ในทางคณิตศาสตร์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีวิเคราะห์ของเศษส่วนต่อเนื่องปกติเศษส่วนต่อเนื่องปกติอนันต์xเรียกว่าเป็น เศษส่วนต่อเนื่อง จำกัดหรือประกอบด้วยผลหารย่อยจำกัดถ้าลำดับของตัวส่วนของผลหารย่อยนั้นมีขอบเขต นั่นคือ

${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{a_{4}+\ddots }}}}}}}}=a_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{K}}}{\frac {1}{a_{i}}},\,}$

และมีจำนวนเต็มบวกM บางจำนวน ที่ทำให้ตัวส่วนย่อยทั้งหมด ( จำนวนเต็ม ) a มี ค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับM ^{[ 1 ] [ 2 ]}

เศษส่วนต่อเนื่องแบบคาบปกติประกอบด้วยบล็อกเริ่มต้นที่มีจำนวนจำกัดของตัวส่วนย่อย ตามด้วยบล็อกที่ซ้ำกัน ถ้า

${\displaystyle \zeta =[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},{\overline {a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+m}}}],\,}$

ดังนั้น ζ จึงเป็น จำนวนอตรรกยะ กำลังสองและการแสดง ζ ในรูปเศษส่วนต่อเนื่องปกติจะเป็นแบบคาบ เห็นได้ชัดว่าเศษส่วนต่อเนื่องปกติแบบคาบใดๆ ประกอบด้วยผลหารย่อยแบบจำกัด เนื่องจากตัวส่วนย่อยใดๆ ก็ตามไม่สามารถมากกว่าค่าที่มากที่สุดของ + m ได้นักคณิตศาสตร์ศึกษาเศษส่วนต่อเนื่องแบบคาบก่อนที่จะพิจารณาแนวคิดทั่วไปของผลหารย่อยแบบจำกัด

เซตแคนเตอร์เป็นเซตCที่มีมาตรเป็นศูนย์ซึ่งสามารถสร้างช่วง สมบูรณ์ของจำนวนจริงได้โดยการบวกอย่างง่าย กล่าวคือ จำนวนจริงใดๆ ในช่วงนั้นสามารถแสดงได้ในรูปผลรวมของสมาชิกสองตัวในเซต Cเท่านั้น การพิสูจน์การมีอยู่ของเซตแคนเตอร์โดยทั่วไปนั้นอาศัยแนวคิดของการเจาะ "รู" ตรงกลางช่วง จากนั้นเจาะรูในช่วงย่อยที่เหลือ และทำซ้ำกระบวนการนี้ไปเรื่อยๆอย่างไม่มีที่สิ้นสุด

กระบวนการเพิ่มผลหารย่อยอีกหนึ่งตัวให้กับเศษส่วนต่อเนื่องจำกัดนั้น ในหลายๆ ด้านคล้ายคลึงกับกระบวนการ "เจาะรู" ในช่วงของจำนวนจริง ขนาดของ "รู" นั้นแปรผกผันกับตัวส่วนย่อยตัวถัดไปที่เลือก – ถ้าตัวส่วนย่อยตัวถัดไปเป็น 1 ช่องว่างระหว่างการลู่เข้า ที่ต่อเนื่องกัน จะมากที่สุด เพื่อให้ทฤษฎีบทต่อไปนี้มีความแม่นยำ เราจะพิจารณา CF( M ) ซึ่งเป็นเซตของเศษส่วนต่อเนื่องที่จำกัดซึ่งมีค่าอยู่ในช่วงเปิด (0, 1) และตัวส่วนย่อยของเศษส่วนเหล่านี้ถูกจำกัดด้วยจำนวนเต็มบวกM – นั่นคือ

${\displaystyle \mathrm {CF} (M)=\{[0;a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]:1\leq a_{i}\leq M\}.\,}$

โดยการใช้เหตุผลที่คล้ายคลึงกันกับที่ใช้ในการสร้างเซตแคนเตอร์ จะได้ผลลัพธ์ที่น่าสนใจสองประการ

• ถ้าM ≥ 4 แล้ว จำนวนจริงใดๆ ในช่วงหนึ่งสามารถสร้างขึ้นได้จากผลรวมของสององค์ประกอบจาก CF( M ) โดยที่ช่วงนั้นกำหนดโดย

${\displaystyle (2\times [0;{\overline {M,1}}],2\times [0;{\overline {1,M}}])=\left({\frac {1}{M}}\left[{\sqrt {M^{2}+4M}}-M\right],{\sqrt {M^{2}+4M}}-M\right).}$

• การให้เหตุผลอย่างง่ายแสดงให้เห็นว่าเป็นจริงเมื่อM  ≥ 4 และในทางกลับกันสิ่งนี้บ่งชี้ว่าถ้าM  ≥ 4 จำนวนจริงทุกจำนวนสามารถแสดงในรูปแบบn  + CF  + CF ได้ โดยที่nเป็นจำนวนเต็ม และ CF และ CF เป็นองค์ประกอบของ CF( M ) ^{[ 3 ]}${\displaystyle [0;{\overline {1,M}}]-[0;{\overline {M,1}}]\geq {\frac {1}{2}}}$

Zarembaได้ตั้งสมมติฐานเกี่ยวกับการมีอยู่ของค่าคงที่สัมบูรณ์Aซึ่งทำให้จำนวนตรรกยะที่มีผลหารย่อยที่ถูกจำกัดโดยAมีอย่างน้อยหนึ่งตัวสำหรับตัวส่วนทุกตัว (จำนวนเต็มบวก) การเลือกA = 5 สอดคล้องกับหลักฐานเชิงตัวเลข^{[ 4 ]}สมมติฐานเพิ่มเติมลดค่าดังกล่าวลง ในกรณีของตัวส่วนที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ^{[ 5 ]} Jean BourgainและAlex Kontorovichได้แสดงให้เห็นว่า สามารถเลือก Aได้เพื่อให้ข้อสรุปเป็นจริงสำหรับเซตของตัวส่วนที่มีความหนาแน่น 1 ^{[ 6 ]}

• สเปกตรัมมาร์คอฟ