ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันแกมมาผกผันคือฟังก์ชัน ที่Γ( z )แทนฟังก์ชันแกมมาเนื่องจากฟังก์ชันแกมมาเป็นฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกและไม่เป็นศูนย์ทุกที่ในระนาบเชิงซ้อน ฟังก์ชัน ผกผันของมันจึงเป็นฟังก์ชัน เอน ไทร์ ในฐานะที่เป็นฟังก์ชันเอนไทร์ มันจึงมีอันดับ 1 (หมายความว่าlog log | ⁠$${\displaystyle f(z)={\frac {1}{\Gamma (z)}},}$$1/Γ( z )⁠ |เติบโตไม่เร็วกว่าlog | z |) แต่เป็นประเภทอนันต์ (หมายความว่าlog | ⁠1/Γ( z )|เติบโตเร็วกว่าค่าทวีคูณใดๆ ของ| z |เนื่องจากอัตราการเติบโตเป็นสัดส่วนโดยประมาณกับ| z | log | z |ในระนาบครึ่งซ้าย)

บางครั้งค่าผกผันของฟังก์ชันแกมมาถูกใช้เป็นจุดเริ่มต้นในการคำนวณเชิงตัวเลขและมีไลบรารีซอฟต์แวร์บางแห่งที่ให้ค่าผกผันของฟังก์ชันแกมมาแยกต่างหากจากฟังก์ชันแกมมาปกติ

คาร์ล ไวเออร์สตรัสเรียกฟังก์ชันแกมมาผกผันว่า "แฟกทอเรียล" และใช้มันในการพัฒนาทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบของไวเออร์สตรัส

จากนิยาม ผลคูณ อนันต์ของฟังก์ชันแกมมาซึ่งได้มาจากออยเลอร์และไวเออร์สตรัสตามลำดับ เราจะได้การขยายผลคูณอนันต์ต่อไปนี้สำหรับฟังก์ชันแกมมาผกผัน: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\\{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\end{aligned}}}$$

โดยที่γ = 0.577216...คือค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเชโรนีการขยายอนุกรมเหล่านี้ใช้ได้กับจำนวนเชิงซ้อน  z ทุก จำนวน

การขยาย อนุกรมเทย์เลอร์รอบ0ให้ผลลัพธ์ดังนี้: ^{[ 1 ]} โดยที่γคือค่าคงที่ออยเลอร์-มาสเชโรนีสำหรับn > 2สัมประสิทธิ์a _nสำหรับ เทอม z ⁿสามารถคำนวณแบบเวียนซ้ำได้ดังนี้^{[ 2 ] [ 3 ]} โดยที่ζคือฟังก์ชันซีตาของรีมันน์การแสดงผลแบบอินทิกรัลสำหรับสัมประสิทธิ์เหล่านี้เพิ่งค้นพบโดย Fekih-Ahmed (2014) เมื่อเร็วๆ นี้: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{\ \Gamma (z)\ }}=z+\gamma \ z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)\ z^{3}+\left({\frac {\gamma ^{3}}{6}}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{12}}+{\frac {\zeta (3)}{3}}\ \right)z^{4}+\cdots \ }$$$${\displaystyle a_{n}={\frac {\ {a_{2}\ a_{n-1}+\sum _{j=2}^{n-1}(-1)^{j+1}\ \zeta (j)\ a_{nj}}\ }{n-1}}={\frac {\ \gamma \ a_{n-1}-\zeta (2)\ a_{n-2}+\zeta (3)\ a_{n-3}-\cdots \ }{n-1}}}$$$${\displaystyle a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\pi n!}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\ \operatorname {Im} {\Bigl [}\ {\bigl (}\log(t)-i\pi {\bigr )}^{n}\ {\Bigr ]}\ \mathrm {d} t~.}$$

สำหรับค่าเล็กๆ จะได้ค่าดังต่อไปนี้:

Fekih-Ahmed (2014) ^{[ 3 ]}ยังให้ค่าประมาณสำหรับn _ด้วย :

$${\displaystyle a_{n}\approx {\frac {(-1)^{n}}{\ (n-1)!\ }}\ {\sqrt {{\frac {2}{\ \pi n\ }}\ }}\ \operatorname {Im} \left({\frac {\ z_{0}^{\left(1/2-n\right)}\ e^{-nz_{0}}\ }{\sqrt {1+z_{0}\ }}}\right)\ ,}$$ โดยที่z ₀ = −1/ n exp ( W ₋₁ (− n ))และW ₋₁คือสาขาแรกด้านลบของฟังก์ชันLambert W

การกระจายอนุกรมเทย์เลอร์รอบ1มีสัมประสิทธิ์เดียวกัน (แต่เลื่อนไป) กล่าวคือ (ส่วนกลับของฟังก์ชันพายของเกาส์ ) $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (1+z)}}={\frac {1}{z\Gamma (z)}}=1+\gamma \ z+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)\ z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{3}}{6}}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{12}}+{\frac {\zeta (3)}{3}}\ \right)z^{3}+\cdots \ }$$

เมื่อ| z |เข้าสู่ค่าอนันต์ด้วยค่าคงที่arg( z )เราจะได้ว่า: $${\displaystyle \ln(1/\Gamma (z))\sim -z\ln(z)+z+{\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {z}{2\pi }}\right)-{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{360z^{3}}}-{\frac {1}{1260z^{5}}}\qquad {\text{for}}~\left|\arg(z)\right|<\pi }$$

การแสดงผลแบบอินทิกรัลของHermann Hankelคือ โดยที่Hคือเส้นโค้ง Hankelซึ่งก็คือเส้นทางที่ล้อมรอบ 0 ในทิศทางบวก เริ่มต้นที่ และกลับไปยังอนันต์บวกโดยคำนึงถึงการตัดกิ่งตามแกนจริงบวก ตามที่ Schmelzer & Trefethen ^{[ 4 ]}การประเมินเชิงตัวเลขของอินทิกรัลของ Hankel เป็นพื้นฐานของวิธีการที่ดีที่สุดบางวิธีในการคำนวณฟังก์ชันแกมมา $${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\oint _{H}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,}$$

สำหรับจำนวนเต็มบวกn ≥ 1จะมีอินทิกรัลสำหรับ ฟังก์ชัน แฟกทอเรียล ผกผัน ที่กำหนดโดย^{[ 5 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{n!}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{-nit}e^{e^{it}}\ dt.}$$

ในทำนองเดียวกัน สำหรับค่าจริงc > 0และz ∈ C ใดๆ ที่Re( z ) > 0เราจะมีอินทิกรัลต่อไปนี้สำหรับฟังก์ชันแกมมาผกผันตามแกนจริงในรูปแบบ: ^{[ 6 ]} โดยกรณีพิเศษเมื่อz = n + 1/2จะให้ความสัมพันธ์ที่สอดคล้องกันสำหรับฟังก์ชัน แฟกทอเรียลคู่ ผกผัน$${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }(c+it)^{-z}e^{c+it}dt,}$$$${\displaystyle {\frac {1}{(2n-1)!!}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{n}\cdot \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}}.}$$

การอินทิเกรตฟังก์ชันแกมมาผกผันตามแกนจริงบวกจะให้ค่า ที่เรียกว่า ค่าคง ที่Fransén–Robinson ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (x)}}\,dx\approx 2.80777024,}$$

เรามีสูตรต่อไปนี้^{[ 8 ] : บทที่ 9 แบบฝึกหัด 100} $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\dfrac {a^{x}}{\Gamma (x)}}\,dx=ae^{a}+a\int _{0}^{\infty }{\dfrac {e^{-ax}}{\log ^{2}(x)+\pi ^{2}}}\,dx}$$

• ฟังก์ชันเบสเซล-คลิฟฟอร์ด
• การแจกแจงแบบอินเวอร์สแกมมา
• ฟังก์ชันนู