเลอร์สำหรับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์บ่งชี้ว่า ${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n>0}{\frac {P(ns)}{n}},}$

ซึ่งเมื่อผกผันแบบโมเบียสจะได้

${\displaystyle P(s)=\sum _{n>0}\mu (n){\frac {\log \zeta (ns)}{n}}}$

เมื่อเข้าใกล้ 1 เราจะได้⁠ ⁠ซึ่งใช้ในนิยามของความหนาแน่นแบบ Dirichlet ${\displaystyle s}$${\displaystyle \textstyle P(s)\sim \log \zeta (s)\sim \log \left({\frac {1}{s-1}}\right)}$

สิ่งนี้ทำให้เกิดการต่อเนื่องจาก⁠ ⁠โดยมีจุดเอกฐานเชิงลอการิทึมจำนวนอนันต์ ณ จุดที่เป็นขั้ว (เฉพาะเมื่อเป็นจำนวนที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสองและมากกว่าหรือเท่ากับ 1) หรือเป็นศูนย์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ζ ( . ) เส้นนี้เป็นขอบเขตตามธรรมชาติเนื่องจากจุดเอกฐานกระจุกตัวอยู่ใกล้ทุกจุดของเส้นนี้ ${\displaystyle P(s)}$${\displaystyle \Re (s)>0}$${\displaystyle s}$${\displaystyle ns}$${\displaystyle ns=1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Re (s)=0}$

หากเรากำหนดลำดับ

${\displaystyle a_{n}=\prod _{p^{k}\mid n}{\frac {1}{k}}=\prod _{p^{k}\mid \mid n}{\frac {1}{k!}}}$

แล้ว

${\displaystyle P(s)=\log \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.}$

(การยกกำลังแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้เทียบเท่ากับ Lemma 2.7 ของ Li)

ฟังก์ชันซีตาหลักมีความสัมพันธ์กับค่าคงที่ของอาร์ตินโดย

${\displaystyle \ln C_{\mathrm {Artin} }=-\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(L_{n}-1)P(n)}{n}}}$

เลขลูคัสที่⁠ ⁠ อยู่ที่ไหน^{[ 1 ]}${\displaystyle L_{n}}$${\displaystyle n}$

ค่าเฉพาะมีดังนี้:

${\displaystyle s}$	ค่าโดยประมาณ${\displaystyle P(s)}$	โออีไอเอส
1	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+\cdots \to \infty }$[ 2 ]
2	${\displaystyle 0{.}45224{\text{ }}74200{\text{ }}41065{\text{ }}49850\ldots }$	OEIS :  A085548
3	${\displaystyle 0{.}17476{\text{ }}26392{\text{ }}99443{\text{ }}53642\ldots }$	OEIS :  A085541
4	${\displaystyle 0{.}07699{\text{ }}31397{\text{ }}64246{\text{ }}84494\ldots }$	OEIS :  A085964
5	${\displaystyle 0{.}03575{\text{ }}50174{\text{ }}83924{\text{ }}25713\ldots }$	OEIS :  A085965
6	${\displaystyle 0{.}01707{\text{ }}00868{\text{ }}50636{\text{ }}51295\ldots }$	OEIS :  A085966
7	${\displaystyle 0{.}00828{\text{ }}38328{\text{ }}56133{\text{ }}59253\ldots }$	OEIS :  A085967
8	${\displaystyle 0{.}00406{\text{ }}14053{\text{ }}66517{\text{ }}83056\ldots }$	OEIS :  A085968
9	${\displaystyle 0{.}00200{\text{ }}44675{\text{ }}74962{\text{ }}45066\ldots }$	OEIS :  A085969

โดยปกติแล้วปริพันธ์เหนือฟังก์ชันซีตาเฉพาะจะถูกกำหนดจุดยึดที่อนันต์ เนื่องจากขั้วที่อนันต์นั้นทำให้ไม่สามารถกำหนดขอบเขตล่างที่ดีที่จำนวนเต็มจำกัดบางจำนวน ได้ โดยไม่ต้องเข้าไปพิจารณาถึงการตัดสาขาในระนาบเชิงซ้อน ${\displaystyle s=1}$

${\displaystyle \int _{s}^{\infty }P(t)\,dt=\sum _{p}{\frac {1}{p^{s}\log p}}}$

ค่าที่น่าสนใจอีกครั้งคือค่าที่ผลรวมลู่เข้าอย่างช้าๆ:

${\displaystyle s}$	ค่าโดยประมาณ${\displaystyle \sum _{p}1/(p^{s}\log p)}$	โออีไอเอส
1	${\displaystyle 1.63661632\ldots }$	OEIS :  A137245
2	${\displaystyle 0.50778218\ldots }$	OEIS :  A221711
3	${\displaystyle 0.22120334\ldots }$
4	${\displaystyle 0.10266547\ldots }$

อนุพันธ์อันดับแรกคือ

${\displaystyle P'(s)\equiv {\frac {d}{ds}}P(s)=-\sum _{p}{\frac {\log p}{p^{s}}}}$

ค่าที่น่าสนใจอีกครั้งคือค่าที่ผลรวมลู่เข้าอย่างช้าๆ:

${\displaystyle s}$	ค่าโดยประมาณ${\displaystyle P'(s)}$	โออีไอเอส
2	${\displaystyle -0.493091109\ldots }$	OEIS :  A136271
3	${\displaystyle -0.150757555\ldots }$	OEIS :  A303493
4	${\displaystyle -0.060607633\ldots }$	OEIS :  A303494
5	${\displaystyle -0.026838601\ldots }$	OEIS :  A303495

เนื่องจากฟังก์ชันซีตาของรีมันน์เป็นผลรวมของกำลังผกผันเหนือจำนวนเต็ม และฟังก์ชันซีตาของจำนวนเฉพาะเป็นผลรวมของกำลังผกผันของจำนวนเฉพาะ ดังนั้น จำนวนเฉพาะ-primes (จำนวนเต็มที่เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะที่ไม่จำเป็นต้องแตกต่างกัน) จึงกำหนดผลรวมระดับกลางชนิดหนึ่ง: ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle P_{k}(s)\equiv \sum _{n:\Omega (n)=k}{\frac {1}{n^{s}}},}$

จำนวนตัวประกอบเฉพาะทั้งหมด อยู่ ที่ไหน${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle k}$	${\displaystyle s}$	ค่าโดยประมาณ${\displaystyle P_{k}(s)}$	โออีไอเอส
2	2	${\displaystyle 0.14076043434\ldots }$	OEIS :  A117543
2	3	${\displaystyle 0.02380603347\ldots }$
3	2	${\displaystyle 0.03851619298\ldots }$	OEIS :  A131653
3	3	${\displaystyle 0.00304936208\ldots }$

จำนวนเต็มแต่ละตัวในตัวส่วนของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์สามารถ จำแนกได้ตามค่าของดัชนีซึ่งจะแยกฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ออกเป็นผลรวมอนันต์ของ:${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle k}$${\displaystyle P_{k}}$

${\displaystyle \zeta (s)=1+\sum _{k=1,2,\ldots }P_{k}(s)}$

เนื่องจากเรารู้ว่าอนุกรม Dirichlet (ในพารามิเตอร์เชิงรูปแบบบางอย่าง) สอดคล้อง${\displaystyle u}$กับ

${\displaystyle P_{\Omega }(u,s):=\sum _{n\geq 1}{\frac {u^{\Omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p\in \mathbb {P} }\left(1-up^{-s}\right)^{-1},}$

เราสามารถใช้สูตรสำหรับตัวแปรพหุนามสมมาตรที่มีฟังก์ชันก่อกำเนิดแบบด้านขวามือได้ กล่าวคือ เรามีเอกลักษณ์สัมประสิทธิ์ที่เมื่อลำดับสอดคล้องกับโดยที่แทนฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของจำนวนเฉพาะโดยใช้เอกลักษณ์ของนิวตันเรามีสูตรทั่วไปสำหรับผลรวมเหล่านี้ที่กำหนดโดย ${\displaystyle P_{k}(s)=[u^{k}]P_{\Omega }(u,s)=h(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots )}$${\displaystyle x_{j}:=j^{-s}\chi _{\mathbb {P} }(j)}$${\displaystyle \chi _{\mathbb {P} }}$

${\displaystyle P_{n}(s)=\sum _{{k_{1}+2k_{2}+\cdots +nk_{n}=n} \atop {k_{1},\ldots ,k_{n}\geq 0}}\left[\prod _{i=1}^{n}{\frac {P(is)^{k_{i}}}{k_{i}!\cdot i^{k_{i}}}}\right]=-[z^{n}]\log \left(1-\sum _{j\geq 1}{\frac {P(js)z^{j}}{j}}\right).}$

กรณีพิเศษ ได้แก่ การขยายความโดยชัดแจ้งดังต่อไปนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}(s)&=P(s)\\P_{2}(s)&={\frac {1}{2}}\left(P(s)^{2}+P(2s)\right)\\P_{3}(s)&={\frac {1}{6}}\left(P(s)^{3}+3P(s)P(2s)+2P(3s)\right)\\P_{4}(s)&={\frac {1}{24}}\left(P(s)^{4}+6P(s)^{2}P(2s)+3P(2s)^{2}+8P(s)P(3s)+6P(4s)\right).\end{aligned}}}$

การสร้างผลรวมไม่ใช่จากจำนวนเฉพาะทั้งหมด แต่จากจำนวนเฉพาะที่อยู่ในชั้นโมดูลัสเดียวกัน จะนำไปสู่ประเภทของอนุกรมอนันต์เพิ่มเติม ซึ่งเป็นการลดรูปของฟังก์ชัน L ของ Dirichlet

• ไดเวอร์เจนซ์ของผลรวมของส่วนกลับของจำนวนเฉพาะ

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ฟังก์ชันซีตาจำนวนเฉพาะ" . MathWorld .