r คือ การแจกแจงความน่าจะเป็นของส่วนประกอบแบบสุ่มที่ส่งผลต่อความไม่แน่นอน เครื่องมือวัดหรือกระบวนการวัดใดๆ ก็ตามย่อมได้รับผลกระทบจาก ข้อ ผิดพลาดแบบสุ่มเนื่องจากสัญญาณรบกวนภายในหรือผลกระทบอื่นๆ

สิ่งนี้เป็นแบบสุ่มโดยสมบูรณ์และเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบปกติเมื่อมีการรวมการมีส่วนร่วมแบบสุ่มหลายรายการตามทฤษฎีบทขีดจำกัดกลาง^{[ 12 ]}

อย่างไรก็ตาม อาจมีการมีส่วนร่วมแบบสุ่มจากรูปแบบการแจกแจงความน่าจะเป็นอื่นๆ ด้วย เช่นการแจกแจงแบบเอกรูปการแจกแจงแบบแกมมาและอื่นๆ

สามารถสร้างแบบจำลองการแจกแจงความน่าจะเป็นได้จากข้อมูลการวัด จากนั้นสามารถใช้การแจกแจงความน่าจะเป็นเพื่อสร้างแบบจำลองการแจกแจงความเป็นไปได้ที่เทียบเท่ากันโดยใช้การแปลงความน่าจะเป็น-ความเป็นไปได้ที่เฉพาะเจาะจงสูงสุด^{[ 13 ]}

สามารถดูตัวอย่างการแจกแจงความน่าจะเป็นทั่วไปและการแจกแจงความเป็นไปได้ที่สอดคล้องกันได้จากรูปภาพ

r คือการกระจายภายในใน RFV ซึ่งเป็นการกระจายความเป็นไปได้ของการมีส่วนร่วมอย่างเป็นระบบต่อความไม่แน่นอนทั้งหมด การกระจายนี้สามารถสร้างขึ้นได้จากข้อมูลที่มีอยู่เกี่ยวกับเครื่องมือวัดและกระบวนการ

การแจกแจงที่เป็นไปได้ที่ใหญ่ที่สุดคือการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบสม่ำเสมอหรือแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งหมายความว่าค่าทุกค่าในช่วงที่กำหนดมีความเป็นไปได้เท่ากัน อันที่จริงแล้วสิ่งนี้แสดงถึงสถานะของความไม่รู้โดยสิ้นเชิงตามทฤษฎีหลักฐาน^{[ 14 ]}ซึ่งหมายความว่ามันแสดงถึงสถานการณ์ที่มีการขาดข้อมูลสูงสุด

การแจกแจงนี้ใช้สำหรับความคลาดเคลื่อนที่เป็นระบบ เมื่อเราไม่ทราบข้อมูลใดๆ เกี่ยวกับความคลาดเคลื่อนที่เป็นระบบเลย นอกเหนือจากที่ทราบว่ามันอยู่ในช่วงค่าใดช่วงหนึ่ง ซึ่งเป็นกรณีที่พบได้บ่อยในการวัด

อย่างไรก็ตาม ในบางกรณี อาจทราบได้ว่าค่านิยมบางค่ามีระดับความเชื่อมั่นสูงหรือต่ำกว่าค่านิยมอื่นๆ ในกรณีเช่นนี้ สามารถสร้างการแจกแจงความน่าจะเป็นที่เหมาะสมได้ โดยขึ้นอยู่กับระดับความเชื่อมั่นของค่านิยมเหล่านั้น

หลังจากสร้างแบบจำลองการกระจายความน่าจะเป็นแบบสุ่มและภายในแล้ว ฟังก์ชันสมาชิกภายนอกr ของ RFV สามารถสร้างได้โดยใช้สมการต่อไปนี้: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle r_{\textit {external}}(x)=\sup _{x^{\prime }}T_{min}[r_{\textit {random}}(xx^{\prime }+x^{*}),r_{\textit {internal}}(x^{\prime })]}$

ที่ไหน${\displaystyle x^{*}}$เป็นโหมดของ${\displaystyle r_{\textit {สุ่ม}}}$ซึ่งเป็นจุดสูงสุดในฟังก์ชันสมาชิกภาพของ${\displaystyle r_{random}}$และT คือบรรทัดฐานสามเหลี่ยม ขั้น ต่ำ^{[ 16 ]}

RFV สามารถสร้างขึ้นจาก1การแจกแจงภายในและการแจกแจงแบบสุ่มได้เช่นกัน โดยพิจารณาจากα -cut ของการแจกแจงความน่าจะเป็น (PD) ทั้งสองแบบ

α - cut ของตัวแปรฟัซซี่ F สามารถกำหนดได้ดังนี้^{[ 17 ] [ 18 ]}

${\displaystyle F_{\alpha }=\{a\,\vert \,\mu _{\rm {F}}(a)\geq \alpha \}\qquad {\textit {โดยที่}}\qquad 0\leq \alpha \leq 1}$

ดังนั้น โดยพื้นฐานแล้วα -cut คือเซตของค่าที่ทำให้ค่าของฟังก์ชันสมาชิกภาพเป็นไปตามเงื่อนไข${\displaystyle \mu _{\rm {F}}(a)}$ค่าของตัวแปรฟัซซีมีค่ามากกว่าαซึ่งจะให้ขอบเขตบนและล่างของตัวแปรฟัซซี F สำหรับแต่ละα -cut

อย่างไรก็ตาม α - cut ของ RFV มีขอบเขตเฉพาะ 4 ประการ และกำหนดโดย${\displaystyle RFV^{\alpha }=[X_{a}^{\alpha },X_{b}^{\alpha },X_{c}^{\alpha },X_{d}^{\alpha }]}$[ ^{11 ]​}${\displaystyle X_{a}^{\alpha }}$และ${\displaystyle X_{d}^{\alpha }}$โดยที่ และ คือขอบเขตล่างและขอบเขตบนตามลำดับของฟังก์ชันสมาชิกภาพภายนอก ( r ) ซึ่งเป็นตัวแปรคลุมเครือในตัวมันเอง${\displaystyle X_{b}^{\alpha }}$และ${\displaystyle X_{c}^{\alpha }}$โดยที่ และ คือขอบเขตล่างและขอบเขตบนตามลำดับของฟังก์ชันสมาชิกภาพภายใน ( r ) ซึ่งเป็นตัวแปรคลุมเครือในตัวมันเอง

ในการสร้าง RFV ให้เราพิจารณาα -cut ของ PD สองตัว คือr และr สำหรับค่าα เดียวกัน ซึ่งจะให้ขอบเขตล่างและขอบเขตบนสำหรับα -cut ทั้งสอง ให้พวกมันเป็น${\displaystyle [X_{LR}^{\alpha },X_{UR}^{\alpha }]}$และ${\displaystyle [X_{LI}^{\อัลฟา },X_{UI}^{\อัลฟา }]}$สำหรับการแจกแจงแบบสุ่มและการแจกแจงภายในตามลำดับ${\displaystyle [X_{LR}^{\alpha },X_{UR}^{\alpha }]}$สามารถแบ่งออกเป็นสองช่วงย่อยได้อีกครั้ง${\displaystyle [X_{LR}^{\alpha },x^{*}]}$และ${\displaystyle [x^{*},X_{UR}^{\alpha }]}$ที่ไหน${\displaystyle x^{*}}$คือโหมดของตัวแปรฟัซซี จากนั้นα -cut สำหรับ RFV สำหรับค่าα เดียวกัน${\displaystyle RFV^{\alpha }=[X_{a}^{\alpha },X_{b}^{\alpha },X_{c}^{\alpha },X_{d}^{\alpha }]}$สามารถกำหนดได้โดย^{[ 11 ]}

${\displaystyle X_{a}^{\alpha }=X_{LI}^{\alpha }-(x^{*}-X_{LR}^{\alpha })}$

${\displaystyle X_{b}^{\alpha }=X_{LI}^{\alpha }}$

${\displaystyle X_{c}^{\alpha }=X_{UI}^{\alpha }}$

${\displaystyle X_{d}^{\alpha }=X_{UI}^{\alpha }-(X_{UR}^{\alpha }-x^{*})}$

โดยใช้สมการข้างต้นเราจะคำนวณ ค่า α -cut สำหรับทุกค่าของ αซึ่งจะทำให้เราได้กราฟ RFV สุดท้าย

ตัวแปรสุ่มแบบฟัซซี่สามารถให้ภาพรวมที่สมบูรณ์ของการมีส่วนร่วมแบบสุ่มและเป็นระบบต่อความไม่แน่นอนทั้งหมดจาก^การ ตัด αสำหรับระดับความเชื่อมั่นใดๆ เนื่องจากระดับความเชื่อมั่นคือ1-α ^{[ 17} ] ^{[ 18 ]}

ตัวอย่างการสร้างฟังก์ชันสมาชิกภายนอกที่สอดคล้องกัน ( r ) และ RFV จาก PD แบบสุ่มและ PD ภายใน สามารถดูได้ในรูปต่อไปนี้