แบบจำลองนาฬิกาควอนตัมเป็นแบบจำลองแลตติสควอนตัม^{[ 1 ]}เป็นการวางนัยทั่วไปของแบบจำลอง Ising สนามตามขวางโดยกำหนดบนแลตติสที่มีสถานะในแต่ละไซต์แฮมิลโทเนียนของแบบจำลองนี้คือ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle H=-J\left(\sum _{\langle i,j\rangle }(Z_{i}^{\dagger }Z_{j}+Z_{i}Z_{j}^{\dagger })+g\sum _{j}(X_{j}+X_{j}^{\dagger })\right)}$

ในที่นี้ ตัวห้อยหมายถึงตำแหน่งบนโครงตาข่าย และผลรวมจะคำนวณจากคู่ของตำแหน่งเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดและเมทริกซ์นาฬิกาและเป็นการขยายความของเมทริกซ์ Pauliที่สอดคล้องกับ ${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle X_{j}}$${\displaystyle Z_{j}}$${\displaystyle N\times N}$

${\displaystyle Z_{j}X_{k}=e^{{\frac {2\pi i}{N}}\delta _{j,k}}X_{k}Z_{j}}$และ${\displaystyle X_{j}^{N}=Z_{j}^{N}=1}$

โดยที่มีค่าเป็น 1 ถ้าและเป็นไซต์เดียวกัน และมีค่าเป็นศูนย์ในกรณีอื่นเป็นตัวประกอบนำหน้าที่มีมิติเป็นพลังงาน และเป็นสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่ออีกตัวหนึ่งที่กำหนดความแรงสัมพัทธ์ของสนามภายนอกเมื่อเทียบกับปฏิสัมพันธ์ของเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด ${\displaystyle \delta _{j,k}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$${\displaystyle J}$${\displaystyle g}$

แบบจำลองนี้เป็นไปตามสมมาตรทั่วโลก ซึ่งสร้างขึ้นโดยตัวดำเนินการเอกภาพโดยผลคูณจะครอบคลุมทุกไซต์ของแลตทิซ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือสอดคล้องกับแฮมิลโทเนียน ${\displaystyle \mathbb {Z} _{N}}$${\displaystyle U_{X}=\prod _{j}X_{j}}$${\displaystyle U_{X}}$

เมื่อแบบจำลองนาฬิกาควอนตัมเหมือนกับแบบจำลอง Ising สนามขวาง เมื่อแบบจำลองนาฬิกาควอนตัมเทียบเท่ากับแบบจำลอง Potts สามสถานะควอนตัมเมื่อแบบจำลองจะเทียบเท่ากับแบบจำลอง Ising อีกครั้ง เมื่อพบหลักฐานที่แน่ชัดว่าการเปลี่ยนเฟสที่แสดงในแบบจำลองเหล่านี้ควรเป็นการสรุปทั่วไปบางประการ^{[ 2 ]}ของการเปลี่ยนผ่าน Kosterlitz–Thoulessซึ่งธรรมชาติทางกายภาพยังไม่เป็นที่รู้จักมากนัก ${\displaystyle N=2}$${\displaystyle N=3}$${\displaystyle N=4}$${\displaystyle N>4}$

มีวิธีการวิเคราะห์หลากหลายวิธีที่สามารถนำมาใช้ศึกษาแบบจำลองนาฬิกาควอนตัมโดยเฉพาะในมิติเดียวได้

การแมปแบบไม่เฉพาะที่ของเมทริกซ์นาฬิกาที่รู้จักกันในชื่อ การแปลง คู่ของ Kramers–Wannierสามารถทำได้ดังนี้: ^{[ 3 ]} จากนั้น ในแง่ของเมทริกซ์นาฬิกาที่กำหนดใหม่ที่มีเครื่องหมายทิลเด ซึ่งปฏิบัติตามความสัมพันธ์ทางพีชคณิตเดียวกันกับเมทริกซ์นาฬิกาเดิม Hamiltonian ก็คือซึ่งบ่งชี้ว่าแบบจำลองที่มีพารามิเตอร์การเชื่อมต่อเป็นคู่ของแบบจำลองที่มีพารามิเตอร์การเชื่อมต่อและสร้างความเป็นคู่ระหว่างเฟสที่เป็นระเบียบและเฟสที่ไม่เป็นระเบียบ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {X_{j}}}&=Z_{j}^{\dagger }Z_{j+1}\\{\tilde {Z}__{j}^{\dagger }{\tilde {Z}__{j+1}&=X_{j+1}\end{aligned}}}$$${\displaystyle H=-Jg\sum _{j}({\tilde {Z}__{j}^{\dagger }{\tilde {Z}}_{j+1}+g^{-1}{\tilde {X}}_{j}^{\dagger }+{\textrm {hc}})}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g^{-1}}$

โปรดทราบว่ามีข้อพิจารณาที่ละเอียดอ่อนบางประการที่ขอบเขตของโซ่หนึ่งมิติ ผลจากสิ่งเหล่านี้ทำให้คุณสมบัติการเสื่อมสภาพและสมมาตรของเฟสเปลี่ยนแปลงไปภายใต้ทฤษฎีบทคู่ของ Kramers–Wannier การวิเคราะห์ที่ละเอียดถี่ถ้วนยิ่งขึ้นเกี่ยวข้องกับการเชื่อมโยงทฤษฎีเข้ากับสนามเกจ การกำหนดค่าเกจให้คงที่จะให้ผลลัพธ์ของการแปลง Kramers-Wannier อีกครั้ง ${\displaystyle \mathbb {Z} _{N}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{N}}$

สำหรับมีการเปลี่ยนเฟสที่ไม่ซ้ำกันจากเฟสที่เป็นระเบียบไปสู่เฟสที่ไม่เป็นระเบียบที่แบบจำลองนี้เรียกว่า "แบบคู่ตัวเอง" เพราะการแปลง Kramers–Wannier แปลงแฮมิลโทเนียนไปเป็นตัวมันเอง สำหรับมีจุดเปลี่ยนเฟสสองจุดที่และพบหลักฐานที่แน่ชัดว่าการเปลี่ยนเฟสเหล่านี้ควรเป็นคลาสของการวางนัยทั่วไป^{[ 2 ]}ของการเปลี่ยนผ่าน Kosterlitz–Thouless การเปลี่ยนผ่าน KT ทำนายว่าพลังงานอิสระมีเอกภาวะที่สำคัญซึ่งมีลักษณะเป็นในขณะที่การศึกษาแบบรบกวนพบว่าเอกภาวะที่สำคัญมีพฤติกรรมเป็น โดยที่เปลี่ยนจากเป็นเมื่อเพิ่มขึ้นจากเป็นภาพทางกายภาพ^{[ 4 ]}ของการเปลี่ยนเฟสเหล่านี้ยังไม่ชัดเจน ${\displaystyle N=2,3,4}$${\displaystyle g=1}$${\displaystyle N>4}$${\displaystyle g_{1}<1}$${\displaystyle g_{2}=1/g_{1}>1}$${\displaystyle e^{-{\tfrac {c}{\sqrt {|g-g_{c}|}}}}}$${\displaystyle e^{-{\tfrac {c}{|g-g_{c}|^{\sigma }}}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle 0.2}$${\displaystyle 0.5}$${\displaystyle N}$${\displaystyle 5}$${\displaystyle 9}$

การแปลงแบบไม่เฉพาะที่อีกรูปแบบหนึ่งที่เรียกว่าการแปลงจอร์แดน-วิกเนอร์ สามารถนำมาใช้เพื่อแสดงทฤษฎีในรูปของพาราเฟอร์มิออนได้