ในทฤษฎีความน่าจะเป็นสถิติและการเรียนรู้ของเครื่องจักรการประมาณค่าแบบเบย์เซียนแบบวนซ้ำหรือที่เรียกว่าตัวกรองเบย์เซียนเป็นวิธีการเชิงความน่าจะเป็นทั่วไปสำหรับการประมาณค่าฟังก์ชันความหนาแน่นความ น่าจะเป็น ( PDF ) ที่ไม่ทราบค่าแบบวนซ้ำตลอดเวลา โดยใช้การวัดค่าที่เข้ามาและแบบจำลองกระบวนการทางคณิตศาสตร์ กระบวนการนี้อาศัยแนวคิดและแบบจำลองทางคณิตศาสตร์อย่างมาก ซึ่งเป็นทฤษฎีที่พัฒนาขึ้นจากการศึกษาความน่าจะเป็นก่อนหน้าและความน่าจะเป็นภายหลังที่เรียกว่าสถิติแบบเบย์เซียน

ตัวกรองเบย์ส (Bayes filter) เป็นอัลกอริธึมที่ใช้ในวิทยาการคอมพิวเตอร์เพื่อคำนวณความน่าจะเป็นของความเชื่อหลายอย่าง เพื่อให้หุ่นยนต์สามารถอนุมานตำแหน่งและทิศทางของตนเองได้ โดยพื้นฐานแล้ว ตัวกรองเบย์สช่วยให้หุ่นยนต์สามารถอัปเดตตำแหน่งที่เป็นไปได้มากที่สุดภายในระบบพิกัดได้อย่างต่อเนื่อง โดยอาศัยข้อมูลเซ็นเซอร์ที่ได้รับล่าสุด อัลกอริธึมนี้เป็นแบบเรียกซ้ำ ประกอบด้วยสองส่วน คือ การทำนายและการปรับปรุง หากตัวแปรมีการกระจายแบบปกติและการเปลี่ยนแปลงเป็นแบบเชิงเส้น ตัวกรองเบย์สจะเท่ากับตัวกรองคาลมาน (Kalman filter )

ในตัวอย่างง่ายๆ หุ่นยนต์ที่เคลื่อนที่ไปทั่วตารางอาจมีเซ็นเซอร์หลายตัวที่ให้ข้อมูลเกี่ยวกับสภาพแวดล้อมโดยรอบ หุ่นยนต์อาจเริ่มต้นด้วยความมั่นใจว่ามันอยู่ที่ตำแหน่ง (0,0) อย่างไรก็ตาม เมื่อมันเคลื่อนที่ออกไปไกลจากตำแหน่งเดิมมากขึ้นเรื่อยๆ ความมั่นใจในตำแหน่งของหุ่นยนต์ก็จะลดลงอย่างต่อเนื่อง การใช้ตัวกรองแบบเบย์ส (Bayes filter) สามารถกำหนดความน่าจะเป็นให้กับความเชื่อของหุ่นยนต์เกี่ยวกับตำแหน่งปัจจุบันของมันได้ และความน่าจะเป็นนั้นสามารถอัปเดตได้อย่างต่อเนื่องจากข้อมูลเซ็นเซอร์เพิ่มเติม

การวัดเหล่านี้เป็นการแสดงออกของแบบจำลองมาร์คอฟที่ซ่อนอยู่ (Hidden Markov Model: HMM) ซึ่งหมายความว่าสถานะที่แท้จริงนั้นถือว่าเป็นกระบวนการมาร์คอฟ ที่ไม่สามารถสังเกตได้ ภาพต่อไปนี้แสดงเครือข่ายเบย์เซียนของ HMM ${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$

เนื่องจากสมมติฐานของมาร์คอฟ ความน่าจะเป็นของสถานะที่แท้จริงในปัจจุบัน เมื่อกำหนดสถานะก่อนหน้าทันที จะเป็นอิสระแบบมีเงื่อนไขจากสถานะก่อนหน้าอื่นๆ

${\displaystyle p({\textbf {x}__{k}|{\textbf {x}__{k-1},{\textbf {x}__{k-2},\dots ,{\textbf {x}__{0})=p({\textbf {x}__{k}|{\textbf {x}__{k-1})}$

ในทำนองเดียวกัน การวัดที่ขั้นเวลาที่k นั้นขึ้นอยู่กับสถานะปัจจุบันเท่านั้น ดังนั้นจึงเป็นอิสระจากสถานะอื่นๆ ทั้งหมดโดยมีเงื่อนไข เมื่อกำหนดสถานะปัจจุบันแล้ว

${\displaystyle p({\textbf {z}__{k}|{\textbf {x}__{k},{\textbf {x}__{k-1},\dots ,{\textbf {x}__{0})=p({\textbf {z}__{k}|{\textbf {x}__{k})}$

โดยใช้สมมติฐานเหล่านี้ การกระจายความน่าจะเป็นเหนือสถานะทั้งหมดของ HMM สามารถเขียนได้ง่ายๆ ดังนี้

${\displaystyle p({\textbf {x} _ {0},\dots ,{\textbf {x} _ {k}, {\textbf {z} _ {1},\dots , {\textbf {z} _ {k}) = p ({\ textbf {x} _ {0}) \ prod _ {i = 1} ^ {k} p ({\ textbf {z}__{i}|{\textbf {x}__{i})p({\textbf {x}__{i}|{\textbf {x}__{i-1}).}$

อย่างไรก็ตาม เมื่อใช้ตัวกรอง Kalman เพื่อประมาณค่าสถานะxการกระจายความน่าจะเป็นที่สนใจจะเกี่ยวข้องกับสถานะปัจจุบันโดยมีเงื่อนไขจากการวัดจนถึงช่วงเวลาปัจจุบัน (ซึ่งทำได้โดยการตัดสถานะก่อนหน้าออกและหารด้วยความน่าจะเป็นของชุดการวัด)

สิ่งนี้ทำให้ ขั้นตอน การทำนายและการปรับปรุงของตัวกรอง Kalman ถูกเขียนขึ้นในเชิงความน่าจะเป็น การกระจายความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับสถานะที่ทำนายได้คือผลรวม (อินทิกรัล) ของผลคูณของการกระจายความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนจากช่วงเวลาที่ ( k - 1) ไปยังช่วงเวลาที่kและการกระจายความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับสถานะก่อนหน้า ตลอดทุกค่าที่เป็นไปได้ ${\displaystyle x_{k-1}}$

${\displaystyle p({\textbf {x}__{k}|{\textbf {z}__{1:k-1})=\int p({\textbf {x}__{k}|{\textbf {x}__{k-1})p({\textbf {x}__{k-1}|{\textbf {z}__{1:k-1})\,d{\textbf {x}__{k-1}}$

การกระจายความน่าจะเป็นของการอัปเดตเป็นสัดส่วนกับผลคูณของความน่าจะเป็นของการวัดและสถานะที่คาดการณ์ไว้

${\displaystyle p({\textbf {x}__{k}|{\textbf {z}__{1:k})={\frac {p({\textbf {z}__{k}|{\textbf {x}__{k})p({\textbf {x}__{k}|{\textbf {z}__{1:k-1})}{p({\textbf {z}__{k}|{\textbf {z}__{1:k-1})}}\propto p({\textbf {z}__{k}|{\textbf {x}__{k})p({\textbf {x}__{k}|{\textbf {z}__{1:k-1})}$

ตัวหาร

${\displaystyle p({\textbf {z}__{k}|{\textbf {z}__{1:k-1})=\int p({\textbf {z}__{k}|{\textbf {x}__{k})p({\textbf {x}__{k}|{\textbf {z}__{1:k-1})d{\textbf {x}__{k}}$

มีค่าคงที่เมื่อเทียบกับดังนั้นเราจึงสามารถแทนที่ด้วยสัมประสิทธิ์ได้เสมอซึ่งโดยทั่วไปแล้วสามารถละเลยได้ในทางปฏิบัติ ตัวเศษสามารถคำนวณได้ แล้วจึงทำให้เป็นค่าปกติ เนื่องจากปริพันธ์ของมันต้องเท่ากับหนึ่ง ${\displaystyle x}$${\displaystyle \alpha }$

• ตัวกรอง Kalman : ตัวกรอง Bayesian แบบเรียกซ้ำสำหรับข้อมูลที่มีการแจกแจงปกติแบบหลายตัวแปร
• ตัวกรองอนุภาค (Particle filter ) เป็นเทคนิคที่ใช้ Monte Carlo แบบลำดับ (Sequential Monte Carlo: SMC) ซึ่งจำลองฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น ( PDF)โดยใช้ชุดจุดแบบไม่ต่อเนื่อง
• ตัวประมาณค่าแบบกริดซึ่งแบ่ง PDF ออกเป็นกริดแบบไม่ต่อเนื่องเชิงกำหนด

การกรองแบบเบย์เซียนเชิงลำดับ (Sequential Bayesian filtering) เป็นส่วนขยายของการประมาณค่าแบบเบย์เซียนสำหรับกรณีที่ค่าที่สังเกตได้เปลี่ยนแปลงไปตามเวลา เป็นวิธีการประมาณค่าที่แท้จริงของตัวแปรที่สังเกตได้ซึ่งเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา

มีหลายรูปแบบ:

การกรอง

เมื่อประเมิน มูลค่า ปัจจุบันโดยพิจารณาจากข้อมูลในอดีตและปัจจุบัน

การปรับให้เรียบ

เมื่อประเมิน ค่า ในอดีตโดยพิจารณาจากข้อมูลในอดีตและปัจจุบัน และ

การทำนาย

เมื่อประเมิน มูลค่า ในอนาคต ที่เป็นไปได้ โดยพิจารณาจากข้อมูลในอดีตและปัจจุบัน

แนวคิดของการกรองแบบเบย์เซียนเชิงลำดับถูกนำไปใช้อย่างกว้างขวางในด้านการควบคุมและหุ่นยนต์

• Arulampalam, M. Sanjeev; Maskell, Simon; Gordon, Neil (2002). "บทช่วยสอนเกี่ยวกับตัวกรองอนุภาคสำหรับการติดตามแบบเบย์เซียนที่ไม่เป็นเชิงเส้น/ไม่เป็นเกาส์เซียนแบบออนไลน์" IEEE Transactions on Signal Processing . 50 (2): 174– 188. Bibcode : 2002ITSP...50..174A . CiteSeerX  10.1.1.117.1144 . doi : 10.1109/78.978374 .
• Burkhart, Michael C. (2019). "บทที่ 1 ภาพรวมของการกรองแบบเบย์เซียน" แนวทางการจำแนกในการกรองแบบเบย์เซียนพร้อมการประยุกต์ใช้กับการถอดรหัสประสาทของมนุษย์พรอวิเดนซ์ รัฐโรดไอแลนด์ สหรัฐอเมริกา: มหาวิทยาลัยบราวน์doi : 10.26300/nhfp- xv22
• Chen, Zhe Sage (2003). "การกรองแบบเบย์เซียน: จากตัวกรอง Kalman ไปจนถึงตัวกรองอนุภาค และอื่นๆ" สถิติ: วารสารสถิติเชิงทฤษฎีและประยุกต์ 182 ( 1): 1– 69
• Diard, Julien; Bessière, Pierre; Mazer, Emmanuel (2003). "การสำรวจแบบจำลองความน่าจะเป็น โดยใช้วิธีการเขียนโปรแกรมแบบเบย์เซียนเป็นกรอบการทำงานที่เป็นเอกภาพ" (PDF) . cogprints.org.
• ซาร์กเก, ซิโม (2013) การกรองและการปรับให้เรียบแบบเบย์ (PDF ) สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์.
• Volkov, Alexander (2015). "ขอบเขตความแม่นยำของการติดตามแบบเบย์เซียนที่ไม่ใช่แบบเกาส์เซียนในสภาพแวดล้อม NLOS" การประมวลผลสัญญาณ108 : 498– 508. Bibcode : 2015SigPr.108..498V . doi : 10.1016/j.sigpro.2014.10.025 .