สัมประสิทธิ์ W ของ Racahได้รับการแนะนำโดยGiulio Racahในปี พ.ศ. 2485 ^{[ 1 ]}สัมประสิทธิ์เหล่านี้มีคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ในทางฟิสิกส์ สัมประสิทธิ์เหล่านี้ใช้ในการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับ คำอธิบาย เชิงกลศาสตร์ควอนตัมของโมเมนตัมเชิงมุมเช่น ในทฤษฎีอะตอม

สัมประสิทธิ์เหล่านี้ปรากฏขึ้นเมื่อมีแหล่งกำเนิดโมเมนตัมเชิงมุมสามแหล่งในปัญหา ตัวอย่างเช่น พิจารณาอะตอมที่มีอิเล็กตรอนหนึ่งตัวในออร์บิทัล sและอิเล็กตรอนหนึ่งตัวในออร์บิทัล pอิเล็กตรอนแต่ละตัวมี โมเมนตัมเชิงมุม สปินของอิเล็กตรอนและนอกจากนี้ ออร์บิทัล p ยังมีโมเมนตัมเชิงมุมของวงโคจร (ออร์บิทัล s มีโมเมนตัมเชิงมุมของวงโคจรเป็นศูนย์) อะตอมอาจถูกอธิบายโดย การเชื่อมต่อ แบบ LSหรือโดย การเชื่อมต่อแบบ jjดังที่อธิบายไว้ในบทความเกี่ยวกับการเชื่อมต่อโมเมนตัมเชิงมุมการแปลงระหว่างฟังก์ชันคลื่นที่สอดคล้องกับการเชื่อมต่อทั้งสองนี้เกี่ยวข้องกับสัมประสิทธิ์ Racah W

นอกเหนือจากตัวประกอบเฟสแล้ว สัมประสิทธิ์ W ของ Racah จะเท่ากับสัญลักษณ์ 6-j ของ Wigner ดังนั้นสมการใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับสัมประสิทธิ์ W ของ Racah สามารถเขียนใหม่ได้โดยใช้สัญลักษณ์ 6- j ซึ่งมักเป็นประโยชน์เพราะคุณสมบัติสมมาตรของสัญลักษณ์ 6- jนั้นจำได้ง่ายกว่า

สัมประสิทธิ์ Racah มีความสัมพันธ์กับสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อใหม่โดย

${\displaystyle W(j_{1}j_{2}Jj_{3};J_{12}J_{23})\equiv {\frac {\langle (j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})J|((j_{1}j_{2})J_{12},j_{3})J\rangle }{\sqrt {(2J_{12}+1)(2J_{23}+1)}}}.}$

สัมประสิทธิ์การจับคู่ใหม่เป็นองค์ประกอบของการแปลงเอกภาพและคำจำกัดความของสัมประสิทธิ์เหล่านี้จะกล่าวถึงในส่วนถัดไป สัมประสิทธิ์ Racah มีคุณสมบัติสมมาตรที่สะดวกกว่าสัมประสิทธิ์การจับคู่ใหม่ (แต่สะดวกน้อยกว่าสัญลักษณ์ 6- j ) ^{[ 2 ]}

การเชื่อมโยงของโมเมนตัมเชิงมุมสองค่า${\displaystyle \mathbf {j} _{1}}$และ${\displaystyle \mathbf {j} _{2}}$คือการสร้างฟังก์ชันเฉพาะพร้อมกันของ${\displaystyle \mathbf {J} ^{2}}$และ${\displaystyle J_{z}}$, ที่ไหน${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {j} _{1}+\mathbf {j} _{2}}$ตามที่อธิบายไว้ในบทความเกี่ยวกับสัมประสิทธิ์ของ Clebsch–Gordanผลลัพธ์คือ

${\displaystyle |(j_{1}j_{2})JM\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle ,}$

ที่ไหน${\displaystyle J=|j_{1}-j_{2}|,\ldots ,j_{1}+j_{2}}$และ${\displaystyle M=-J,\ldots ,J}$.

การเชื่อมโยงของโมเมนตัมเชิงมุมทั้งสาม${\displaystyle \mathbf {j} _{1}}$,${\displaystyle \mathbf {j} _{2}}$, และ${\displaystyle \mathbf {j} _{3}}$อาจทำได้โดยการเชื่อมต่อก่อน${\displaystyle \mathbf {j} _{1}}$และ${\displaystyle \mathbf {j} _{2}}$ถึง${\displaystyle \mathbf {J} _{12}}$และการเชื่อมต่อครั้งต่อไป${\displaystyle \mathbf {J} _{12}}$และ${\displaystyle \mathbf {j} _{3}}$ต่อโมเมนตัมเชิงมุมรวม${\displaystyle \mathbf {J} }$:

${\displaystyle |((j_{1}j_{2})J_{12}j_{3})JM\rangle =\sum _{M_{12}=-J_{12}}^{J_{12}}\sum _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}|(j_{1}j_{2})J_{12}M_{12}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle \langle J_{12}M_{12}j_{3}m_{3}|JM\rangle }$

อีกทางเลือกหนึ่งคือ อาจจะเริ่มต้นด้วยการจับคู่กันก่อน${\displaystyle \mathbf {j} _{2}}$และ${\displaystyle \mathbf {j} _{3}}$ถึง${\displaystyle \mathbf {J} _{23}}$และคู่ถัดไป${\displaystyle \mathbf {j} _{1}}$และ${\displaystyle \mathbf {J} _{23}}$ถึง${\displaystyle \mathbf {J} }$:

${\displaystyle |(j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})JM\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{M_{23}=-J_{23}}^{J_{23}}|j_{1}m_{1}\rangle |(j_{2}j_{3})J_{23}M_{23}\rangle \langle j_{1}m_{1}J_{23}M_{23}|JM\rangle }$

รูปแบบการเชื่อมต่อทั้งสองแบบส่งผลให้ได้ฐานตั้งฉากสมบูรณ์สำหรับ${\displaystyle (2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{3}+1)}$พื้นที่มิติที่ครอบคลุมโดย

${\displaystyle |j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle ,\;\;m_{1}=-j_{1},\ldots ,j_{1};\;\;m_{2}=-j_{2},\ldots ,j_{2};\;\;m_{3}=-j_{3},\ldots ,j_{3}.}$

ดังนั้น ฐานโมเมนตัมเชิงมุมรวมทั้งสองจึงมีความสัมพันธ์กันโดยการแปลงแบบเอกภาพ เมทริกซ์องค์ประกอบของการแปลงแบบเอกภาพนี้ได้มาจากผลคูณสเกลาร์และเรียกว่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อใหม่ สัมประสิทธิ์เหล่านี้เป็นอิสระจาก${\displaystyle M}$และด้วยเหตุนี้เราจึงมี

${\displaystyle |((j_{1}j_{2})J_{12}j_{3})JM\rangle =\sum _{J_{23}}|(j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})JM\rangle \langle (j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})J|((j_{1}j_{2})J_{12}j_{3})J\rangle .}$

ความเป็นอิสระของ${\displaystyle M}$สามารถเขียนสมการนี้ได้อย่างง่ายดายสำหรับ${\displaystyle M=J}$และใช้ตัวดำเนินการลดระดับ${\displaystyle J_{-}}$ทั้งสองข้างของสมการ นิยามของสัมประสิทธิ์ Racah W ช่วยให้เราเขียนนิพจน์สุดท้ายนี้ได้ดังนี้

${\displaystyle |((j_{1}j_{2})J_{12}j_{3})JM\rangle =\sum _{J_{23}}|(j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})JM\rangle W(j_{1}j_{2}Jj_{3};J_{12}J_{23}){\sqrt {(2J_{12}+1)(2J_{23}+1)}}.}$

อนุญาต

${\displaystyle \Delta (a,b,c)=[(a+b-c)!(a-b+c)!(-a+b+c)!/(a+b+c+1)!]^{1/2}}$

ถ้าตัวประกอบสามเหลี่ยมปกติเป็นตัวประกอบหลัก ค่าสัมประสิทธิ์ของรากาห์จะเป็นผลคูณของตัวประกอบเหล่านี้สี่ตัวกับผลรวมของแฟกทอเรียล

${\displaystyle W(abcd;ef)=\Delta (a,b,e)\Delta (c,d,e)\Delta (a,c,f)\Delta (b,d,f)w(abcd;ef)}$

ที่ไหน

${\displaystyle w(abcd;ef)\equiv \sum _{z}{\frac {(-1)^{z+\beta _{1}}(z+1)!}{(z-\alpha _{1})!(z-\alpha _{2})!(z-\alpha _{3})!(z-\alpha _{4})!(\beta _{1}-z)!(\beta _{2}-z)!(\beta _{3}-z)!}}}$

และ

${\displaystyle \alpha _{1}=a+b+e;\quad \beta _{1}=a+b+c+d;}$

${\displaystyle \alpha _{2}=c+d+e;\quad \beta _{2}=a+d+e+f;}$

${\displaystyle \alpha _{3}=a+c+f;\quad \beta _{3}=b+c+e+f;}$

${\displaystyle \alpha _{4}=b+d+f.}$

ผลรวมมากกว่า${\displaystyle z}$มีค่าจำกัดในช่วง^{[ 3 ]}

${\displaystyle \max(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4})\leq z\leq \min(\beta _{1},\beta _{2},\beta _{3}).}$

สัมประสิทธิ์ W ของ Racah เกี่ยวข้องกับสัญลักษณ์ 6-j ของ Wigner ซึ่งมีคุณสมบัติสมมาตรที่สะดวกยิ่งกว่า

${\displaystyle W(abcd;ef)(-1)^{a+b+c+d}={\begin{Bmatrix}a&b&e\\d&c&f\end{Bmatrix}}.}$

ดู^{[ 4 ]}หรือ

${\displaystyle W(j_{1}j_{2}Jj_{3};J_{12}J_{23})=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}+J}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&J_{12}\\j_{3}&J&J_{23}\end{Bmatrix}}.}$

• สัมประสิทธิ์เคล็บช์-กอร์แดน
• สัญลักษณ์ 3-j
• สัญลักษณ์ 6-j
• ทฤษฎีบทปันดยา

• Edmonds, AR (1957). โมเมนตัมเชิงมุมในกลศาสตร์ควอนตัม . พรินซ์ตัน, นิวเจอร์ซีย์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน . ISBN 0-691-07912-9.{{cite book}}: ความไม่เข้ากันของหมายเลข ISBN / วันที่ ( ขอความช่วยเหลือ )
• คอนดอน, เอ็ดเวิร์ด ยู.; ชอร์ตลีย์, จีเอช. (1970). "บทที่ 3" . ทฤษฎีสเปกตรัมอะตอม . เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 0-521-09209-4.
• เมสสิยาห์, อัลเบิร์ต (1981). กลศาสตร์ควอนตัม (เล่ม 2) (  ฉบับที่ 12). นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์นอร์ทฮอลแลนด์ . ISBN 0-7204-0045-7.
• Sato, Masachiyo (1955). "สูตรทั่วไปของสัมประสิทธิ์ Racah" . ความก้าวหน้าของฟิสิกส์เชิงทฤษฎี . 13 (4): 405– 414. Bibcode : 1955PThPh..13..405S . doi : 10.1143/PTP.13.405 .
• Brink, DM; Satchler, GR (1993). " บทที่ 2" โมเมนตัมเชิงมุม (  ฉบับที่ 3). อ็อกซ์ฟอร์ด: สำนักพิมพ์แคลเรน ดอน ISBN 0-19-851759-9.
• Zare, Richard N. (1988). "บทที่ 2" โมเมนตัมเชิงมุม . นิวยอร์ก: John Wiley . ISBN 0-471-85892-7.
• Biedenharn, LC; Louck, JD (1981). โมเมนตัมเชิงมุมในฟิสิกส์ควอนตัม . เรดดิง, แมสซาชูเซตส์: Addison-Wesley . ISBN 0-201-13507-8.

• "สัมประสิทธิ์ Racah-Wigner" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]