ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตการฝังแบบปิด ของสกีมคือการฝังแบบปกติที่มีมิติร่วมrถ้าแต่ละจุดxในXมีบริเวณใกล้เคียงเชิงเส้นตรงแบบเปิดUในYซึ่งอุดมคติของ U ถูกสร้างขึ้นโดยลำดับปกติที่มีความยาวrการฝังแบบปกติที่มีมิติร่วมหนึ่งคือตัวหารคาร์เทียร์ที่มีประสิทธิภาพนั่นเอง ${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y}$${\displaystyle X\cap U}$

ตัวอย่างเช่น ถ้าXและYเรียบเหนือแผนผังSและถ้าiเป็นS -morphism แล้วiเป็นการฝังแบบปกติ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทุกส่วนของ morphism ที่เรียบเป็นการฝังแบบปกติ^{[ 1 ]}ถ้าถูกฝังแบบปกติลงในแผนผังปกติBจะเป็น วงแหวน ตัดกันที่สมบูรณ์^{[ 2 ]}${\displaystyle \operatorname {Spec} B}$

แนวคิดนี้ถูกนำมาใช้ในลักษณะสำคัญ ตัวอย่างเช่น ในแนวทางของฟุลตันเกี่ยวกับทฤษฎีการตัดกันข้อเท็จจริงที่สำคัญคือ เมื่อiเป็นการฝังตัวแบบปกติ ถ้าIเป็นชีฟในอุดมคติของXในYแล้วชีฟปกติซึ่งเป็นคู่ของจะเป็นชีฟอิสระเฉพาะที่ (ดังนั้นจึงเป็นบันเดิลเวกเตอร์) และแผนที่ธรรมชาติจะเป็นไอโซมอร์ฟิซึม: กรวยปกติจะตรงกับบันเดิลปกติ ${\displaystyle I/I^{2}}$${\displaystyle \operatorname {Sym} (I/I^{2})\to \oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (\oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1})}$

ตัวอย่างที่ไม่ถูกต้องอย่างหนึ่งคือแบบแผนที่ไม่ใช่แบบมิติเท่ากัน ตัวอย่างเช่น แบบแผนนี้

${\displaystyle X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xz,yz)}}\right)}$

คือการรวมกันของและดังนั้น การฝังตัวจึงไม่ปกติ เนื่องจากจุดใดๆ ที่ไม่ใช่จุดกำเนิดบนแกน x จะมีมิติเท่ากับในขณะที่จุดใดๆ ที่ไม่ใช่จุดกำเนิดบนระนาบ x จะมีมิติเท่ากับ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle X\hookrightarrow \mathbb {A} ^{3}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle xy}$${\displaystyle 2}$

มอร์ฟิซึมประเภทจำกัดเรียกว่ามอร์ฟิซึมการตัดกันที่สมบูรณ์ (เฉพาะที่)ถ้าแต่ละจุดxในXมีย่านใกล้เคียงเชิงเส้นเปิดUโดยที่f | _Uแยกตัวประกอบได้เป็น โดยที่jคือการฝังแบบปกติและgเป็นแบบเรียบ [ ^{3 ] ตัวอย่าง} เช่น ถ้าfเป็นมอร์ฟิซึมระหว่างวาไรตี้เรียบfจะแยกตัวประกอบได้เป็น โดยที่แผนที่แรกเป็นมอร์ฟิซึมกราฟและดังนั้นจึงเป็นมอร์ฟิซึมการตัดกันที่สมบูรณ์ สังเกตว่าคำจำกัดความนี้เข้ากันได้กับคำจำกัดความใน EGA IV สำหรับกรณีพิเศษของ มอร์ฟิ ซึมแบบแบน^{[ 4 ]}${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle U{\overset {j}{\to }}V{\overset {g}{\to }}Y}$${\displaystyle X\to X\times Y\to Y}$

ให้เป็นมอร์ฟิซึมการตัดกันแบบสมบูรณ์เฉพาะที่ซึ่งยอมรับการแยกตัวประกอบทั่วโลก: เป็นการประกอบที่เป็นการฝังแบบปกติและเป็นมอร์ฟิซึมเรียบ จากนั้นบันเดิลสัมผัสเสมือนเป็นองค์ประกอบของกลุ่ม Grothendieckของบันเดิลเวกเตอร์บนXที่กำหนดดังนี้: ^{[ 5 ]}${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X{\overset {i}{\hookrightarrow }}P{\overset {p}{\to }}Y}$${\displaystyle i}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle T_{f}=[i^{*}T_{P/Y}]-[N_{X/P}]}$,

โดยที่คือชีฟสัมผัสสัมพัทธ์ของ (ซึ่งเป็นชีฟอิสระเฉพาะที่เนื่องจากเป็นชีฟเรียบ) และคือชีฟปกติ (โดยที่คือชีฟอุดมคติของใน) ซึ่งเป็นชีฟอิสระเฉพาะที่เนื่องจาก เป็นการฝังตัวแบบปกติ ${\displaystyle T_{P/Y}=\โอเมก้า _{P/Y}^{\vee }}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle N}$${\displaystyle ({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2})^{\vee }}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {I}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle i}$

โดยทั่วไปแล้ว หากเป็น มอร์ฟิซึมการตัดกันที่สมบูรณ์แบบเฉพาะ ที่ของสกีม โคแทนเจนต์คอมเพล็กซ์ ของมัน จะเป็นเพอร์ เฟกต์ ของแอมพลิจูดทอร์ [-1,0] ยิ่งไปกว่านั้น หากเป็นประเภทจำกัดเฉพาะที่และเป็นโนเธอร์เรียนเฉพาะที่แล้ว ข้อความกลับกันก็เป็นจริงเช่นกัน^{[ 6 ]}${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$${\displaystyle L_{X/Y}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Y}$

แนวคิดเหล่านี้ถูกนำมาใช้ในทฤษฎีบท Grothendieck–Riemann–Rochเป็นต้น

SGA 6 Exposé VIIใช้รูปแบบที่อ่อนกว่าเล็กน้อยของแนวคิดการฝังแบบปกติ ซึ่งสอดคล้องกับที่นำเสนอไว้ข้างต้นสำหรับแผนผัง Noetherian:

ประการแรก เมื่อกำหนดโมดูลเชิงโปรเจกทีฟ Eเหนือวงแหวนสลับที่Aแผนที่เชิงเส้นAเรียกว่าKoszul-regularหากคอมเพล็กซ์ Koszulที่กำหนดโดยแผนที่นั้นไม่มีวัฏจักรในมิติ > 0 (ดังนั้นจึงเป็นการแก้ปัญหาของโคเคอร์เนลของu ) ^{[ 7 ]} จากนั้นการฝังแบบปิดเรียกว่าKoszul-regularหากชีฟอุดมคติที่กำหนดโดยแผนที่นั้นเป็นเช่นนั้น ในระดับท้องถิ่นจะมีโมดูลA อิสระจำกัด Eและการส่งแบบ Koszul-regular จากEไปยังชีฟอุดมคติ^{[ 8 ]}${\displaystyle u:E\to A}$${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$

ความสม่ำเสมอของ Koszul นี้ถูกนำมาใช้ใน SGA 6 ^{[ 9 ]}สำหรับการกำหนดมอร์ฟิซึมการตัดกันที่สมบูรณ์แบบในระดับท้องถิ่น โดยระบุว่าความสม่ำเสมอของ Koszul มีจุดประสงค์เพื่อแทนที่คำจำกัดความที่ให้ไว้ก่อนหน้านี้ในบทความนี้ และปรากฏครั้งแรกใน EGA IV ที่เผยแพร่แล้ว^{[ 10 ]}

(คำถามนี้เกิดขึ้นเนื่องจากการอธิบายเรื่องตัวหารศูนย์นั้นซับซ้อนสำหรับวงแหวนที่ไม่ใช่แบบโนเธอร์เรียน เพราะไม่สามารถใช้ทฤษฎีของจำนวนเฉพาะที่สัมพันธ์กันได้)

• ท่อร่วมไอดีแบบปกติ