ในพีชคณิตทฤษฎีรากตรรกยะ (หรือการทดสอบรากตรรกยะทฤษฎีศูนย์ตรรกยะการทดสอบศูนย์ตรรกยะหรือทฤษฎีp / q ) กล่าวถึงข้อจำกัดเกี่ยวกับคำตอบตรรกยะ ของสมการพหุนาม ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มโดยคำตอบของสมการนี้เรียกว่ารากหรือศูนย์ของพหุนามทางด้านซ้ายมือ $${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0}$$${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle a_{0},a_{n}\neq 0}$

ทฤษฎีบทกล่าวว่า คำตอบเชิงตรรกะแต่ละคำตอบที่เขียน${\displaystyle x={\tfrac {p}{q}}}$ในรูปอย่างง่ายที่สุด (นั่นคือpและqเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ) จะสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้:

• p เป็น ตัวประกอบจำนวนเต็มของพจน์คงที่a ₀และ
• qเป็นตัวประกอบจำนวนเต็มของสัมประสิทธิ์นำ หน้า a _n

ทฤษฎีบทรากตรรกยะเป็นกรณีพิเศษ (สำหรับตัวประกอบเชิงเส้นเดี่ยว) ของบทตั้งของเกาส์เกี่ยวกับการแยกตัวประกอบของพหุนามทฤษฎีบทรากจำนวนเต็มเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทรากตรรกยะเมื่อสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็น  a _n  = 1

ทฤษฎีบทนี้ใช้เพื่อค้นหารากตรรกยะทั้งหมดของพหุนาม หากมี โดยจะให้เศษส่วนที่เป็นไปได้จำนวนจำกัด ซึ่งสามารถตรวจสอบได้ว่าเศษส่วนเหล่านั้นเป็นรากหรือไม่ หากพบ รากตรรกยะ x = r สามารถแยกตัวประกอบพหุนามเชิงเส้น ( x – r )ออกจากพหุนามเดิมได้โดยใช้การหารยาวพหุนามซึ่งจะได้พหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่า และรากของพหุนามนั้นก็เป็นรากของพหุนามเดิมด้วย

สมการกำลังสาม ทั่วไป ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มมีสามคำตอบในระนาบเชิงซ้อนถ้าการทดสอบราก ตรรกยะ ไม่พบคำตอบตรรกยะใดๆ วิธีเดียวที่จะแสดงคำตอบในรูปพีชคณิตได้คือการใช้รากที่สามแต่ถ้าการทดสอบพบคำตอบตรรกยะrแล้ว การดึงตัวประกอบ( x – r ) ออกมา จะเหลือพหุนามกำลังสอง ซึ่งรากทั้งสองของพหุนามนี้ เมื่อหาได้จากสูตรกำลังสองจะเป็นรากที่เหลืออีกสองตัวของสมการกำลังสาม ทำให้ไม่ต้องใช้รากที่สาม $${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$$

ปล่อยให้ด้วย${\displaystyle P(x)\ =\ a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {Z} ,a_{0},a_{n}\neq 0.}$

สมมติว่าP ( p / q ) = 0สำหรับp , q ∈ ℤที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ บางตัว : $${\displaystyle P\left({\tfrac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)+a_{0}=0.}$$

เพื่อให้ตัวส่วนชัดเจน ให้คูณทั้งสองข้างด้วยq ⁿ : $${\displaystyle a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots +a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}=0.}$$

เมื่อย้าย พจน์ a ₀ไปทางด้านขวาและดึงตัวประกอบpทางด้านซ้ายออกมา จะได้ผลลัพธ์ดังนี้: $${\displaystyle p\left(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1}\right)=-a_{0}q^{n}.}$$

ดังนั้นpหารa ₀ q ⁿ ลงตัว แต่pเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับqและด้วยเหตุนี้จึงเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับq ⁿด้วย ดังนั้นโดยทฤษฎีบทของยูคลิดpจะต้องหารตัวประกอบที่เหลือa ₀ลงตัว

ในทางกลับกัน การย้าย พจน์ a _nไปทางด้านขวาและดึงตัวประกอบqทางด้านซ้ายออกมาจะได้ผลลัพธ์ดังนี้: $${\displaystyle q\left(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1}\right)=-a_{n}p^{n}.}$$

_{ด้วยเหตุผลเช่นเดียวกับก่อนหน้า นี้}จึงสรุปได้ว่าqหารnลงตัว^{[ 1 ]}

หากมีตัวประกอบที่ไม่ใช่ตัวประกอบศูนย์ที่หารสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนามได้ เราสามารถหารด้วยตัวหารร่วมมากที่สุดของสัมประสิทธิ์เหล่านั้นเพื่อให้ได้พหุนามดั้งเดิมในความหมายของทฤษฎีบทของเกาส์ซึ่งจะไม่เปลี่ยนแปลงเซตของรากตรรกยะและเพียงแต่เสริมเงื่อนไขการหารลงตัวเท่านั้น ทฤษฎีบทนั้นกล่าวว่า ถ้าพหุนามสามารถแยกตัวประกอบได้ในQ [ X ]มันก็จะสามารถแยกตัวประกอบได้ในZ [ X ]เช่นกัน ในรูปผลคูณของพหุนามดั้งเดิม รากตรรกยะใดๆp / qจะสอดคล้องกับตัวประกอบดีกรี 1 ในQ [ X ]ของพหุนาม และตัวแทนดั้งเดิมของมันคือqx − pโดยสมมติว่าpและqเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ แต่พหุคูณใดๆ ในZ [ X ]ของqx − pจะมีพจน์นำที่หารด้วยq ลงตัว และพจน์คงที่ที่หารด้วยp ลงตัว ซึ่งพิสูจน์ข้อความดังกล่าวได้ ข้อโต้แย้งนี้แสดงให้เห็นว่าโดยทั่วไปแล้ว ตัวประกอบที่ไม่สามารถแยกย่อยได้ใดๆ ของPสามารถถือได้ว่ามีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และมีสัมประสิทธิ์นำและสัมประสิทธิ์คงที่ที่หารสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกันของ  P ได้ ลงตัว

ในพหุนามนี้ รากตรรกยะใดๆ ที่ลดรูปสมบูรณ์แล้ว จะต้องมีตัวเศษที่หาร 1 ลงตัว และตัวส่วนที่หาร 2 ลงตัว ดังนั้น รากตรรกยะที่เป็นไปได้มีเพียงและเท่านั้น เนื่องจากทั้งสองค่านี้ไม่ทำให้พหุนามเท่ากับศูนย์ ดังนั้นพหุนามนี้จึงไม่มีรากตรรกยะ $${\displaystyle 2x^{3}+x-1,}$$${\textstyle \pm {\tfrac {1}{2}}}$${\textstyle \pm 1}$

ในพหุนามนี้ รากตรรกยะที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวจะต้องมีตัวเศษที่หาร 6 ลงตัวและตัวส่วนที่หาร 1 ลงตัว ซึ่งจำกัดความเป็นไปได้ไว้ที่ ±1, ±2, ±3 และ ±6 ในจำนวนนี้ 1, 2 และ –3 ทำให้พหุนามเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจึงเป็นรากตรรกยะ (อันที่จริงนี่คือรากเดียวของพหุนามนี้ เนื่องจากพหุนามกำลังสามมีเพียงสามรากเท่านั้น) $${\displaystyle x^{3}-7x+6}$$

รากตรรกยะทุกรากของพหุนาม จะต้องเป็นหนึ่งใน 8 จำนวน นี้ ค่าที่เป็นไปได้ทั้ง 8 ค่าสำหรับxสามารถตรวจสอบได้โดยการประเมินพหุนาม ปรากฏว่ามีรากตรรกยะเพียงรากเดียวเท่านั้น ซึ่งก็คือ$${\displaystyle P=3x^{3}-5x^{2}+5x-2}$$$${\displaystyle \pm 1,\pm 2,\pm {\tfrac {1}{3}},\pm {\tfrac {2}{3}}.}$$${\textstyle x=2/3.}$

อย่างไรก็ตาม การคำนวณทั้งแปดขั้นตอนอาจค่อนข้างยุ่งยาก และมีเทคนิคบางอย่างที่ช่วยหลีกเลี่ยงการคำนวณบางส่วนได้

ประการแรก ถ้าพจน์ทั้งหมดของPกลายเป็นลบ และผลรวมของพจน์เหล่านั้นไม่สามารถเป็น 0 ได้ ดังนั้น รากทุกตัวจึงเป็นบวก และรากตรรกยะจะต้องเป็นหนึ่งในสี่ค่าดังกล่าว${\displaystyle x<0,}$${\textstyle 1,2,{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}}.}$

ดังนั้น1จึงไม่ใช่ราก ยิ่งไปกว่านั้น หากเรากำหนดx = 1 + tเราจะได้พหุนามในt โดยไม่ต้องคำนวณ ซึ่งมี สัมประสิทธิ์ตัวแรกเท่ากับ3และพจน์คงที่เท่ากับ1 [ ^{2 ] ทฤษฎีบท}รากตรรกยะจึงบ่งชี้ว่ารากตรรกยะของQจะต้องอยู่ในและดังนั้นรากตรรกยะของPจึงเป็นไปตามเงื่อนไขนี้ ซึ่งแสดงให้เห็นอีกครั้งว่ารากตรรกยะใดๆ ของP นั้น เป็นบวก และตัวเลือกที่เหลืออยู่มีเพียง2และ2/3เท่านั้น ${\displaystyle P(1)=3-5+5-2=1.}$${\displaystyle Q(t)=P(t+1)}$${\textstyle \{\pm 1,\pm {\frac {1}{3}}\},}$${\textstyle x=1+t\in \{2,0,{\tfrac {4}{3}},{\tfrac {2}{3}}\}.}$

เพื่อแสดงว่า2ไม่ใช่ราก ก็เพียงพอที่จะสังเกตว่า ถ้าแล้วและเป็นพหุคูณของ8ในขณะที่ไม่ใช่ ดังนั้น ผลรวมของพวกมันจึงไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ ${\displaystyle x=2,}$${\displaystyle 3x^{3}}$${\displaystyle 5x-2}$${\displaystyle -5x^{2}}$

สุดท้ายนี้จำเป็นต้องคำนวณเพื่อตรวจสอบว่าเป็นรากของพหุนามหรือไม่ ${\displaystyle P(2/3)}$

ถ้าและเป็นจำนวนเต็ม ( ) แล้วทั้งและต้องเป็นจำนวนเต็ม ${\displaystyle a,b}$${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{b}}+{\tfrac {b^{2}}{a}}}$${\displaystyle a\neq 0,b\neq 0}$${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{b}}}$${\displaystyle {\tfrac {b^{2}}{a}}}$

พิจารณาสมการกำลังสองที่มีรากเป็นและ: ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{b}}}$${\displaystyle {\tfrac {b^{2}}{a}}}$

$${\displaystyle (x-{\tfrac {a^{2}}{b}})(x-{\tfrac {b^{2}}{a}})=x^{2}-({\tfrac {a^{2}}{b}}+{\tfrac {b^{2}}{a}})x+{\tfrac {a^{2}}{b}}\cdot {\tfrac {b^{2}}{a}}.}$$

ลดรูปสัมประสิทธิ์:

• สัมประสิทธิ์ของคือ${\displaystyle x}$${\displaystyle m=-({\tfrac {a^{2}}{b}}+{\tfrac {b^{2}}{a}}),}$
• พจน์คงที่คือ${\displaystyle n={\tfrac {a^{2}}{b}}\cdot {\tfrac {b^{2}}{a}}=ab.}$

ดังนั้น สมการจึงกลายเป็น: โดยที่: $${\displaystyle x^{2}+mx+n=0,}$$

• ${\displaystyle m=-({\tfrac {a^{2}}{b}}+{\tfrac {b^{2}}{a}})}$เห็นได้ชัดว่าเป็นจำนวนเต็ม เนื่องจากเป็นการปฏิเสธของจำนวนเต็ม
• ${\displaystyle n=ab}$หรือก็คือจำนวนเต็ม ซึ่งเป็นผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวน

ใช้ทฤษฎีบทรากตรรกยะ:

${\displaystyle a,b}$กำหนดให้เป็นจำนวนเต็ม ( ) กล่าวคือและเป็นจำนวนตรรกยะ ถ้าเป็นรากตรรกยะของสมการ แล้วเป็นตัวประกอบจำนวนเต็มของสัมประสิทธิ์ กล่าวคือ ของดังนั้นดังนั้น รากตรรกยะจึงเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นและเป็นจำนวนเต็ม ${\displaystyle a\neq 0,b\neq 0}$${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{b}}}$${\displaystyle {\tfrac {b^{2}}{a}}}$${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle q=1}$${\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{b}}}$${\displaystyle {\tfrac {b^{2}}{a}}}$

• ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต
• โดเมนปิดสนิท
• กฎแห่งสัญลักษณ์ของเดส์การ์ต
• ทฤษฎีบทเกาส์-ลูคัส
• คุณสมบัติของรากพหุนาม
• เนื้อหา (พีชคณิต)
• เกณฑ์ของไอเซนสไตน์
• การหาค่ารากของพหุนาม

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ทฤษฎีบทศูนย์ตรรกยะ" . MathWorld .
• ทฤษฎีบทรากตรรกยะที่PlanetMath
• อีกหนึ่งบทพิสูจน์ว่ารากที่ n ^ของจำนวนเต็มเป็นจำนวนอตรรกยะ ยกเว้นกำลังที่ n สมบูรณ์โดย Scott E. Brodie
• แบบทดสอบรากศัพท์เชิงตรรกะที่ purplemath.com