ในทางคณิตศาสตร์ในสาขาการวิเคราะห์เวฟเล็ตฟังก์ชันที่สามารถปรับแต่งได้ (refinable function)คือฟังก์ชันที่ตรงตามคุณสมบัติความคล้ายคลึงในตัวเอง (self-similarity ) บางประการ ฟังก์ชันจะเรียกว่าสามารถปรับแต่งได้เมื่อเทียบกับมาสก์ (mask) ถ้า ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle h}$

${\displaystyle \varphi (x)=2\cdot \sum _{k=0}^{N-1}h_{k}\cdot \varphi (2\cdot xk)}$

เงื่อนไขนี้เรียกว่าสมการการปรับปรุงสมการการขยายหรือ สม การ สองระดับ

โดยใช้การสังเคราะห์ (แสดงด้วยเครื่องหมายดอกจัน *) ของฟังก์ชันกับหน้ากากแบบไม่ต่อเนื่องและตัวดำเนินการขยายเราสามารถเขียนได้กระชับยิ่งขึ้นดังนี้: ${\displaystyle D}$

${\displaystyle \varphi =2\cdot D_{1/2}(h*\varphi )}$

หมายความว่าเราจะได้ฟังก์ชันนั้นอีกครั้ง หากเราทำการคอนโวลูชันฟังก์ชันนั้นกับมาสก์แบบไม่ต่อเนื่อง แล้วจึงปรับขนาดกลับคืนมา มีความคล้ายคลึงกับระบบฟังก์ชันแบบวนซ้ำและเส้นโค้งเดอแรม

ตัวดำเนินการนั้นเป็นเชิงเส้น ฟังก์ชันที่ปรับปรุงได้คือฟังก์ชันเฉพาะของตัวดำเนินการนั้นค่าสัมบูรณ์ ของมัน ไม่ได้ถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง กล่าวคือ ถ้าเป็นฟังก์ชันที่ปรับปรุงได้แล้ว สำหรับทุกค่าฟังก์ชันก็เป็นฟังก์ชันที่ปรับปรุงได้เช่นกัน ${\displaystyle \varphi \mapsto 2\cdot D_{1/2}(h*\varphi )}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle c}$${\displaystyle c\cdot \varphi }$

ฟังก์ชันเหล่านี้มีบทบาทสำคัญในทฤษฎีเวฟเล็ต ในฐานะ ฟังก์ชันปรับขนาด

ฟังก์ชันที่สามารถปรับแต่งได้นั้นถูกกำหนดไว้โดยปริยายเท่านั้น นอกจากนี้ อาจมีฟังก์ชันหลายฟังก์ชันที่สามารถปรับแต่งได้โดยสัมพันธ์กับมาสก์เดียวกัน หากฟังก์ชันนั้นมีขอบเขตจำกัดและต้องการค่าฟังก์ชันที่อาร์กิวเมนต์เป็นจำนวนเต็ม สมการสองระดับจะกลายเป็นระบบ สม การ เชิงเส้นพร้อมกัน${\displaystyle \varphi }$

ให้เป็นดัชนีต่ำสุด และเป็นดัชนีสูงสุดขององค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ของแล้วจะได้ว่า ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle h}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varphi (a)\\\varphi (a+1)\\\vdots \\\varphi (b)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}h_{a}&&&&&\\h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&&&\\h_{a+4}&h_{a+3}&h_{a+2}&h_{a+1}&h_{a}&\\\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots \\&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}&h_{b-3}&h_{b-4}\\&&&h_{b}&h_{b-1}&h_{b-2}\\&&&&&h_{b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varphi (a)\\\varphi (a+1)\\\vdots \\\varphi (b)\end{pmatrix}}.}$$

โดยใช้ ตัวดำเนินการ ดิสครีต (เรียกมันว่าอย่างนั้น) และเมทริกซ์ถ่ายโอนของซึ่งตั้งชื่อว่าสามารถเขียนได้อย่างกระชับดังนี้ ${\displaystyle Q}$${\displaystyle h}$${\displaystyle T_{h}}$$${\displaystyle Q\varphi =T_{h}Q\varphi .}$$

นี่ก็เป็นสมการจุดตรึง อีกสม การหนึ่ง แต่ในที่นี้สามารถพิจารณาได้ว่าเป็น ปัญหา เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ - ค่าลักษณะเฉพาะกล่าวคือ ฟังก์ชันที่ปรับปรุงได้ซึ่งมีขอบเขตจำกัดจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อ (แต่ไม่จำเป็นเสมอไป) มีค่าลักษณะเฉพาะเท่ากับ 1 ${\displaystyle T_{h}}$

จากค่าที่จุดอินทิกรัล คุณสามารถหาค่าที่จุดไดอะดิกได้ กล่าวคือ จุดที่มีรูปแบบโดย ที่และ${\displaystyle k\cdot 2^{-j}}$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle j\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \varphi =D_{1/2}(2\cdot (h*\varphi ))}$

${\displaystyle D_{2}\varphi =2\cdot (h*\varphi )}$

${\displaystyle Q(D_{2}\varphi )=Q(2\cdot (h*\varphi ))=2\cdot (h*Q\varphi )}$

เครื่องหมายดอกจันแสดงถึงการคอนโวลูชันของตัวกรองแบบไม่ต่อเนื่องกับฟังก์ชัน ด้วยขั้นตอนนี้ คุณสามารถคำนวณค่าที่จุดต่างๆ ในรูปแบบได้ โดยการแทนที่ซ้ำๆด้วยคุณจะได้ค่าที่ระดับละเอียดขึ้นทั้งหมด ${\displaystyle {\frac {k}{2}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle D_{2}\varphi }$

$${\displaystyle Q(D_{2^{j+1}}\varphi )=2\cdot (h*Q(D_{2^{j}}\varphi ))}$$

ถ้าสามารถปรับปรุงได้โดยสัมพันธ์กับและสามารถปรับปรุงได้โดยสัมพันธ์กับแล้ว ก็สามารถปรับปรุงได้โดยสัมพันธ์กับ ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle h}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle g}$${\displaystyle \varphi *\psi }$${\displaystyle h*g}$

ถ้าสามารถปรับให้ละเอียดขึ้นได้โดยสัมพันธ์กับและอนุพันธ์มีอยู่จริง ก็สามารถปรับให้ละเอียดขึ้นได้โดยสัมพันธ์กับ เช่นกันซึ่งสามารถตีความได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของคุณสมบัติการสังเคราะห์ โดยที่ตัวดำเนินการสังเคราะห์ตัวหนึ่งเป็นอนุพันธ์ของ อิมพัล ส์ ของ ดิแรก${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle h}$${\displaystyle \varphi '}$${\displaystyle \varphi '}$${\displaystyle 2\cdot h}$

ถ้าสามารถปรับให้ละเอียดขึ้นได้โดยสัมพันธ์กับและมีอนุพันธ์ผกผันที่มีแล้วอนุพันธ์ผกผันนั้นจะสามารถปรับให้ละเอียดขึ้นได้โดยสัมพันธ์กับมาสก์โดยที่ค่าคงที่ต้องเป็นไปตามเงื่อนไข ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle h}$${\displaystyle \Phi }$${\textstyle \Phi (t)=\int _{0}^{t}\varphi (\tau )\,\mathrm {d} \tau }$${\displaystyle t\mapsto \Phi (t)+c}$${\textstyle {\frac {1}{2}}\cdot h}$${\displaystyle c}$${\textstyle c\cdot \left(1-\sum _{j}h_{j}\right)=\sum _{j}h_{j}\cdot \Phi (-j)}$

ถ้าฟังก์ชันมี ขอบเขตจำกัด เราสามารถตีความการอินทิเกรตเป็นการสังเคราะห์ร่วมกับฟังก์ชัน Heavisideและใช้กฎการสังเคราะห์ร่วมได้ ${\displaystyle \varphi }$

การคำนวณผลคูณสเกลาร์ของฟังก์ชันที่ปรับปรุงได้สองฟังก์ชันและการแปลของฟังก์ชันเหล่านั้น สามารถแยกย่อยได้เป็นคุณสมบัติสองข้อข้างต้น ให้ เป็นตัวดำเนินการการแปล โดยเป็นไปตามเงื่อนไข ที่ว่า โดยที่คือตัวผกผันของเมื่อเทียบกับการสังเคราะห์นั่นคือคือเวอร์ชันที่พลิกกลับและ สัง ยุคเชิงซ้อนของนั่น คือ${\displaystyle T}$$${\displaystyle \langle \varphi ,T_{k}\psi \rangle =\langle \varphi *\psi ^{*},T_{k}\delta \rangle =(\varphi *\psi ^{*})(k)}$$${\displaystyle \psi ^{*}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi ^{*}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi ^{*}(t)={\overline {\psi (-t)}}}$

เนื่องจากคุณสมบัติข้างต้นจึงสามารถปรับปรุงได้โดยสัมพันธ์กับและค่าของมันที่อาร์กิวเมนต์อินทิกรัลสามารถคำนวณได้เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์การถ่ายโอน แนวคิดนี้สามารถขยายไปสู่อินทิกรัลของผลคูณของฟังก์ชันที่ปรับปรุงได้มากกว่าสองฟังก์ชันได้อย่างง่ายดาย^{[ 1 ]}${\displaystyle \varphi *\psi ^{*}}$${\displaystyle h*g^{*}}$

ฟังก์ชันที่ปรับปรุงได้มักจะมีรูปร่างแบบแฟรกทัล การออกแบบฟังก์ชันที่ปรับปรุงได้แบบต่อเนื่องหรือเรียบนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย ก่อนที่จะจัดการกับการบังคับให้เรียบ จำเป็นต้องวัดความเรียบของฟังก์ชันที่ปรับปรุงได้ การใช้เครื่อง Villemoes ^{[ 2 ]} สามารถคำนวณความเรียบของฟังก์ชันที่ปรับปรุงได้ในแง่ของเลขชี้กำลัง Sobolevได้

ในขั้นตอนแรก หน้ากากการปรับแต่งจะถูกแบ่งออกเป็นตัวกรองซึ่งเป็นกำลังของปัจจัยความเรียบ(นี่คือหน้ากากแบบทวินาม) และส่วนที่เหลือกล่าวโดยคร่าว ๆ หน้ากากแบบทวินามจะทำให้เกิดความเรียบและ แสดงถึงส่วนประกอบแบบแฟรกทัล ซึ่งจะลดความเรียบลงอีกครั้ง ตอนนี้เลขชี้กำลังของโซโบเลฟโดยประมาณแล้วจะ อยู่ ในลำดับลบ ของ ลอการิทึมของรัศมีสเปกตรัมของ${\displaystyle h}$${\displaystyle b}$${\displaystyle (1,1)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle b}$${\displaystyle q}$${\displaystyle b}$${\displaystyle T_{q*q^{*}}}$

แนวคิดของฟังก์ชันที่สามารถปรับแต่งได้นั้น สามารถขยายไปสู่ฟังก์ชันที่มีตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัวได้ นั่นคือฟังก์ชันจากการขยายที่ง่ายที่สุดคือเกี่ยวกับผลคูณเทนเซอร์ถ้าและสามารถปรับแต่งได้โดยสัมพันธ์กับและตามลำดับ แล้ว ก็สามารถปรับแต่งได้โดยสัมพันธ์กับ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle h}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \varphi \otimes \psi }$${\displaystyle h\otimes g}$

แผนการนี้สามารถขยายให้ครอบคลุมถึงปัจจัยการปรับขนาดที่แตกต่างกันโดยสัมพันธ์กับมิติที่แตกต่างกัน หรือแม้แต่การผสมข้อมูลระหว่างมิติ^{[ 3 ]} แทนที่จะปรับขนาดด้วยปัจจัยสเกลาร์ เช่น 2 พิกัดสัญญาณจะถูกแปลงด้วยเมทริกซ์ของจำนวนเต็ม เพื่อให้แผนการนี้ทำงานได้ ค่าสัมบูรณ์ของค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของต้องมีมากกว่าหนึ่ง (บางทีอาจจะเพียงพอแล้วที่.) ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \left|\det M\right|>1}$

ตามหลักการแล้ว สมการสองระดับไม่ได้เปลี่ยนแปลงไปมากนัก: $${\displaystyle \varphi (x)=\left|\det M\right|\cdot \sum _{k\in \mathbb {Z} ^{d}}h_{k}\cdot \varphi (M\cdot x-k)}$$$${\displaystyle \varphi =\left|\det M\right|\cdot D_{M^{-1}}(h*\varphi )}$$

• หากขยายนิยามไปสู่การแจกแจงแล้วแรงกระตุ้นของ Diracสามารถปรับแต่งได้โดยสัมพันธ์กับเวกเตอร์หน่วยซึ่งเรียกว่าเดลต้าของ Kronecker อนุพันธ์ อันดับที่ ของการแจกแจง Dirac สามารถปรับแต่งได้โดยสัมพันธ์กับ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n}\cdot \delta }$
• ฟังก์ชันHeavisideสามารถปรับแต่งได้โดยสัมพันธ์กับ.${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot \delta }$
• ฟังก์ชันกำลังที่ถูกตัดทอนซึ่งมีเลขชี้กำลังสามารถปรับแต่งได้โดยสัมพันธ์กับ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\frac {1}{2^{n+1}}}\cdot \delta }$
• ฟังก์ชันสามเหลี่ยมเป็นฟังก์ชันที่สามารถปรับแต่งได้^{[ 4 ]} ฟังก์ชัน B-splineที่มีโหนดอินทิกรัลต่อเนื่องสามารถปรับแต่งได้ เนื่องจากทฤษฎีบทการสังเคราะห์และความสามารถในการปรับแต่งของฟังก์ชันลักษณะเฉพาะสำหรับช่วง( ฟังก์ชันกล่องสี่เหลี่ยม )${\displaystyle [0,1)}$
• ฟังก์ชันพหุนามทั้งหมดสามารถปรับปรุงได้ สำหรับหน้ากากการปรับปรุงแต่ละอันจะมีพหุนามที่กำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงจนถึงปัจจัยคงที่ สำหรับพหุนามทุกดีกรีจะมีหน้ากากการปรับปรุงมากมายที่แตกต่างกันโดยหน้ากากประเภทสำหรับหน้ากากใดๆและกำลังการสังเคราะห์^{[ 5 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle v*(1,-1)^{n+1}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle (1,-1)^{n+1}}$
• ฟังก์ชันเชิงตรรกะ สามารถปรับปรุงได้ก็ต่อเมื่อสามารถแสดงโดยใช้เศษส่วนย่อยได้โดยที่เป็นจำนวนธรรมชาติบวกและเป็นลำดับจริงที่มีองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์จำนวนจำกัด ( พหุนามลอเรนต์ ) เช่นนั้น(อ่าน: ) พหุนามลอเรนต์เป็นหน้ากากการปรับปรุงที่เกี่ยวข้อง^{[ 6 ]}${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi (x)=\sum _{i\in \mathbb {Z} }{\frac {s_{i}}{(x-i)^{k}}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s|(s\uparrow 2)}$${\displaystyle \exists h(z)\in \mathbb {R} [z,z^{-1}]\ h(z)\cdot s(z)=s(z^{2})}$${\displaystyle 2^{k-1}\cdot h}$

• แผนผังการแบ่งที่ดิน