ในฟิสิกส์และคณิตศาสตร์สนามสุ่มคือฟังก์ชันสุ่มบนโดเมนที่กำหนด (โดยปกติจะเป็นปริภูมิหลายมิติ เช่น) กล่าวคือ เป็นฟังก์ชันที่รับค่าสุ่มที่แต่ละจุด(หรือโดเมนอื่น ๆ) บางครั้งก็ถือว่าเป็นคำพ้องความหมายของกระบวนการสุ่มที่มีข้อจำกัดบางอย่างเกี่ยวกับเซตดัชนี กล่าวคือ ตามคำจำกัดความสมัยใหม่ สนามสุ่มเป็นการวางนัยทั่วไปของกระบวนการสุ่มโดยที่พารามิเตอร์พื้นฐานไม่จำเป็นต้องเป็น "เวลา" ที่มีค่าเป็น จำนวนจริงหรือจำนวนเต็ม อีกต่อไป แต่สามารถรับค่าที่เป็นเวกเตอร์ หลายมิติ หรือจุดบนแมนิโฟลด์บาง อย่างได้ ^{[ 1 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

เมื่อกำหนดปริภูมิความน่าจะเป็นแล้ว ฟิลด์ สุ่มที่มีค่าเป็น Xคือชุดของตัวแปรสุ่มที่มีค่าเป็นXซึ่งถูกจัดทำดัชนีโดยองค์ประกอบในปริภูมิเชิงทอพอโลยีTกล่าวคือ ฟิลด์สุ่มFคือชุดของ ตัวแปรสุ่มที่มีค่าเป็น X${\displaystyle (\โอเมก้า ,{\คณิตศาสตร์ {F}},P)}$

${\displaystyle \{F_{t}:t\in T\}}$

โดยที่แต่ละตัวแปรสุ่มที่มีค่า เป็นX${\displaystyle F_{t}}$

ในรูปแบบไม่ต่อเนื่อง ฟิลด์สุ่มคือรายการของตัวเลขสุ่มที่มีดัชนีระบุด้วยชุดจุดที่ไม่ต่อเนื่องในปริภูมิ (ตัวอย่างเช่นปริภูมิยูคลิดn มิติ)สมมติว่ามีตัวแปรสุ่มสี่ตัว คือ, , , และซึ่งอยู่ในตาราง 2 มิติที่ตำแหน่ง (0,0), (0,2), (2,2) และ (2,0) ตามลำดับ สมมติว่าตัวแปรสุ่มแต่ละตัวสามารถมีค่าเป็น −1 หรือ 1 ได้ และความน่าจะเป็นของค่าของตัวแปรสุ่มแต่ละตัวขึ้นอยู่กับจุดข้างเคียงทันที นี่คือตัวอย่างง่ายๆ ของฟิลด์สุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle X_{3}}$${\displaystyle X_{4}}$

โดยทั่วไปแล้ว ค่าที่แต่ละค่าสามารถรับได้อาจถูกกำหนดไว้ในโดเมนต่อเนื่อง ในกริดขนาดใหญ่ การคิดถึงสนามสุ่มว่าเป็นตัวแปรสุ่มที่มีค่าเป็นฟังก์ชันดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้นก็อาจเป็นประโยชน์เช่นกัน ในทฤษฎีสนามควอนตัมแนวคิดนี้ได้รับการขยายไปสู่ฟังก์ชัน สุ่ม ซึ่งรับค่าสุ่มในปริภูมิของฟังก์ชัน ${\displaystyle X_{i}}$

มีฟิลด์สุ่มหลายประเภท ได้แก่ฟิลด์สุ่มมาร์คอฟ (MRF), ฟิลด์สุ่มกิบส์ , ฟิลด์สุ่มแบบมีเงื่อนไข (CRF) และฟิลด์สุ่มเกาส์เซียนในปี 1974 จูเลียน เบซากได้เสนอวิธีการประมาณค่าโดยอาศัยความสัมพันธ์ระหว่าง MRF และฟิลด์สุ่มกิบส์

MRF แสดงคุณสมบัติของมาร์คอฟ

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},i\neq j)=P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},j\in \partial _{i}),\,}$

สำหรับแต่ละตัวเลือกของค่าโดยที่แต่ละคือเซตของตัวแปรข้างเคียงของ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะมีค่าใดค่าหนึ่งนั้นขึ้นอยู่กับตัวแปรสุ่มข้างเคียงโดยตรง ความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มใน MRF กำหนดโดย ${\displaystyle (x_{j})_{j}}$${\displaystyle \partial _{i}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i})={\frac {P(X_{i}=x_{i},\partial _{i})}{\sum _{k}P(X_{i}=k,\partial _{i})}},}$

โดยผลรวม (ซึ่งอาจเป็นปริพันธ์) นั้นครอบคลุมค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของkบางครั้งการคำนวณปริมาณนี้ให้ถูกต้องแม่นยำนั้นทำได้ยาก

เมื่อใช้ในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติค่าในฟิลด์สุ่มมักมีความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ ตัวอย่างเช่น ค่าที่อยู่ติดกัน (เช่น ค่าที่มีดัชนีติดกัน) จะไม่แตกต่างกันมากเท่ากับค่าที่อยู่ห่างกัน นี่เป็นตัวอย่างของ โครงสร้าง ความแปรปรวนร่วมซึ่งสามารถจำลองได้ในฟิลด์สุ่มหลายประเภท ตัวอย่างหนึ่งคือแบบจำลอง Isingซึ่งบางครั้งมีการรวมปฏิสัมพันธ์ระหว่างเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดไว้เพื่อลดความซับซ้อนและทำความเข้าใจแบบจำลองได้ดียิ่งขึ้น

การใช้ฟิลด์สุ่มทั่วไปคือการสร้างกราฟิกคอมพิวเตอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เลียนแบบพื้นผิวธรรมชาติ เช่นน้ำและดินฟิลด์สุ่มยังถูกใช้ในแบบจำลองพื้นดินใต้พื้นดินดังใน^{[ 2 ]}

ในสาขาประสาทวิทยาโดยเฉพาะอย่างยิ่งใน การศึกษา ภาพการทำงานของสมองที่เกี่ยวข้องกับงานโดยใช้PETหรือfMRIการวิเคราะห์ทางสถิติของฟิลด์สุ่มเป็นทางเลือกทั่วไปในการแก้ไขการเปรียบเทียบหลายรายการเพื่อค้นหาบริเวณที่มีการกระตุ้นที่มีนัยสำคัญอย่างแท้จริง^{[ 3 ]}โดยทั่วไปแล้ว ฟิลด์สุ่มสามารถใช้เพื่อแก้ไขผลกระทบของการมองหาที่อื่นในการทดสอบทางสถิติ โดยที่โดเมนคือพื้นที่พารามิเตอร์ที่กำลังค้นหา^{[ 4 ]}

นอกจากนี้ยังใช้ในแอปพลิ เคชัน การเรียนรู้ของเครื่องจักร อีก ด้วย

ฟิลด์สุ่มมีประโยชน์อย่างมากในการศึกษากระบวนการทางธรรมชาติโดยวิธี Monte Carloซึ่งฟิลด์สุ่มสอดคล้องกับคุณสมบัติที่แปรผันตามพื้นที่ตามธรรมชาติ สิ่งนี้นำไปสู่ฟิลด์สุ่มที่มีค่าเป็นเทนเซอร์ ซึ่งบทบาทสำคัญอยู่ที่องค์ประกอบปริมาตรทางสถิติ ( SVE ) ซึ่งเป็นกล่องเชิงพื้นที่ที่สามารถหาค่าเฉลี่ยของคุณสมบัติได้ เมื่อ SVE มีขนาดใหญ่เพียงพอ คุณสมบัติของมันจะกลายเป็นแบบกำหนดได้ และเราจะได้องค์ประกอบปริมาตรตัวแทน (RVE) ของฟิสิกส์ต่อเนื่องแบบกำหนดได้กลับคืนมา ฟิลด์สุ่มประเภทที่สองที่ปรากฏในทฤษฎีต่อเนื่องคือฟิลด์สุ่มของปริมาณที่ขึ้นอยู่กัน (อุณหภูมิ การกระจัด ความเร็ว การเสียรูป การหมุน แรงภายในและแรงภายนอก ความเครียด ฯลฯ) ^{[ 5 ]}

• ความแปรปรวนร่วม
• คริกิง
• วาเรียแกรม
• ขายต่อ
• กระบวนการสุ่ม
• ระบบอนุภาคที่มีปฏิสัมพันธ์
• ออโตมาตาเซลลูลาร์แบบสุ่ม

• Adler, RJ & Taylor, Jonathan (2007). Random Fields and Geometry . Springer. ISBN 978-0-387-48112-8.
• Besag, JE (1974). "ปฏิสัมพันธ์เชิงพื้นที่และการวิเคราะห์ทางสถิติของระบบแลตติส" วารสารของราชสมาคมสถิติซีรีส์ B. 36 (2): 192– 236. doi : 10.1111/j.2517-6161.1974.tb00999.x .
• Griffeath, David (1976). "Random Fields". ในKemeny, John G. ; Snell, Laurie ; Knapp, Anthony W. (บรรณาธิการ). Denumerable Markov Chains (ฉบับที่ 2). Springer. ISBN 0-387-90177-9.
• Davar Khoshnevisan (2002). กระบวนการหลายพารามิเตอร์: บทนำสู่ฟิลด์สุ่ม . Springer. ISBN 0-387-95459-7.