เมทริกซ์ควอเทอร์เนียนคือเมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบเป็นควอเทอร์เนียน

ควอเทอร์เนียนก่อให้เกิดวงแหวนที่ไม่สลับที่กัน ดังนั้นการบวกและการคูณ จึง สามารถนิยามได้สำหรับเมทริกซ์ควอเทอร์เนียน เช่นเดียวกับเมทริกซ์บนวงแหวนใดๆ

การบวก ผลรวมของเมทริกซ์ควอเทอร์เนียนสองเมทริกซ์AและBถูกกำหนดในลักษณะปกติโดยการบวกแบบทีละองค์ประกอบ:

${\displaystyle (A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}.\,}$

การคูณผลคูณของเมทริกซ์ควอเทอร์เนียนสองเมทริกซ์AและBก็เป็นไปตามนิยามปกติของการคูณเมทริกซ์เช่นกัน เพื่อให้สามารถคูณได้ จำนวนคอลัมน์ของAต้องเท่ากับจำนวนแถวของBดังนั้น ค่าใน แถวที่ iและ คอลัมน์ที่ jของผลคูณจะเป็นผลคูณดอทของ แถวที่ iของเมทริกซ์แรกกับ คอลัมน์ที่ jของเมทริกซ์ที่สอง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง:

${\displaystyle (AB)_{ij}=\sum _{s}A_{is}B_{sj}.\,}$

ตัวอย่างเช่น สำหรับ

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}\\u_{21}&u_{22}\\\end{pmatrix}},\quad V={\begin{pmatrix}v_{11}&v_{12}\\v_{21}&v_{22}\\\end{pmatrix}},}$

ผลิตภัณฑ์คือ

${\displaystyle UV={\begin{pmatrix}u_{11}v_{11}+u_{12}v_{21}&u_{11}v_{12}+u_{12}v_{22} \\u_{21}v_{11}+u_{22}v_{21}&u_{21}v_{12}+u_{22}v_{22}\\\end{pmatrix}}.}$

เนื่องจากการคูณควอเทอร์เนียนไม่เป็นไปตามกฎการสลับที่ จึงต้องระมัดระวังในการรักษาลำดับของตัวประกอบเมื่อคำนวณผลคูณของเมทริกซ์

เอกลักษณ์ ของการคูณนี้คือเมทริกซ์แนวทแยง I = diag(1, 1, ... , 1) ตามที่คาดไว้ การคูณเป็นไปตามกฎการสลับที่และการกระจาย ตามปกติ ร่องรอยของเมทริกซ์ถูกกำหนดให้เป็นผลรวมขององค์ประกอบแนวทแยง แต่โดยทั่วไปแล้ว

${\displaystyle \operatorname {trace} (AB)\neq \operatorname {trace} (BA).}$

การคูณสเกลาร์ซ้ายและการคูณสเกลาร์ขวาถูกกำหนดโดย

${\displaystyle (cA)_{ij}=cA_{ij},\qquad (Ac)_{ij}=A_{ij}c.\,}$

อีกครั้ง เนื่องจากความคูณไม่ใช่สมบัติการสลับที่ จึงต้องระมัดระวังในลำดับของตัวประกอบ^{[ 1 ]}

ไม่มีวิธีตามธรรมชาติในการกำหนดดีเทอร์มิแนนต์สำหรับเมทริกซ์ควอเทอร์เนียน (สี่เหลี่ยมจัตุรัส) เพื่อให้ค่าของดีเทอร์มิแนนต์เป็นควอเทอร์เนียน^{[ 2 ]}อย่างไรก็ตาม สามารถกำหนดดีเทอร์มิแนนต์ที่มีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อนได้^{[ 3 ]}ควอเทอร์เนียนa + bi + cj + dkสามารถแสดงเป็นเมทริกซ์เชิงซ้อน 2×2 ได้

${\displaystyle {\begin{bmatrix}~~a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{bmatrix}}}.}$

นี่เป็นการกำหนดแผนที่ Ψ _mnจากเมทริกซ์ควอเทอร์เนียนขนาดm x n ไปยัง เมทริกซ์เชิงซ้อนขนาด2m x 2n โดย การแทนที่แต่ละองค์ประกอบในเมทริกซ์ควอเทอร์เนียนด้วยการแสดงผลเชิงซ้อนขนาด 2x2 จากนั้นดีเทอร์มิแนนต์ค่าเชิงซ้อนของเมทริกซ์ควอเทอร์เนียนจัตุรัส Aจะถูกกำหนดเป็น det(Ψ( A )) กฎทั่วไปหลายข้อสำหรับดีเทอร์มิแนนต์ยังคงใช้ได้ โดยเฉพาะ อย่างยิ่ง เมทริกซ์ ขนาดn x nจะผกผันได้ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นั้นไม่เป็นศูนย์

เนื่องจากไอโซมอร์ฟิซึมที่เป็นเมทริกซ์จริง เมทริกซ์ควอเทอร์เนียนจึงสามารถแสดงได้ในรูปของจำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ที่ประกอบขึ้นจากผลคูณเทนเซอร์ของพีชคณิตควอเทอร์เนียนที่เรียกว่าไฮเปอร์ควอเทอร์ เนียน${\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes 2}\simeq m(4,\mathbb {R} )}$${\displaystyle m(4,\mathbb {R} )}$${\displaystyle 4\times 4}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {H} ^{\otimes m}&=\mathbb {H} \otimes \mathbb {H} \otimes \cdots \otimes \mathbb {H} {\text{ }}(m{\text{ terms}})\\&=(i,j,k)\otimes (I,J,K)\otimes (l,m,n)\otimes \cdots \\\end{aligned}}}$

โดยที่, เป็นต้น เป็นระบบควอเทอร์เนียนที่สลับกันได้ , เป็นต้น^{[ 4 ] [ 5 ]}ตัวอย่างได้แก่: , . ${\displaystyle (i,j,k),(I,J,K),(l,m,n)}$${\displaystyle i=i\otimes 1,J=1\otimes j,iJ=(i\otimes 1)(1\otimes j)}$${\displaystyle M_{4\times 4}\mathbb {(H)} \simeq \mathbb {H} ^{\otimes 2}\otimes \mathbb {H} \simeq \mathbb {H} ^{\otimes 3}}$${\displaystyle M_{16\times 16}\mathbb {(H)} \simeq \mathbb {H} ^{\otimes 4}\otimes \mathbb {H} \simeq \mathbb {H} ^{\otimes 5}}$

ไฮเปอร์คอนจูเกชันถูกกำหนดโดย^{[ 4 ​​]}${\displaystyle (\mathbb {H} ^{\otimes m})^{*}=(\mathbb {H} _{c}^{\otimes m})=\mathbb {H} _{c}\otimes \mathbb {H} _{c}\otimes \cdots \otimes \mathbb {H} _{c}}$

โดยที่ คือการผันควอเทอร์เนียน ดังนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งคือการผันควอเทอร์เนียนแบบสลับตำแหน่งของเมทริกซ์ควอเทอร์เนียน ${\displaystyle \mathbb {H} _{c}}$${\displaystyle (iJ)^{*}=(-i)(-J)=iJ}$${\displaystyle (\mathbb {H} ^{\otimes 3})^{*}=[M_{4\times 4}\mathbb {(H)} ]_{c}^{T}}$${\displaystyle [A\mathbb {(H)} ]_{c}^{T}}$${\displaystyle A\mathbb {(H)} }$

กลุ่มซิมเพล็กติกเอกภาพคือ กลุ่มของเมทริกซ์ควอเทอร์เนียนเช่นนั้น^{[ 6 ]}${\displaystyle USp(n)}$${\displaystyle A\in M_{n\times n}\mathbb {(H)} }$${\displaystyle AA^{*}=A^{*}A=E_{n}}$

ไฮเปอร์ควอเทอร์เนียนเป็นพีชคณิตคลิฟฟอร์ด ที่มีตัวสร้างคูณตามด้วย( ตัวสร้าง) และ( ตัวสร้าง) หนึ่งมี^{[ 7 ]}ฐานของกำหนดโดย^{[ 4 ​​]}${\displaystyle Cl_{p,q}\mathbb {(R)} }$${\displaystyle n=p+q}$${\displaystyle e_{1},e_{2},...,e_{n}}$${\displaystyle e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}=0}$${\displaystyle (i\neq j)}$${\displaystyle e_{i}^{2}=+1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle e_{i}^{2}=-1}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbb {H} \simeq Cl_{0,2}\mathbb {(R)} ,\mathbb {H} ^{\otimes 3}\simeq Cl_{2,4}\mathbb {(R)} ,\mathbb {H} ^{\otimes 5}\simeq Cl_{4,6}\mathbb {(R)} }$${\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes 2}\simeq M_{4\times 4}\mathbb {(R)} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}&=j\otimes 1=j={\begin{bmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\\end{bmatrix}},e_{1}=k\otimes i=kI={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\\\end{bmatrix}},\\e_{2}&=k\otimes j=kJ={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}},e_{3}=k\otimes k=kK={\begin{bmatrix}0&0&0&-1\\0&0&-1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\\\end{bmatrix}}.\\\end{aligned}}}$

เมทริกซ์ควอเทอร์เนียนใช้ในกลศาสตร์ควอนตัม^{[ 8 ]} และในการจัดการปัญหาหลายวัตถุ^{[ 9 ]}