ในทฤษฎีสนามควอนตัมปฏิสัมพันธ์ควอติกหรือทฤษฎี^φ⁴ คือปฏิสัมพันธ์แบบหนึ่ง กับตัวเอง ในสนามสเกลาร์ปฏิสัมพันธ์ควอติกประเภทอื่นๆ สามารถพบได้ในหัวข้อปฏิสัมพันธ์สี่เฟอร์มิออน สนามสเกลาร์ อิสระแบบคลาสสิกเป็นไปตามสมการไคลน์-กอร์ดอนถ้าสนามสเกลาร์ถูกกำหนดให้เป็น φ⁴ ปฏิสัมพันธ์ควอติกจะถูกแทนด้วยการเพิ่มพจน์พลังงานปฏิสัมพันธ์เข้าไปในความหนาแน่นของลากรางจ์ ค่าคง ที่การเชื่อมต่อไม่มีมิติ ใน ปริภูมิเวลา 4 มิติ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle ({\lambda }/{4!})\varphi ^{4}}$${\displaystyle \lambda }$

บทความนี้ใช้ลายเซ็นเมตริกสำหรับปริภูมิ Minkowski ${\displaystyle (+---)}$

ความหนาแน่น ลากรางจ์สำหรับ สนามสเกลาร์ จริง ที่มีมวล และมีการปฏิสัมพันธ์แบบควอติกคือ

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -m^{2}\varphi ^{2}]-{\frac {\lambda }{4!}}\varphi ^{4}.}$

พจน์แรกที่อยู่ระหว่างวงเล็บคือพลังงานที่เกี่ยวข้องกับโมเมนตัมสี่มิติของอนุภาค ส่วนพจน์ที่สองอธิบายถึงพลังงานมวลนิ่งของอนุภาค

ลากรางเจียนนี้มี การแม ป สมมาตรZ _{2 ทั่วโลก}${\displaystyle \varphi \to -\varphi }$

ลากรางเจียนสำหรับ ฟิลด์สเกลาร์ เชิงซ้อนสามารถอธิบายได้ดังนี้ สำหรับฟิลด์สเกลาร์สองตัวลากรางเจียนจะมีรูปแบบ ดังนี้${\displaystyle \varphi _{1}}$${\displaystyle \varphi _{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},\varphi _{2})={\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\varphi _{1}\partial ^{\mu }\varphi _{1}-m^{2}\varphi _{1}^{2}]+{\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\varphi _{2}\บางส่วน ^{\mu }\varphi _{2}-m^{2}\varphi _{2}^{2}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2})^{2},}$

ซึ่งสามารถเขียนให้กระชับยิ่งขึ้นได้โดยการแนะนำฟิลด์สเกลาร์เชิงซ้อนที่กำหนดไว้ดังนี้ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi \equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{1}+i\varphi _{2}),}$

${\displaystyle \phi ^{*}\equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{1}-i\varphi _{2}).}$

เมื่อแสดงในรูปของสนามสเกลาร์เชิงซ้อนนี้ ลากรางเจียนข้างต้นจะกลายเป็น

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )=\partial ^{\mu }\phi ^{*}\partial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{*}\phi -\lambda (\phi ^{*}\phi )^{2},}$

ซึ่งเทียบเท่ากับแบบจำลอง SO(2) ของฟิลด์สเกลาร์จริงดังที่เห็นได้จากการขยายฟิลด์เชิงซ้อนในส่วนจริงและส่วนจินตนาการ ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}}$${\displaystyle \phi }$

ด้วยฟิลด์สเกลาร์จริง เราสามารถมีแบบจำลองที่มี สมมาตร SO(N) ทั่วโลกที่กำหนดโดยลากรางเจียนได้ ${\displaystyle N}$${\displaystyle \varphi ^{4}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},...,\varphi _{N})={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi _{a}\partial _{\mu }\varphi _{a}-m^{2}\varphi _{a}\varphi _{a}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\varphi _{a}\varphi _{a})^{2},\quad a=1,...,N.}$

การขยายฟิลด์เชิงซ้อนในส่วนจริงและส่วนจินตนาการแสดงให้เห็นว่าเทียบเท่ากับแบบจำลอง SO(2) ของฟิลด์สเกลาร์จริง

ในแบบจำลองทั้งหมดข้างต้นค่าคงที่การเชื่อมต่อ จะต้องเป็นบวก มิฉะนั้นศักยภาพจะไม่มีขอบเขตด้านล่าง และจะไม่มีสุญญากาศที่เสถียร นอกจากนี้ปริพันธ์เส้นทางของไฟน์แมนที่กล่าวถึงด้านล่างก็จะไม่มีนิยามที่ชัดเจน ใน 4 มิติทฤษฎีจะมีขั้วแลนเดาซึ่งหมายความว่าหากไม่มีการตัดขอบที่ระดับพลังงานสูงการปรับค่าใหม่จะทำให้ทฤษฎีนั้นกลายเป็นเรื่องไร้สาระ ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \phi ^{4}}$

แบบจำลอง นี้จัดอยู่ในกลุ่ม Griffiths-Simon ^{[ 1 ]}ซึ่งหมายความว่าสามารถแสดงเป็นขีดจำกัดอ่อนของแบบจำลอง Isingบนกราฟประเภทหนึ่งได้เช่นกัน ความไม่สำคัญของทั้งแบบจำลองและแบบจำลอง Ising สามารถแสดงได้ผ่านการแสดงภาพกราฟิกที่เรียกว่าการขยายกระแสสุ่ม^{[ 2 ]}${\displaystyle \phi ^{4}}$${\displaystyle \phi ^{4}}$${\displaystyle d\geq 4}$

การขยาย แผนภาพ Feynmanอาจได้รับจากสูตรอินทิกรัลเส้นทาง Feynman เช่น กัน^{[ 3 ]}ค่าคาดหวังสุญญากาศที่เรียงลำดับตามเวลา ของพหุนามใน φ ซึ่งรู้จักกันในชื่อ ฟังก์ชัน Green nอนุภาค ถูกสร้างขึ้นโดยการอินทิเกรตเหนือฟิลด์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด โดยทำให้เป็นมาตรฐานด้วยค่าคาดหวังสุญญากาศที่ไม่มีฟิลด์ภายนอก

${\displaystyle \langle \Omega |{\mathcal {T}}\{{\phi }(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\}|\Omega \rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)}}}.}$

ฟังก์ชันกรีนทั้งหมดเหล่านี้สามารถหาได้โดยการขยายเลขชี้กำลังในJ ( x )φ( x ) ในฟังก์ชันก่อกำเนิด

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}=Z[0]\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\langle \Omega |{\mathcal {T}}\{{\phi }(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\}|\Omega \rangle .}$

สามารถใช้การหมุนแบบ วิก(Wick rotation) เพื่อทำให้เวลาเป็นจำนวนจินตนาการ การเปลี่ยนเครื่องหมายเป็น (++++) จะให้ปริพันธ์ กลศาสตร์เชิงสถิติ φ ^{4 บน} ปริภูมิยุคลิด 4 มิติ

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\int d^{4}x\left({1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}.}$

โดยปกติแล้ว วิธีนี้จะใช้กับการกระเจิงของอนุภาคที่มีโมเมนตัมคงที่ ซึ่งในกรณีนี้การแปลงฟูริเยร์จะมีประโยชน์ โดยให้ผลลัพธ์แทน

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}e^{-\int d^{4}p\left({1 \over 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}-{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}+{\lambda \over 4!}{\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}\right)}.}$

ฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac อยู่ที่ไหน${\displaystyle \delta (x)}$

วิธีการมาตรฐานในการประเมินค่าอินทิกรัลเชิงฟังก์ชัน นี้ คือการเขียนให้อยู่ในรูปผลคูณของตัวประกอบเลขชี้กำลัง ดังแผนภาพ

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}\prod _{p}\left[e^{-(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}/2}e^{-\lambda /4!\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}e^{{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}}\right].}$

ตัวประกอบเลขชี้กำลังสองตัวที่สองสามารถขยายได้เป็นอนุกรมกำลังและการจัดเรียงของการขยายนี้สามารถแสดงได้ด้วยกราฟ อินทิกรัลที่มี λ = 0 สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นผลคูณของอินทิกรัลเกาส์เซียนพื้นฐานจำนวนอนันต์ และผลลัพธ์สามารถแสดงได้เป็นผลรวมของไดอะแกรมไฟน์แมนซึ่งคำนวณโดยใช้กฎของไฟน์แมนดังต่อไปนี้:

• แต่ละฟิลด์ในฟังก์ชัน กรีนแบบยุคลิด nจุด จะถูกแทนด้วยเส้นภายนอก (ครึ่งขอบ) ในกราฟ และเชื่อมโยงกับโมเมนตัมp${\displaystyle {\tilde {\phi }}(p)}$
• จุด ยอดแต่ละจุดจะถูกแทนด้วยตัวประกอบ-λ
• ที่ลำดับ λ ^k ที่กำหนด ไดอะแกรมทั้งหมดที่มีเส้นภายนอกn เส้นและจุดยอด kจุด จะถูกสร้างขึ้นโดยที่โมเมนตัมที่ไหลเข้าสู่จุดยอดแต่ละจุดเป็นศูนย์ เส้นภายในแต่ละเส้นจะถูกแทนด้วยตัวประกอบ 1/( q ² + m ² ) โดยที่qคือโมเมนตัมที่ไหลผ่านเส้นนั้น
• โมเมนตัมที่ไม่ถูกจำกัดใดๆ จะถูกรวมเข้ากับค่าทั้งหมด
• ผลลัพธ์จะถูกหารด้วยตัวประกอบสมมาตร ซึ่งเป็นจำนวนวิธีที่สามารถจัดเรียงเส้นและจุดยอดของกราฟใหม่ได้โดยไม่เปลี่ยนแปลงการเชื่อมต่อของกราฟ
• ห้ามรวมกราฟที่มี "ฟองสุญญากาศ" ซึ่งเป็นกราฟย่อยที่เชื่อมต่อกันโดยไม่มีเส้นภายนอก

กฎข้อสุดท้ายคำนึงถึงผลของการหารด้วยกฎของไฟน์แมนในปริภูมิ Minkowski ก็คล้ายกัน ยกเว้นว่าแต่ละจุดยอดจะถูกแทนด้วยในขณะที่แต่ละเส้นภายในจะถูกแทนด้วยตัวประกอบi /( q ² - m ² + i ε ) โดยที่ เทอม εแทนการหมุน Wick ขนาดเล็กที่จำเป็นเพื่อให้ปริพันธ์เกาส์เซียนในปริภูมิ Minkowski ลู่เข้า ${\displaystyle {\tilde {Z}}[0]}$${\displaystyle -i\lambda }$ 

โดยทั่วไปแล้ว อินทิกรัลเหนือโมเมนตัมที่ไม่ถูกจำกัด ซึ่งเรียกว่า "อินทิกรัลลูป" ในกราฟของไฟน์แมนจะลู่เข้าสู่ค่าอนันต์ โดยปกติแล้วปัญหานี้จะได้รับการแก้ไขโดยการปรับค่าใหม่ (renormalization ) ซึ่งเป็นกระบวนการเพิ่มเทอมแก้ไขที่ลู่เข้าสู่ค่าอนันต์ให้กับลากรางเจียนในลักษณะที่ไดอะแกรมที่สร้างขึ้นจากลากรางเจียนดั้งเดิมและเทอมแก้ไขจะมีค่าจำกัด^{[ 4 ]}จะต้องมีการแนะนำมาตราส่วนการปรับค่าใหม่ในกระบวนการนี้ และค่าคงที่ของการเชื่อมต่อและมวลจะขึ้นอยู่กับมาตราส่วนนี้ การพึ่งพานี้เองที่นำไปสู่ขั้วแลนเดาที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ และจำเป็นต้องรักษาค่าตัดให้มีค่าจำกัด

คุณสมบัติที่น่าสนใจสามารถเกิดขึ้นได้หากm ²กลายเป็นค่าลบ แต่ λ ยังคงเป็นค่าบวก ในกรณีนี้ สุญญากาศประกอบด้วยสถานะพลังงานต่ำสุดสองสถานะ ซึ่งแต่ละสถานะจะทำลาย สมมาตรทั่วโลก Z ₂ของทฤษฎีดั้งเดิมโดยอัตโนมัติ สิ่งนี้นำไปสู่การปรากฏของสถานะรวมที่น่าสนใจ เช่นผนังโดเมนใน ทฤษฎี O (2) สุญญากาศจะอยู่บนวงกลม และการเลือกหนึ่งจะทำลาย สมมาตร O (2) โดยอัตโนมัติ สมมาตรที่ถูกทำลายอย่างต่อเนื่องนำไปสู่โบซอนโกลด์สโตนการทำลายสมมาตรโดยธรรมชาติประเภทนี้เป็นองค์ประกอบสำคัญของกลไกฮิกส์^{[ 5 ]}

ระบบสัมพัทธภาพที่ง่ายที่สุดที่เราสามารถเห็นการแตกสมมาตรโดยธรรมชาติได้ คือระบบที่มีสนามสเกลาร์เดี่ยวที่มีลากรางเจียน ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{2}-{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}\equiv {\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}-V(\varphi ),}$

ที่ไหนและ ${\displaystyle \mu ^{2}>0}$

${\displaystyle V(\varphi )\equiv -{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{2}+{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}.}$

ลดโอกาสที่อาจเกิดขึ้นให้น้อยที่สุด ซึ่งอาจนำไปสู่... ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle V'(\varphi _{0})=0\Longleftrightarrow \varphi _{0}^{2}\equiv v^{2}={\frac {2\mu ^{2}}{\lambda }}.}$

ตอนนี้เราจะขยายขอบเขตของการเขียนขั้นต่ำนี้ออกไป

${\displaystyle \varphi (x)=v+\sigma (x),}$

และเมื่อแทนค่าลงในลากรางเจียน เราจะได้

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )=\underbrace {-{\frac {\mu ^{4}}{4\lambda }}} _{\text{unimportant constant}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}[(\partial \sigma )^{2}-({\sqrt {2}}\mu )^{2}\sigma ^{2}]} _{\text{massive scalar field}}+\underbrace {(-\lambda v\sigma ^{3}-{\frac {\lambda }{4}}\sigma ^{4})} _{\text{self-interactions}}.}$

โดยที่เราสังเกตได้ว่าปริมาณส เกลาร์ ในขณะนี้มี พจน์ มวลเป็นบวก${\displaystyle \sigma }$

การคิดในแง่ของค่าคาดหวังสุญญากาศช่วยให้เราเข้าใจว่าเกิดอะไรขึ้นกับสมมาตรเมื่อมันถูกทำลายโดยธรรมชาติ ลากรางเจียนดั้งเดิมไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้สมมาตรเนื่องจาก ${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle \varphi \rightarrow -\varphi }$

${\displaystyle \langle \Omega |\varphi |\Omega \rangle =\pm {\sqrt {\frac {6\mu ^{2}}{\lambda }}}}$

เนื่องจากทั้งสองเป็นจุดต่ำสุด จึงต้องมีสุญญากาศที่แตกต่างกันสองแบบ: ด้วย ${\displaystyle |\Omega _{\pm }\rangle }$

${\displaystyle \langle \Omega _{\pm }|\varphi |\Omega _{\pm }\rangle =\pm {\sqrt {\frac {6\mu ^{2}}{\lambda }}}.}$

เนื่องจากสมมาตรใช้ดังนั้นจึงต้องใช้ด้วยเช่นกัน สุญญากาศที่เป็นไปได้สองแบบสำหรับทฤษฎีนั้นเทียบเท่ากัน แต่ต้องเลือกแบบใดแบบหนึ่ง แม้ว่าดูเหมือนว่าใน Lagrangian ใหม่สมมาตรจะหายไป แต่มันก็ยังคงอยู่ เพียงแต่ตอนนี้มันทำหน้าที่เป็น นี่เป็นลักษณะทั่วไปของสมมาตรที่ถูกทำลายโดยธรรมชาติ: สุญญากาศทำลายสมมาตรเหล่านั้น แต่จริงๆ แล้วมันไม่ได้ถูกทำลายใน Lagrangian เพียงแค่ซ่อนอยู่ และมักจะเกิดขึ้นในรูปแบบที่ไม่เป็นเชิงเส้นเท่านั้น^{[ 6 ]}${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle \varphi \rightarrow -\varphi }$${\displaystyle |\Omega _{+}\rangle \leftrightarrow |\Omega _{-}\rangle }$${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle \sigma \rightarrow -\sigma -2v.}$

มีชุดคำตอบคลาสสิกที่แน่นอนสำหรับสมการการเคลื่อนที่ของทฤษฎีที่เขียนในรูปแบบ

${\displaystyle \partial ^{2}\varphi +\mu _{0}^{2}\varphi +\lambda \varphi ^{3}=0}$

ซึ่งสามารถเขียนได้สำหรับกรณีที่ไม่มีมวล ดังนี้^{[ 7 ]}${\displaystyle \mu _{0}=0}$

${\displaystyle \varphi (x)=\pm \mu \left({\frac {2}{\lambda }}\right)^{1 \over 4}{\rm {sn}}(p\cdot x+\theta ,i),}$

โดยที่ คือฟังก์ชันไซน์เชิงวงรีของจาโคบี และ คือค่าคงที่ของการอินทิเกรตสองค่า โดยมี เงื่อนไข ว่าความสัมพันธ์การกระจาย ต่อไปนี้ เป็นจริง ${\displaystyle \,{\rm {sn\!}}}$${\displaystyle \,\mu ,\theta }$

${\displaystyle p^{2}=\mu ^{2}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{1 \over 2}.}$

จุดที่น่าสนใจคือ เราเริ่มต้นด้วยสมการที่ไม่มีมวล แต่คำตอบที่แท้จริงอธิบายถึงคลื่นที่มีความสัมพันธ์การกระจายตัวที่เหมาะสมกับคำตอบที่มีมวล เมื่อพจน์มวลไม่เป็นศูนย์จะได้

${\displaystyle \varphi (x)=\pm {\sqrt {\frac {2\mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}{\rm {sn}}\left(p\cdot x+\theta ,{\sqrt {\frac {-\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}{-\mu _{0}^{2}-{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}\right)}$

โดยตอนนี้เป็นความสัมพันธ์การกระจายตัว

${\displaystyle p^{2}=\mu _{0}^{2}+{\frac {\lambda \mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}.}$

สุดท้ายนี้ สำหรับกรณีของการแตกสมมาตร จะได้ว่า

${\displaystyle \varphi (x)=\pm v\cdot {\rm {dn}}(p\cdot x+\theta ,i),}$

โดย ที่ความสัมพันธ์การกระจายตัวต่อไปนี้เป็นจริง ${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2\mu _{0}^{2}}{3\lambda }}}}$

${\displaystyle p^{2}={\frac {\lambda v^{2}}{2}}.}$

คำตอบของคลื่นเหล่านี้มีความน่าสนใจ เพราะถึงแม้เราจะเริ่มต้นด้วยสมการที่มีเครื่องหมายมวลผิด แต่ความสัมพันธ์การกระจายตัวกลับมีเครื่องหมายที่ถูกต้อง นอกจากนี้ ฟังก์ชัน Jacobi dn ไม่มีค่าศูนย์ที่แท้จริง ดังนั้นสนามจึงไม่เป็นศูนย์ แต่จะเคลื่อนที่ไปรอบๆ ค่าคงที่ที่กำหนดไว้ ซึ่งถูกเลือกไว้ในตอนเริ่มต้น โดยอธิบายถึงการแตกสมมาตรโดยธรรมชาติ

สามารถพิสูจน์ความไม่ซ้ำกันได้ หากเราสังเกตว่าสามารถค้นหาคำตอบได้ในรูปแบบที่เป็น จากนั้นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยจะกลายเป็นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ซึ่งเป็นสมการที่กำหนดฟังก์ชันวงรีของ Jacobi โดยที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์การกระจายที่เหมาะสม^{[ 8 ]}${\displaystyle \varphi =\varphi (\xi )}$${\displaystyle \xi =p\cdot x}$${\displaystyle p}$

• ทฤษฎีสนามสเกลาร์
• เสาแลนเดา
• การปรับค่าปกติ
• กลไกฮิกส์
• โบซอนโกลด์สโตน
• ศักยภาพของโคลแมน–ไวน์เบิร์ก

• 't Hooft, G. , "พื้นฐานเชิงแนวคิดของทฤษฎีสนามควอนตัม" ( ฉบับออนไลน์ )