ความสัมพันธ์เชิงสาเหตุและความน่าจะเป็นเป็นแนวคิดหนึ่งในกลุ่มทฤษฎีทางปรัชญาที่มุ่งอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างสาเหตุและผลโดยใช้เครื่องมือของทฤษฎีความน่าจะเป็นแนวคิดหลักเบื้องหลังทฤษฎีเหล่านี้คือ สาเหตุจะเพิ่มความน่าจะเป็นของผลที่เกิดขึ้น โดยที่ปัจจัยอื่น ๆ คงที่

การตีความความสัมพันธ์เชิงสาเหตุแบบกำหนดได้หมายความว่า ถ้าAเป็นสาเหตุของBแล้วBจะต้องตามมาด้วยA เสมอในแง่นี้ สงครามไม่ได้เป็นสาเหตุของการตาย และการสูบบุหรี่ ก็ไม่ได้ เป็นสาเหตุของมะเร็งด้วยเหตุนี้ หลายคนจึงหันมาใช้แนวคิดเรื่องความสัมพันธ์เชิงสาเหตุแบบความน่าจะเป็น โดยทั่วไปแล้วAเป็นสาเหตุ ของ B ในเชิงความน่าจะเป็น ถ้า การเกิดขึ้นของ Aเพิ่มความน่าจะเป็นของBบางครั้งการตีความนี้สะท้อนให้เห็นถึงความรู้ที่ไม่สมบูรณ์เกี่ยวกับระบบแบบกำหนดได้ แต่บางครั้งก็ตีความว่าระบบเชิงสาเหตุที่กำลังศึกษาอยู่นั้นมี ลักษณะ ที่ไม่แน่นอน โดยเนื้อแท้ ( ความน่าจะเป็นเชิงแนวโน้มเป็นแนวคิดที่คล้ายคลึงกัน ซึ่งความน่าจะเป็นมีอยู่จริงอย่างเป็นรูปธรรมและไม่ใช่เพียงข้อจำกัดในความรู้ของบุคคล)

นักปรัชญาอย่างHugh Mellor ^{[ 1 ]}และPatrick Suppes ^{[ 2 ]}ได้นิยามความเป็นเหตุเป็นผลในแง่ของสาเหตุที่มาก่อนและเพิ่มความน่าจะเป็นของผล (นอกจากนี้ Mellor ยังอ้างว่าทั้งสาเหตุและผลเป็นข้อเท็จจริง ไม่ใช่เหตุการณ์ เนื่องจากแม้แต่สิ่งที่ไม่ใช่เหตุการณ์ เช่น รถไฟไม่มา ก็สามารถก่อให้เกิดผล เช่น การที่ฉันขึ้นรถบัสได้ ในทางตรงกันข้าม Suppes อาศัยเหตุการณ์ที่กำหนดตามทฤษฎีเซต และการอภิปรายส่วนใหญ่ของเขาได้รับอิทธิพลจากคำศัพท์นี้) ^{[ 3 ]}

Pearl ^{[ 4 ]}โต้แย้งว่ากิจการทั้งหมดของสาเหตุเชิงความน่าจะเป็นนั้นผิดพลาดตั้งแต่เริ่มต้น เพราะแนวคิดหลักที่ว่าสาเหตุ "เพิ่มความน่าจะเป็น" ของผลกระทบนั้นไม่สามารถแสดงออกมาในภาษาของทฤษฎีความน่าจะเป็นได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง อสมการPr(ผล | สาเหตุ) > Pr(ผล | ~สาเหตุ)ซึ่งนักปรัชญานำมาใช้เพื่อกำหนดสาเหตุ ตลอดจนรูปแบบและความแตกต่างเล็กน้อยต่างๆ นั้น ล้มเหลวในการจับเอาสัญชาตญาณเบื้องหลัง "การเพิ่มความน่าจะเป็น" ซึ่งเป็นแนวคิดที่บิดเบือนหรือเป็นความจริงโดยเนื้อแท้ การกำหนดสูตรที่ถูกต้องตามที่ Pearl กล่าว ควรจะเป็นดังนี้:

โดยที่do(C)หมายถึงการแทรกแซงภายนอกที่บังคับให้C เป็นจริง ในทางตรงกันข้ามความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขPr(E | C) แสดงถึงความน่าจะเป็นที่เกิดจากการสังเกต C อย่างเฉื่อยชา และแทบจะไม่ตรงกับPr(E | do(C))เลย อันที่จริง การสังเกตเห็นบารอมิเตอร์ลดลงจะเพิ่มความน่าจะเป็นที่พายุจะมาถึง แต่ไม่ได้ "ก่อให้เกิด" พายุ หากการกระทำของการจัดการบารอมิเตอร์เปลี่ยนความน่าจะเป็นของพายุ บารอมิเตอร์ที่ลดลงจะถือว่าเป็นสาเหตุของพายุ โดยทั่วไป การกำหนดแนวคิดของ "การเพิ่มความน่าจะเป็น" ภายในแคลคูลัสของตัวดำเนินการdo ^{[ 4 ]}จะช่วยแก้ปัญหาที่สาเหตุเชิงความน่าจะเป็นพบเจอในช่วงครึ่งศตวรรษที่ผ่านมา^{[ 2 ] [ 5 ] [ 6 ]}รวมถึงปริศนาของซิมป์สัน ที่โด่งดัง และชี้แจงความสัมพันธ์ระหว่างความน่าจะเป็นและสาเหตุได้อย่างแม่นยำ

การพิสูจน์ความสัมพันธ์ระหว่างเหตุและผล แม้จะตีความอย่างผ่อนปรนแล้ว ก็ยังเป็นเรื่องยากอย่างยิ่ง ดังที่เห็นได้จากคำกล่าวที่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางว่า " ความสัมพันธ์ไม่ได้หมายความถึงสาเหตุ " ตัวอย่างเช่น การสังเกตว่าผู้สูบบุหรี่มีอัตราการเกิดมะเร็งปอดสูงขึ้นอย่างมาก ไม่ได้หมายความว่าการสูบบุหรี่จะต้องเป็นสาเหตุของอัตราการเกิดมะเร็งที่เพิ่มขึ้นนั้นเสมอไป อาจมีข้อบกพร่องทางพันธุกรรมบางอย่างที่ทำให้เกิดทั้งมะเร็งและความต้องการนิโคติน หรือบางทีความต้องการนิโคตินอาจเป็นอาการของมะเร็งปอดระยะเริ่มต้นที่ไม่สามารถตรวจพบได้ด้วยวิธีอื่น นักวิทยาศาสตร์มักพยายามค้นหากลไกที่แน่นอนว่าเหตุการณ์Aก่อให้เกิดเหตุการณ์B ได้อย่างไร แต่พวกเขาก็ยินดีที่จะกล่าวว่า "การสูบบุหรี่น่าจะเป็นสาเหตุของมะเร็ง" เมื่อความสัมพันธ์ทางสถิติระหว่างทั้งสองตามทฤษฎีความน่าจะเป็นนั้นมากกว่าโอกาสโดยบังเอิญ ในแนวทางสองด้านนี้ นักวิทยาศาสตร์ยอมรับทั้งสาเหตุเชิงกำหนดและเชิงความน่าจะเป็นในศัพท์เฉพาะของพวกเขา

ในทางสถิติเป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าการศึกษาเชิงสังเกต (เช่น การนับจำนวนผู้ป่วยมะเร็งในกลุ่มผู้สูบบุหรี่และกลุ่มผู้ไม่สูบบุหรี่ แล้วนำมาเปรียบเทียบกัน) สามารถให้เบาะแสได้ แต่ไม่สามารถพิสูจน์ความสัมพันธ์เชิงสาเหตุและผลได้ อย่างไรก็ตาม บ่อยครั้งที่สมมติฐานเชิงสาเหตุเชิงคุณภาพ (เช่น การไม่มีความสัมพันธ์เชิงสาเหตุระหว่างตัวแปรบางตัว) อาจอนุญาตให้สามารถอนุมานค่าประมาณผลกระทบเชิงสาเหตุที่สอดคล้องกันจากการศึกษาเชิงสังเกตได้^{[ 4 ]}

วิธีการมาตรฐานในการพิสูจน์ความสัมพันธ์เชิงสาเหตุคือการทดลองแบบสุ่ม : นำคนจำนวนมากมาแบ่งออกเป็นสองกลุ่มแบบสุ่ม บังคับให้กลุ่มหนึ่งสูบบุหรี่และห้ามอีกกลุ่มหนึ่งสูบบุหรี่ จากนั้นตรวจสอบว่ากลุ่มใดมีอัตราการเกิดมะเร็งปอดสูงกว่าอย่างมีนัยสำคัญ การสุ่มจัดกลุ่มมีบทบาทสำคัญในการอนุมานความสัมพันธ์เชิงสาเหตุ เพราะในระยะยาวจะทำให้ทั้งสองกลุ่มมีความเท่าเทียมกันในแง่ของผลกระทบอื่นๆ ที่เป็นไปได้ต่อผลลัพธ์ (มะเร็ง) ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงใดๆ ในผลลัพธ์จะสะท้อนถึงการเปลี่ยนแปลง (การสูบบุหรี่) เท่านั้น เห็นได้ชัดว่าด้วยเหตุผลทางจริยธรรมการทดลอง นี้ ไม่สามารถทำได้ แต่เป็นวิธีการที่ใช้กันอย่างแพร่หลายสำหรับการทดลองที่ก่อให้เกิดความเสียหายไม่มากนัก อย่างไรก็ตาม ข้อจำกัดอย่างหนึ่งของการทดลองคือ แม้ว่าจะสามารถทดสอบการมีอยู่ของผลกระทบเชิงสาเหตุได้ดี แต่ก็ไม่สามารถประมาณขนาดของผลกระทบนั้นในประชากรเป้าหมายได้อย่างแม่นยำ (นี่เป็นข้อวิจารณ์ทั่วไปของการศึกษาความปลอดภัยของสารเติมแต่งอาหารที่ใช้ปริมาณสูงกว่าที่ผู้บริโภคผลิตภัณฑ์จะได้รับจริง)

ในระบบปิดข้อมูลอาจบ่งชี้ว่าสาเหตุA * Bเกิดขึ้นก่อนผลCในช่วงเวลาที่กำหนดτความสัมพันธ์นี้สามารถกำหนดความเป็นเหตุเป็นผลได้ด้วยความมั่นใจที่จำกัดโดยτอย่างไรก็ตาม ความสัมพันธ์เดียวกันนี้อาจไม่สามารถกำหนดได้อย่างแม่นยำด้วยความมั่นใจในระบบเปิดที่ปัจจัยที่ไม่สามารถควบคุมได้อาจส่งผลต่อผลลัพธ์^{[ 7 ]}

ตัวอย่างเช่น ระบบ A, B และ C โดยที่ A, B และ C เป็นที่ทราบแล้ว คุณลักษณะต่างๆ อยู่ด้านล่างและจำกัดอยู่ที่ช่วงเวลาที่กำหนด (เช่น 50 มิลลิวินาที หรือ 50 ชั่วโมง) เครื่องหมาย "^" หมายถึง "ไม่ใช่" และเครื่องหมาย "*" หมายถึง "และ"

^A * ^B => ^C (99.9999998027%)

A * ^B => ^C (99.9999998027%)

^A * B => ^C (99.9999998027%)

A * B => C (99.9999998027%)

เราสามารถกล่าวอ้างได้อย่างสมเหตุสมผลว่า A * B ทำให้เกิด C ภายในค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 6 เท่า โดยกำหนดขอบเขตเวลา (เช่น 50 มิลลิวินาที หรือ 50 ชั่วโมง) ก็ต่อเมื่อ A, B และ C เป็น ส่วนประกอบเพียงส่วน เดียวของระบบที่กำลังพิจารณาอยู่เท่านั้น ผลลัพธ์ใดๆ ที่อยู่นอกเหนือขอบเขตนี้อาจถือเป็นการเบี่ยงเบน

• การอนุมานแบบเบย์เซียน