ในทฤษฎีจำนวนรากที่สองของจำนวนเต็มบวกnถูกนิยามว่าเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ ที่หาร nลงตัว โดยที่ตัวประกอบเฉพาะแต่ละตัวของnจะปรากฏเพียงครั้งเดียวในผลคูณนี้:

$${\displaystyle \displaystyle \mathrm {rad} (n)=\prod _{\scriptstyle p\mid n \atop p{\text{ prime}}}p}$$

รากที่สองมีบทบาทสำคัญในการกล่าวถึงสมมติฐาน abc ^{[ 1 ]}

รากที่สองของจำนวนเต็มบวกไม่กี่จำนวนแรก ได้แก่

1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, 2, 17, 6, 19, 10, 21, 22, 23, 6, 5, 26, 3, 14, 29, 30, 31, 2, 33, 34, 35, 6, 37, 38, 39, 10, 41, 42, 43, 22, 15, 46, 47, 6, 7, 10, ... (ลำดับA007947ในOEIS )

ตัวอย่างเช่น, $${\displaystyle 504=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7}$$

และด้วยเหตุนี้ $${\displaystyle \operatorname {rad} (504)=2\cdot 3\cdot 7=42}$$

ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันการคูณ (แต่ไม่ใช่ฟังก์ชันการคูณโดยสมบูรณ์ ) ${\displaystyle \mathrm {rad} }$

รากของจำนวนเต็มใดๆคือ ตัวหาร ที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสอง ที่ใหญ่ที่สุด ของและเรียกอีกอย่างว่าเคอร์เนลที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสองของ[ ^{2 ] ไม่มี}อัลกอริทึมแบบพหุนามที่รู้จักสำหรับการคำนวณส่วนที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสองของจำนวนเต็ม^{[ 3 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

นิยามนี้ได้รับการขยายความไปยังตัวหารอิสระที่ใหญ่ที่สุดของ, , ซึ่งเป็นฟังก์ชันการคูณที่กระทำกับกำลังของจำนวนเฉพาะดังนี้ ${\displaystyle t}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathrm {rad} _{t}}$

$${\displaystyle \mathrm {rad} _{t}(p^{e})=p^{\mathrm {min} (e,t-1)}}$$

กรณีต่างๆได้ รับการบันทึก ไว้ ในOEIS :  A007948และOEIS :  A058035${\displaystyle t=3}$${\displaystyle t=4}$

แนวคิดของรากปรากฏในการคาดการณ์ abcซึ่งระบุว่า สำหรับใดๆ จะมีค่าจำกัดอยู่เช่นนั้น สำหรับสามจำนวนเต็มบวกที่ไม่มีตัวหารร่วมกัน , , และที่สอดคล้องกับ^{[ 1 ]}${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle K_{\varepsilon }}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a+b=c}$

$${\displaystyle c<K_{\varepsilon }\,\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }}$$

สำหรับจำนวนเต็มใดๆสมาชิกนิลโพเทนต์ของวงแหวนจำกัดคือพหุคูณทั้งหมดของ ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {rad} (n)}$

อนุกรมดิริชเลต์คือ

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {p^{1-s}}{1-p^{-s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {rad} (n)}{n^{s}}}}$

สัญลักษณ์สำหรับฟังก์ชันน่าจะได้รับการแนะนำโดยJoseph Oesterléในเอกสารฉบับเดียวกันกับที่เผยแพร่ข้อสันนิษฐาน abc ^{[ 4 ]}ชื่อนี้เกี่ยวข้องกับรากของไอเดียลเนื่องจากรากของในวงแหวนของจำนวนเต็มคือ ${\displaystyle I=\langle p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}\rangle }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle {\sqrt {I}}=\langle p_{1}\cdots p_{k}\rangle }$