ในทางเรขาคณิตการแตกแขนงหมายถึง 'การแตกกิ่งก้านสาขา' ในทำนองเดียวกับที่ ฟังก์ชัน รากที่สองของจำนวนเชิงซ้อนสามารถมองเห็นได้ว่ามีสองกิ่งก้านสาขาที่มีเครื่องหมายต่างกัน คำนี้ยังใช้ในมุมมองตรงกันข้าม (กิ่งก้านสาขามาบรรจบกัน) เช่น เมื่อแผนที่ปกคลุมเสื่อมสภาพลง ณ จุดหนึ่งในปริภูมิ โดยมีเส้นใยของแผนที่บางส่วนยุบตัวลง

การแตกแขนงออกเป็นหัวข้อหลักของการศึกษาในทฤษฎีการแตกแขนงออก

ในการวิเคราะห์เชิงซ้อน แบบจำลองพื้นฐานสามารถถือได้ว่าเป็นแผนที่z  →  z ⁿในระนาบเชิงซ้อน ใกล้  z  = 0 นี่คือภาพเฉพาะที่มาตรฐานใน ทฤษฎี พื้นผิวรีมันน์ของการแตกแขนงลำดับ  nตัวอย่างเช่น ปรากฏในสูตรรีมันน์-ฮูร์วิตซ์สำหรับ ผลกระทบของแผนที่ต่อจีนัส

ในแผนที่แบบครอบคลุมค่าลักษณะเฉพาะของออยเลอร์-ปวงกาเรควรคูณด้วยจำนวนแผ่น ดังนั้นจึงสามารถตรวจจับการแตกแขนงได้โดยการละทิ้งบางส่วนจากนั้น การแมป z →  z ⁿแสดงให้เห็นสิ่งนี้เป็นรูปแบบเฉพาะที่: ถ้าเราไม่รวม 0 โดยพิจารณาที่ 0 < | z | < 1 เราจะได้ (จากมุมมอง ของ โฮโมโทปี ) วงกลมที่ถูกแมปไปยังตัวมันเองโดย การแมปกำลังที่ n (ค่าลักษณะเฉพาะของออยเลอร์-ปวงกาเรเท่ากับ 0) แต่สำหรับดิสก์ ทั้งหมด ค่าลักษณะเฉพาะของออยเลอร์-ปวงกาเรเท่ากับ 1 โดยที่n  − 1 คือจุดที่ 'หายไป' เมื่อ แผ่นทั้ง nแผ่นมาบรรจบกันที่  z  = 0

ในทางเรขาคณิต การแตกแขนงเป็นสิ่งที่เกิดขึ้นในมิติร่วมสอง (เช่นทฤษฎีปมและโมโนโดรมี ) เนื่องจาก มิติร่วม จริงสองคือมิติร่วมเชิงซ้อนหนึ่ง ตัวอย่างเชิงซ้อนเฉพาะที่จึงเป็นแบบแผนสำหรับแมนิโฟลด์เชิงซ้อนที่มีมิติสูงกว่า ในการวิเคราะห์เชิงซ้อน แผ่นไม่สามารถพับทับกันตามเส้นตรง (ตัวแปรเดียว) หรือปริภูมิย่อยมิติร่วมหนึ่งในกรณีทั่วไปได้ เซตของการแตกแขนง (ตำแหน่งกิ่งบนฐาน เซตจุดคู่ด้านบน) จะมีมิติจริงต่ำกว่าแมนิโฟลด์ โดยรอบสองมิติ ดังนั้นจึงจะไม่แยกมันออกเป็นสอง 'ด้าน' ในระดับท้องถิ่น จะมีเส้นทางที่ลากผ่านตำแหน่งกิ่งเช่นเดียวกับในตัวอย่าง ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเหนือฟิลด์ ใดๆ โดยการเปรียบเทียบ มันก็เกิดขึ้นในมิติร่วมเชิงพีชคณิตหนึ่งเช่นกัน

การแตกแขนงในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตหมายถึงการแยกตัวประกอบของอุดมคติเฉพาะในส่วนขยาย เพื่อให้ได้ตัวประกอบอุดมคติเฉพาะที่ซ้ำกัน กล่าวคือ ให้เป็นวงแหวนของจำนวนเต็มของฟิลด์จำนวนเชิงพีชคณิตและเป็นอุดมคติเฉพาะของสำหรับส่วนขยายฟิลด์เราสามารถพิจารณาวงแหวนของจำนวนเต็ม(ซึ่งเป็นการปิดเชิงอินทิกรัลของใน) และอุดมคติของอุดมคตินี้อาจเป็นหรือไม่เป็นอุดมคติเฉพาะก็ได้ แต่สำหรับ ที่มีค่าจำกัด อุดมคตินี้สามารถแยกตัวประกอบเป็นอุดมคติเฉพาะได้: ${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}__{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}__{K}}$${\displaystyle L/K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}__{K}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}{\mathcal {O}__{L}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle [L:K]}$

${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cdot {\mathcal {O}}_{L}={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{e_{k}}}$

โดยที่เป็นอุดมคติเฉพาะที่แตกต่างกันของแล้วจะกล่าวได้ว่ามีการแตกแขนงในถ้าสำหรับบางค่ามิฉะนั้นจะเป็น${\displaystyle {\mathfrak {p}__{i}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle e_{i}>1}$${\displaystyle i}$ไม่แตกแขนงกล่าวอีกนัยหนึ่งคือแตกแขนงก็ต่อเมื่อดัชนีการแตกแขนงมากกว่าหนึ่งสำหรับบางค่าเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันคือนิลโพเทนต์ที่ไม่เป็นศูนย์: มันไม่ใช่ผลคูณของฟิลด์จำกัดความคล้ายคลึงกับกรณีพื้นผิวรีมันน์นั้นถูกชี้ให้เห็นแล้วโดยริชาร์ด เดเดคินด์และไฮน์ริช เอ็ม. เวเบอร์ในศตวรรษที่สิบเก้า ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}__{i}}$${\displaystyle {\mathcal {O}__{L}/{\mathfrak {p}}{\mathcal {O}__{L}}$

การแตกแขนงถูกเข้ารหัสโดยตัวแยกแยะสัมพัทธ์และโดยความแตกต่างสัมพัทธ์แบบแรกเป็นอุดมคติของและหารลงตัวด้วยก็ต่อเมื่ออุดมคติบางอย่างของ การหารมีการ แตกแขนงแบบหลังเป็นอุดมคติของและหารลงตัวด้วยอุดมคติเฉพาะของก็ต่อเมื่อมีการแตกแขนง ${\displaystyle K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}__{K}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}__{i}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}__{i}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}__{i}}$

การแตกแขนงจะสงบเมื่อดัชนีการแตกแขนงทั้งหมดเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับลักษณะเฉพาะของเศษเหลือpของมิฉะนั้นจะรุนแรงเงื่อนไขนี้มีความสำคัญใน ทฤษฎี โมดูลกาโลอิสส่วนขยายแบบเอทาลทั่วไปที่มีจำนวนจำกัดของโดเมนเดเดคินด์จะสงบก็ต่อเมื่อร่องรอยเป็นการส่งแบบทั่วถึง ${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle B/A}$${\displaystyle \operatorname {Tr} :B\to A}$

การวิเคราะห์การแตกแขนงในฟิลด์จำนวนอย่างละเอียดมากขึ้น สามารถทำได้โดยใช้ส่วนขยายของจำนวน p-adicเนื่องจากเป็น คำถาม เฉพาะที่ในกรณีนั้น จะมีการกำหนดมาตรวัดเชิงปริมาณของการแตกแขนงสำหรับส่วนขยายของกาโลอิส โดยพื้นฐานแล้วโดยการถามว่า กลุ่มกาโลอิส เคลื่อนย้ายองค์ประกอบของฟิลด์ ไปไกลแค่ไหนเมื่อเทียบกับเมตริก ลำดับของกลุ่มการแตกแขนง จะถูกกำหนดขึ้น ซึ่งทำให้การแตกแขนง แบบป่าเถื่อน (ที่ไม่ถูกควบคุม) เป็นรูปธรรม (ในบรรดาสิ่งอื่นๆ) ซึ่งเหนือกว่าการเปรียบเทียบทางเรขาคณิต

ในทฤษฎีการประเมินค่าทฤษฎีการแตกแขนงของการประเมินค่าศึกษาเซตของการขยายการประเมินค่าของฟิลด์Kไปยังฟิลด์ส่วนขยายของKซึ่งเป็นการขยายแนวคิดในทฤษฎีจำนวนพีชคณิต ฟิลด์เฉพาะที่ และโดเมนเดเดคินด์

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ก็มีแนวคิดที่สอดคล้องกันเกี่ยวกับมอร์ฟิซึมที่ไม่แตกแขนง เช่นกัน ซึ่งใช้ในการกำหนดมอร์ฟิซึมแบบเอทาล

ให้เป็นมอร์ฟิซึมของสกีม ส่วนรองรับของชีฟกึ่งสอดคล้องกันเรียกว่าโลคัสการแตกแขนงของและภาพของโลคัสการแตกแขนงเรียกว่าโลคัสสาขาของถ้าเรากล่าวว่าไม่มีการแตกแขนงอย่างเป็นทางการและถ้ามีการนำเสนอแบบจำกัดเฉพาะที่ด้วย เราจะกล่าวว่าไม่มีการแตกแขนง (ดูVakil 2017 ) ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\left(\operatorname {Supp} \Omega _{X/Y}\right)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \โอเมก้า _{X/Y}=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

• พหุนามไอเซนสไตน์
• รูปหลายเหลี่ยมนิวตัน
• การขยายตัวของ Puiseux
• ปกคลุมแบบแตกแขนง

ค้นหาคำว่า ramification (mathematics)ใน Wiktionary ซึ่งเป็นพจนานุกรมออนไลน์ฟรี

• "การแยกและการแตกแขนงในฟิลด์จำนวนและส่วนขยายกาโลอิส" PlanetMath