ส่วนกลับของจำนวนเฉพาะเป็นที่สนใจของนักคณิตศาสตร์ด้วยเหตุผลหลายประการ พวกมันไม่มีผลรวมจำกัดดังที่เลออนฮาร์ด ออยเลอร์พิสูจน์ไว้ในปี 1737

เนื่องจากจำนวนตรรกยะส่วนกลับของจำนวนเฉพาะจึงมี การแสดง ทศนิยมซ้ำกันในช่วงบั้นปลายชีวิตจอร์จ แซลมอน (1819–1904) ให้ความสนใจกับคาบซ้ำของการแสดงทศนิยมของส่วนกลับของจำนวนเฉพาะเหล่านี้^{[ 1 ]}

ในเวลาเดียวกันวิลเลียม แชงค์ส (1812–1882) ได้คำนวณค่าผกผันของจำนวนเฉพาะและคาบการซ้ำของจำนวนเฉพาะจำนวนมาก และตีพิมพ์บทความสองฉบับเรื่อง "เกี่ยวกับคาบในค่าผกผันของจำนวนเฉพาะ" ในปี 1873 ^{[ 2 ]}และ 1874 ^{[ 3 ]}ในปี 1874 เขายังได้ตีพิมพ์ตารางจำนวนเฉพาะและคาบของค่าผกผันของจำนวนเฉพาะจนถึง 20,000 (โดยได้รับความช่วยเหลือและ "สื่อสารโดยบาทหลวงจอร์จ แซลมอน") และชี้ให้เห็นข้อผิดพลาดในตารางก่อนหน้านี้โดยผู้เขียนอีกสามคน^{[ 4 ]}

ส่วนสุดท้ายของตารางจำนวนเฉพาะและคาบการซ้ำของจำนวนเฉพาะของ Shanks ในปี 1874 ในแถวบนสุด 6952 ควรจะเป็น 6592 (ข้อผิดพลาดนี้หาได้ง่าย เนื่องจากคาบของจำนวนเฉพาะpต้องหารp − 1 ลงตัว ) ในรายงานของเขาที่ขยายตารางไปถึง 30,000 ในปีเดียวกัน Shanks ไม่ได้รายงานข้อผิดพลาดนี้ แต่เขารายงานว่าในคอลัมน์เดียวกัน ตรงข้ามกับ 19841 1984 ควรจะเป็น 64 *ข้อผิดพลาดอีกประการหนึ่งที่อาจได้รับการแก้ไขแล้วนับตั้งแต่ผลงานของเขาได้รับการตีพิมพ์คือ ตรงข้ามกับ 19423—ส่วนกลับจะซ้ำทุกๆ 6474 หลัก ไม่ใช่ทุกๆ 3237 หลัก

กฎสำหรับการคำนวณคาบของทศนิยมซ้ำจากเศษส่วนตรรกยะได้รับการกำหนดโดยJames Whitbread Lee Glaisherในปี พ.ศ. 2421 ^{[ 5 ]} สำหรับจำนวนเฉพาะpคาบของส่วนกลับของจำนวนเฉพาะ p จะหารp − 1ลงตัว^{[ 6 ]}

ลำดับของคาบการเกิดซ้ำของจำนวนเฉพาะผกผัน(ลำดับA002371ในOEIS )ปรากฏอยู่ในคู่มือลำดับจำนวนเต็มปี 1973

*จำนวนเฉพาะที่สมบูรณ์จะแสดงเป็นตัวเอียง †จำนวนเฉพาะที่ไม่ซ้ำกันจะถูกเน้นสี

จำนวน เฉพาะ ที่ซ้ำกันอย่างสมบูรณ์ จำนวนเฉพาะ ที่ซ้ำกันอย่างสมบูรณ์จำนวนเฉพาะแท้^{[ 7 ] : 166}หรือจำนวนเฉพาะยาวในฐานbคือจำนวนเฉพาะคี่p ซึ่งผลหารของแฟร์มาต์

${\displaystyle q_{p}(b)={\frac {b^{p-1}-1}{p}}}$

(โดยที่pไม่ หาร b ลงตัว ) จะได้จำนวนวัฏจักรที่มีp − 1 หลัก ดังนั้น การขยายฐานbของจำนวนนี้จะทำซ้ำหลักของจำนวนวัฏจักรที่สอดคล้องกันไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด  ${\displaystyle 1/p}$

จำนวนเฉพาะp (โดยที่p ≠ 2, 5 เมื่อทำงานในฐาน 10) เรียกว่าจำนวนเฉพาะที่ไม่ซ้ำกันหากไม่มีจำนวนเฉพาะq อื่น ใดที่ความยาวคาบของการขยายทศนิยมของส่วนกลับ ของมัน 1/ pเท่ากับความยาวคาบของส่วนกลับของq 1/ q ^{[ 8} ] ตัวอย่างเช่น 3 เป็นจำนวนเฉพาะเพียงตัวเดียวที่มีคาบ 1, 11 เป็นจำนวนเฉพาะเพียงตัวเดียวที่มีคาบ 2, 37 เป็นจำนวนเฉพาะเพียงตัวเดียวที่มีคาบ 3, 101 เป็นจำนวนเฉพาะเพียงตัวเดียวที่มีคาบ 4 ดังนั้นพวกมันจึงเป็นจำนวนเฉพาะที่ไม่ซ้ำกัน จำนวนเฉพาะที่ไม่ซ้ำกันที่ใหญ่กว่าถัดไปคือ 9091 ซึ่งมีคาบ 10 แม้ว่าคาบที่ใหญ่กว่าถัดไปคือ 9 (จำนวนเฉพาะของมันคือ 333667) จำนวนเฉพาะที่ไม่ซ้ำกันได้รับการอธิบายโดย^Samuel Yatesในปี 1980 ^{[ 9 ]}จำนวนเฉพาะpจะเป็นจำนวนเฉพาะที่ไม่ซ้ำกันก็ต่อเมื่อมีnอยู่จริงที่

${\displaystyle {\frac {\พี _{n}(10)}{\gcd(\พี _{n}(10),n)}}}$

เป็นกำลังของpโดยที่แทน พหุ นามไซโคลโทมิกที่ n ซึ่งประเมิน ค่าที่ nค่าของ n จึงเป็นคาบของการขยายทศนิยมของ 1 / p ^{[ 10 ]}${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b}$

ในปัจจุบัน มีจำนวนเฉพาะที่ไม่ซ้ำกันหรือ จำนวนเฉพาะที่มีแนวโน้ม จะเป็นจำนวน เฉพาะมากกว่าห้าสิบจำนวนในระบบเลขฐานสิบอย่างไรก็ตามมีจำนวนเฉพาะที่ไม่ซ้ำกันเพียงยี่สิบสามจำนวนเท่านั้นที่ต่ำกว่า^10¹⁰⁰

จำนวนเฉพาะที่ไม่ซ้ำกันในระบบเลขฐานสิบคือ

3 , 11, 37, 101, 9091, 9901, 333667, 909091, ... (ลำดับA040017ในOEIS )

• พาร์เกอร์, แมตต์ (14 มีนาคม 2022). "ส่วนกลับของจำนวนเฉพาะ - Numberphile" . YouTube .