สัดส่วนอันศักดิ์สิทธิ์: ตรีโกณมิติเชิงตรรกะสู่เรขาคณิตสากล

ผู้เขียน	นอร์แมน เจ. ไวลด์เบอร์เกอร์
ประเภท	คณิตศาสตร์
สำนักพิมพ์	ไข่ป่า
วันที่เผยแพร่	2548

"Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry"เป็นหนังสือปี 2005 โดยนักคณิตศาสตร์ Norman J. Wildberger ที่เสนอแนวทางทางเลือกใหม่สำหรับเรขาคณิตแบบยุคลิดและตรีโกณมิติเรียกว่าตรีโกณมิติเชิงตรรกะหนังสือเล่มนี้สนับสนุนการแทนที่ปริมาณพื้นฐานปกติของตรีโกณมิติ ได้แก่ระยะทางแบบยุคลิดและ ขนาด ของมุมด้วยระยะทางยกกำลังสองและกำลังสองของไซน์ของมุม ตามลำดับ ซึ่งมีความเทียบเท่าทางตรรกะกับการพัฒนาแบบมาตรฐาน (เนื่องจากปริมาณที่ใช้แทนสามารถแสดงในรูปของปริมาณมาตรฐานได้ และในทางกลับกัน) ผู้เขียนอ้างว่าแนวทางของเขามีข้อดีบางประการ เช่น การหลีกเลี่ยงความจำเป็นในการใช้ จำนวนอตรรกยะ

หนังสือเล่มนี้ "ตีพิมพ์เองโดยพื้นฐาน" ^{[ 1 ]}โดย Wildberger ผ่านบริษัทสำนักพิมพ์ Wild Egg ของเขา สูตรและทฤษฎีบทในหนังสือเล่มนี้ถือว่าเป็นคณิตศาสตร์ที่ถูกต้อง แต่การอ้างเกี่ยวกับความเหนือกว่าในทางปฏิบัติหรือการสอนนั้นส่วนใหญ่ได้รับการส่งเสริมโดย Wildberger เองและได้รับการวิจารณ์ที่หลากหลาย

แนวคิดหลักของสัดส่วนศักดิ์สิทธิ์คือการแทนที่ระยะทางด้วยระยะทางยูคลิดกำลังสองซึ่งไวล์ดเบอร์เกอร์เรียกว่าควอดแรนซ์และการแทนที่การวัดมุมด้วยกำลังสองของไซน์ ซึ่งไวล์ดเบอร์เกอร์เรียกว่าการกระจายระหว่างเส้นสองเส้นสัดส่วนศักดิ์สิทธิ์กำหนดแนวคิดทั้งสองนี้โดยตรงจากพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดที่กำหนดส่วนของเส้นตรงหรือคู่ของเส้นตัดกัน เมื่อกำหนดในลักษณะนี้ พวกมันจะเป็นฟังก์ชันตรรกยะของพิกัดเหล่านั้น และสามารถคำนวณได้โดยตรงโดยไม่จำเป็นต้องถอดรากที่สองหรือฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันที่จำเป็นเมื่อคำนวณระยะทางหรือการวัดมุม^{[ 1 ]}

สำหรับ Wildberger ซึ่งเป็นนักทฤษฎีฟินิตี้การแทนที่นี้มีข้อดีที่กล่าวอ้างคือหลีกเลี่ยงแนวคิดของลิมิตและอนันต์ที่แท้จริงที่ใช้ในการกำหนดจำนวนจริงซึ่ง Wildberger อ้างว่าไม่มีพื้นฐาน^{[ 2 ] [ 1 ]}นอกจากนี้ยังช่วยให้สามารถขยายแนวคิดที่คล้ายคลึงกันโดยตรงจากจำนวนตรรกยะไปยังระบบจำนวนอื่น ๆ เช่นฟิลด์จำกัดโดยใช้สูตรเดียวกันสำหรับควอดแรนซ์และสเปรด^{[ 1 ]}ยิ่งไปกว่านั้น วิธีนี้ยังหลีกเลี่ยงความกำกวมของมุมเสริม สองมุม ที่เกิดจากเส้นคู่หนึ่ง เนื่องจากมุมทั้งสองมีสเปรดเท่ากัน ระบบนี้ได้รับการกล่าวอ้างว่าใช้งานง่ายกว่าและขยายจากสองมิติไปยังสามมิติได้ง่ายกว่า^{[ 3 ]}อย่างไรก็ตาม เพื่อแลกกับประโยชน์เหล่านี้ เราจะสูญเสียคุณสมบัติการบวกของระยะทางและมุม ตัวอย่างเช่น หากส่วนของเส้นตรงถูกแบ่งออกเป็นสองส่วน ความยาวของมันคือผลรวมของความยาวของสองส่วน แต่การรวมควอดแรนซ์ของส่วนต่าง ๆ นั้นซับซ้อนกว่าและต้องใช้รากที่สอง^{[ 1 ]}

สัดส่วนศักดิ์สิทธิ์แบ่งออกเป็นสี่ส่วน ส่วนที่ 1 นำเสนอภาพรวมของการใช้ควอดแรนซ์และสเปรดเพื่อแทนที่ระยะทางและมุม และให้เหตุผลถึงข้อดีของสิ่งเหล่านี้ ส่วนที่ 2 ทำให้ข้ออ้างที่กล่าวไว้ในส่วนที่ 1 เป็นทางการ และพิสูจน์อย่างเข้มงวด^{[ 1 ]}แทนที่จะกำหนดเส้นเป็นเซตของจุดอนันต์ เส้นจะถูกกำหนดโดยพิกัดเอกพันธุ์ซึ่งอาจใช้ในสูตรสำหรับการทดสอบการทับซ้อนของจุดและเส้น เช่นเดียวกับไซน์ โคไซน์และแทนเจนต์จะถูกแทนที่ด้วยค่าเทียบเท่าเชิงตรรกะที่เรียกว่า "ครอส" และ "ทวิสต์" และสัดส่วนศักดิ์สิทธิ์พัฒนาอนาล็อกต่างๆ ของเอกลักษณ์ตรีโกณมิติที่เกี่ยวข้องกับปริมาณเหล่านี้[ ^{3 ] รวม}ถึงทฤษฎีบทพีทาโกรัสกฎของไซน์และกฎของโคไซน์^{[ 4 ]}

ส่วนที่ 3 พัฒนาเรขาคณิตของรูปสามเหลี่ยมและภาคตัดกรวยโดยใช้เครื่องมือที่พัฒนาขึ้นในสองส่วนก่อนหน้า^{[ 1 ]}ผลลัพธ์ที่เป็นที่รู้จักกันดี เช่นสูตรของเฮรอนสำหรับการคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจากความยาวด้าน หรือทฤษฎีบทมุมภายในวงกลมในรูปแบบที่ว่ามุมที่คอร์ดของวงกลมรองรับจากจุดอื่น ๆ บนวงกลมนั้นเท่ากัน ได้รับการกำหนดใหม่ในแง่ของควอดแรนซ์และการกระจาย และด้วยเหตุนี้จึงสามารถขยายไปสู่ฟิลด์ตัวเลขใด ๆ ได้^{[ 3 ] [ 5 ]} สุดท้าย ส่วนที่ 4 พิจารณาการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติในฟิสิกส์และการสำรวจ และพัฒนาส่วนขยายไปยัง ปริภูมิยูคลิดมิติสูงกว่าและพิกัดเชิงขั้ว^{[ 1 ]}

สัดส่วนศักดิ์สิทธิ์ไม่ได้คาดหวังว่าผู้อ่านจะมีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์มากนัก แต่สูตรยาวๆ จำนวนมาก การพิจารณาฟิลด์จำกัดบ่อยครั้ง และ (หลังจากส่วนที่ 1) การเน้นความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ อาจเป็นอุปสรรคต่อ กลุ่มผู้อ่าน คณิตศาสตร์ทั่วไปดังนั้นจึงเขียนขึ้นสำหรับครูคณิตศาสตร์และนักวิจัยเป็นหลัก อย่างไรก็ตาม นักเรียนคณิตศาสตร์ก็สามารถอ่านได้เช่นกัน และมีแบบฝึกหัดที่ทำให้สามารถใช้เป็นพื้นฐานสำหรับหลักสูตรคณิตศาสตร์ได้^{[ 1 ] [ 6 ]}

คุณลักษณะของหนังสือที่ได้รับการตอบรับในเชิงบวกมากที่สุดจากนักวิจารณ์คือผลงานที่ขยายผลลัพธ์ในเรขาคณิตระยะทางและมุมไปยังฟิลด์จำกัด นักวิจารณ์ Laura Wiswell พบว่าผลงานนี้น่าประทับใจ และรู้สึกประทับใจกับผลลัพธ์ที่ว่าฟิลด์จำกัดที่เล็กที่สุดที่มีรูปห้าเหลี่ยมปกติคือ[ 1 ^{] Michael Henle}เรียกการขยายเรขาคณิตสามเหลี่ยมและภาคตัดกรวยไปยังฟิลด์จำกัดในส่วนที่ III ของหนังสือว่า "ทฤษฎีที่สง่างามที่มีความทั่วไปสูง" ^{[ 4 ]}และ William Barker ก็เขียนชื่นชมแง่มุมนี้ของหนังสือเช่นกัน โดยเรียกมันว่า "แปลกใหม่เป็นพิเศษ" และอาจเปิดทิศทางการวิจัยใหม่ๆ^{[ 6 ]}${\displaystyle \mathbb {F} _{19}}$

วิสเวลล์ตั้งคำถามว่าผลลัพธ์โดยละเอียดที่นำเสนอโดยไม่ระบุแหล่งที่มาในงานนี้เป็นสิ่งใหม่จริง ๆ มากน้อยเพียงใด^{[ 1 ]}ในแง่นี้ ไมเคิล เฮนเล ตั้งข้อสังเกตว่าการใช้ระยะทางยูคลิดกำลังสอง "มักพบว่าสะดวกในที่อื่น ๆ" ^{[ 4 ]}ตัวอย่างเช่น ใช้ในเรขาคณิตระยะทางสถิติกำลังสองน้อยที่สุดและการเพิ่มประสิทธิภาพแบบนูน เจมส์ แฟรงคลิน ชี้ให้เห็นว่าสำหรับปริภูมิสามมิติหรือมากกว่านั้น ซึ่งจำลองตามแบบแผนโดยใช้พีชคณิตเชิงเส้นการใช้การกระจายตามสัดส่วนศักดิ์สิทธิ์นั้นไม่แตกต่างจากวิธีการมาตรฐานที่เกี่ยวข้องกับผลคูณจุดแทนฟังก์ชันตรีโกณมิติ มากนัก ^{[ 5 ]}

ข้อดีของวิธีการของ Wildberger ที่ Henle กล่าวถึงคือ เนื่องจากวิธีการเหล่านี้เกี่ยวข้องกับพีชคณิตอย่างง่าย การพิสูจน์จึงง่ายต่อการติดตามและง่ายต่อการตรวจสอบโดยคอมพิวเตอร์ อย่างไรก็ตาม เขาแนะนำว่าการอ้างของหนังสือเกี่ยวกับความเรียบง่ายที่มากขึ้นในทฤษฎีโดยรวมนั้นขึ้นอยู่กับการเปรียบเทียบที่ผิดพลาด ซึ่งไม่ได้พิจารณาควอแดรนซ์และการกระจายเทียบกับแนวคิดคลาสสิกที่สอดคล้องกันของระยะทาง มุม และไซน์ แต่เทียบกับชุดเครื่องมือที่กว้างกว่ามากจากตรีโกณมิติแบบคลาสสิก เขายังชี้ให้เห็นว่าสำหรับนักเรียนที่มีเครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์ สูตรที่หลีกเลี่ยงรากที่สองและฟังก์ชันตรีโกณมิติไม่ใช่ปัญหา^{[ 4 ]}และ Barker เสริมว่าสูตรใหม่มักเกี่ยวข้องกับขั้นตอนการคำนวณแต่ละขั้นตอนที่มากขึ้น^{[ 6 ]}แม้ว่าผู้ตรวจสอบหลายคนรู้สึกว่าการลดเวลาที่จำเป็นในการสอนตรีโกณมิติแก่นักเรียนจะเป็นที่น่ายินดีมาก^{[ 3 ] [ 5 ] [ 7 ]} Paul Campbell ก็ยังสงสัยว่าวิธีการเหล่านี้จะช่วยเร่งการเรียนรู้ได้จริงหรือไม่^{[ 7 ]} Gerry Leversha ยังคงเปิดใจกว้าง โดยเขียนว่า "จะเป็นเรื่องน่าสนใจที่จะได้เห็นตำราเรียนบางเล่มที่มุ่งเป้าไปที่นักเรียน [ที่ Wildberger] สัญญาว่าจะจัดทำ และ... การทดลองที่ควบคุมโดยใช้นักเรียนเป็นหนูทดลอง" ^{[ 3 ]}อย่างไรก็ตาม ตำราเรียนและการทดลองเหล่านี้ยังไม่ได้รับการตีพิมพ์

วิสเวลล์ไม่เชื่อคำกล่าวอ้างที่ว่าเรขาคณิตแบบดั้งเดิมมีข้อบกพร่องพื้นฐานที่วิธีการเหล่านี้หลีกเลี่ยงได้^{[ 1 ]}ในขณะที่เห็นด้วยกับวิสเวลล์ บาร์เกอร์ชี้ให้เห็นว่าอาจมีนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ที่มีข้อสงสัยเชิงปรัชญาเกี่ยวกับอนันต์เหมือนกับไวล์ดเบอร์เกอร์ และงานนี้น่าจะเป็นที่สนใจอย่างมากสำหรับพวกเขา^{[ 6 ]}

ประเด็นสุดท้ายที่ผู้วิจารณ์หลายคนหยิบยกขึ้นมาคือความเฉื่อยชา: สมมติเพื่อประโยชน์ในการโต้แย้งว่าวิธีการเหล่านี้ดีกว่า พวกเขาตั้งคำถามว่าวิธีการเหล่านี้ดีกว่ามากพอที่จะทำให้คุ้มค่ากับความพยายามอย่างมากของแต่ละบุคคลในการเรียนรู้เรขาคณิตและตรีโกณมิติใหม่ในแง่เหล่านี้ และความพยายามของสถาบันในการปรับปรุงหลักสูตรของโรงเรียนเพื่อใช้สิ่งเหล่านี้แทนเรขาคณิตและตรีโกณมิติแบบดั้งเดิมหรือไม่ Henle, Barker และ Leversha สรุปว่าหนังสือเล่มนี้ไม่ได้พิสูจน์ข้อโต้แย้งนี้^{[ 3 ] [ 4 ] [ 6 ]}แต่Sandra Arlinghausมองว่างานนี้เป็นโอกาสสำหรับสาขาต่างๆ เช่น ภูมิศาสตร์คณิตศาสตร์ของเธอ "ที่ลงทุนในความเข้มงวดของสถาบันแบบดั้งเดิมค่อนข้างน้อย" เพื่อแสดงให้เห็นถึงศักยภาพของการทดแทนดังกล่าว^{[ 8 ]}

• การจัดเรียงแบบ Perlesคือเซตจำกัดของจุดและเส้นในระนาบยุคลิดที่ไม่สามารถแสดงด้วยพิกัดตรรกยะได้