ในแคลคูลัสลิมิตด้านเดียวหมายถึงลิมิตด้านใดด้านหนึ่งจากสองลิมิตของฟังก์ชัน ของตัวแปรจริงเมื่อเข้าใกล้จุดที่กำหนดจากทางซ้ายหรือทางขวา^{[ 1 ] [ 2 ]}${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

ขีดจำกัด เมื่อค่าลดลงเข้าใกล้( เข้าใกล้"จากทางขวา" ^{[ 3 ]}หรือ "จากด้านบน") จะถูกระบุ: ^{[ 1 ] [ 2 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)\quad {\text{ หรือ }}\quad \lim _{x\,\downarrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ หรือ }}\quad \lim _{x\searrow a}\,f(x)\quad {\text{ หรือ }}\quad f(a+).}$$

ขีดจำกัด เมื่อค่าเพิ่มขึ้นเข้าใกล้( เข้าใกล้"จากทางซ้าย" ^{[ 4 ] [ 5 ]}หรือ "จากด้านล่าง") จะถูกระบุ: ^{[ 1 ] [ 2 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)\quad {\text{ หรือ }}\quad \lim _{x\,\uparrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ หรือ }}\quad \lim _{x\nearrow a}\,f(x)\quad {\text{ หรือ }}\quad f(a-).}$$

ถ้าลิมิตจากด้านซ้ายและด้านขวามีอยู่และเท่ากัน ลิมิตของเมื่อเข้าใกล้ n ก็ จะมีอยู่ ในทางกลับกัน ถ้าลิมิตของเมื่อเข้าใกล้ n มีอยู่ ลิมิตจากด้านซ้ายและด้านขวาก็จะมีอยู่และเท่ากัน ดังนั้น ลิมิตของเมื่อเข้าใกล้ n จึงบางครั้งเรียกว่า "ลิมิตสองด้าน" โดยใช้สัญลักษณ์: ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x).}$$

ในบางกรณีที่ลิมิตสองด้านไม่มีอยู่จริง ลิมิตด้านเดียวทั้งสองแบบก็ยังคงมีอยู่ และจะต้องไม่เท่ากันอย่างแน่นอน

เป็นไปได้ที่ลิมิตด้านเดียวเพียงตัวเดียวจากสองตัวนั้นจะมีอยู่จริง และเป็นไปได้เช่นกันที่ลิมิตด้านเดียวทั้งสองตัวนั้นจะไม่มีอยู่เลย

ถ้าแทนช่วงเวลาบางช่วงที่อยู่ในโดเมนของฟังก์ชันและถ้าเป็นจุดในแล้วลิมิตด้านขวาเมื่อเข้าใกล้สามารถกำหนดได้อย่างเข้มงวดเป็นค่าที่สอดคล้องกับ: ^{[ 6 ]}${\displaystyle I}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle I}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle R}$

สำหรับทุก ๆจะมีบางค่าที่ทำให้สำหรับทุก ๆถ้าแล้ว${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x\in I}$${\displaystyle 0<xa<\delta }$${\displaystyle |f(x)-R|<\varepsilon }$

และขีดจำกัดด้านซ้ายเมื่อ พิจารณาตาม แนวทางต่างๆสามารถกำหนดได้อย่างเข้มงวดว่าเป็นค่าที่ตรงตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้: ${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle L}$

สำหรับทุก ๆจะมีอยู่บางค่าที่ทำให้สำหรับทุก ๆถ้าเช่นนั้น.${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x\in I}$${\displaystyle 0<ax<\delta }$${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$

นิยามเหล่านี้สามารถแสดงในเชิงสัญลักษณ์ได้ดังนี้: ให้แทนช่วงเวลา โดยที่และแล้ว ${\displaystyle I}$${\displaystyle I\subseteq \mathrm {domain} (f)}$${\displaystyle a\in I}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to a^{+}}f(x)=R&\iff \forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,0<x-a<\delta \longrightarrow |f(x)-R|<\varepsilon ,\\\lim _{x\to a^{-}}f(x)=L&\iff \forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,0<a-x<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon .\end{aligned}}}$$

เมื่อเปรียบเทียบกับนิยามอย่างเป็นทางการของลิมิตของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง ลิมิตด้านเดียว (ตามชื่อที่บ่งบอก) จะพิจารณาเฉพาะค่าอินพุตที่อยู่ด้านใดด้านหนึ่งของค่าอินพุตที่เข้าใกล้เท่านั้น

เพื่อเป็นข้อมูลอ้างอิง นิยามอย่างเป็นทางการของลิมิตของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งมีดังนี้:

$${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L~~~\iff ~~~\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon .}$$

ในการกำหนดลิมิตด้านเดียว เราต้องปรับเปลี่ยนอสมการนี้ โปรดสังเกตว่าระยะทางสัมบูรณ์ระหว่างและคือ ${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$

$${\displaystyle |x-a|=|(-1)(-x+a)|=|(-1)(a-x)|=|(-1)||a-x|=|a-x|.}$$

สำหรับลิมิตจากทางขวา เราต้องการให้ อยู่ทางขวาของซึ่งหมายความว่าดังนั้น จึง เป็นค่าบวก จากข้างต้นคือระยะห่างระหว่างและเราต้องการจำกัดระยะห่างนี้ด้วยค่า ของเราทำให้ได้อสมการเมื่อรวมอสมการและ เข้าด้วยกัน และใช้ คุณสมบัติ การถ่ายทอดของอสมการ เราจะได้อสมการแบบผสม ${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a<x}$${\displaystyle x-a}$${\displaystyle x-a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle x-a<\delta }$${\displaystyle 0<x-a}$${\displaystyle x-a<\delta }$${\displaystyle 0<x-a<\delta }$

ในทำนองเดียวกัน สำหรับลิมิตจากทางซ้าย เราต้องการให้ อยู่ทางซ้ายของซึ่งหมายความว่าในกรณีนี้ มีค่าเป็นบวกและแสดงถึงระยะห่างระหว่าง และอีกครั้ง เราต้องการจำกัดระยะห่างนี้ด้วยค่า ของเราซึ่งนำไปสู่ความไม่เท่าเทียมกันแบบผสม ${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x<a}$${\displaystyle a-x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle 0<a-x<\delta }$

เมื่อค่าของอยู่ในช่วงที่ต้องการแล้ว เราคาดว่าค่าของก็จะอยู่ในช่วงที่ต้องการเช่นกัน ระยะห่างระหว่างและซึ่งเป็นค่าลิมิตด้านซ้ายคือ ในทำนองเดียวกันระยะห่างระหว่างและซึ่งเป็นค่าลิมิตด้านขวาคือในทั้งสองกรณี เราต้องการจำกัดระยะห่างนี้ด้วยดังนั้นเราจะได้ดังนี้: สำหรับลิมิตด้านซ้าย และสำหรับลิมิตด้านขวา ${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle |f(x)-L|}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle |f(x)-R|}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$${\displaystyle |f(x)-R|<\varepsilon }$

ตัวอย่างที่ 1.ลิมิตจากทางซ้ายและทางขวาของเมื่อเข้าใกล้คือ ตามลำดับ เหตุผลก็คือ เพราะมีค่าเป็นลบเสมอ (เนื่องจากหมายความว่าโดยที่ค่าทั้งหมดของสอดคล้องกับ) ซึ่งหมายความว่ามีค่าเป็นบวกเสมอ ดังนั้น จึงลู่เข้าสู่^{[หมายเหตุ 1 ]} (และไม่ใช่) เมื่อเข้าใกล้จากทางซ้าย ในทำนองเดียวกันเนื่องจากค่าทั้งหมดของสอดคล้องกับ(กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีค่าเป็นบวกเสมอ) เมื่อเข้าใกล้จากทางขวา ซึ่งหมายความว่ามีค่าเป็นลบเสมอ ดังนั้น จึงลู่เข้าสู่${\textstyle g(x):=-{\frac {1}{x}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a:=0}$$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}-{\frac {1}{x}}=+\infty \qquad {\text{ and }}\qquad \lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty .}$$${\textstyle \lim _{x\to 0^{-}}-{\frac {1}{x}}=+\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\to 0^{-}}$${\displaystyle x\to 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x<0}$${\displaystyle -1/x}$${\textstyle \lim _{x\to 0^{-}}-{\frac {1}{x}}}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle 0}$${\textstyle \lim _{x\to 0^{+}}-{\frac {1}{x}}=-\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x>0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle -1/x}$${\textstyle \lim _{x\to 0^{+}}-{\frac {1}{x}}}$${\displaystyle -\infty .}$

ตัวอย่างที่ 2ตัวอย่างหนึ่งของฟังก์ชันที่มีลิมิตด้านเดียวต่างกันคือโดยที่ลิมิตจากด้านซ้ายคือและลิมิตจากด้านขวาคือในการคำนวณลิมิตเหล่านี้ ก่อนอื่นให้แสดงว่า ซึ่งเป็นจริงเพราะและ ดังนั้น ผลที่ตามมาคือ ในขณะที่เนื่องจากตัวส่วนลู่เข้าสู่อนันต์ นั่นคือ เพราะเนื่องจากลิมิตจึงไม่มีอยู่จริง ${\textstyle f(x)={\frac {1}{1+2^{-1/x}}}}$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)=0}$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f(x)=1.}$$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}2^{-1/x}=\infty \qquad {\text{ and }}\qquad \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}=0,}$$${\textstyle \lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty }$${\textstyle \lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty }$$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+0}}=1}$$${\textstyle \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}=0}$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}1+2^{-1/x}=\infty }$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to 0^{+}}f(x)}$${\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)}$

ลิมิตด้านเดียวของจุดสอดคล้องกับคำจำกัดความทั่วไปของลิมิตโดยโดเมนของฟังก์ชันถูกจำกัดไว้ที่ด้านเดียว โดยอาจอนุญาตให้โดเมนของฟังก์ชันเป็นเซตย่อยของปริภูมิโทโพโลยี หรือโดยพิจารณาปริภูมิย่อยด้านเดียว รวมถึง^{[ 1 ]}อีกทางหนึ่ง อาจพิจารณาโดเมนที่มี โทโพโล ยี ช่วงครึ่งเปิด${\displaystyle p}$${\displaystyle p.}$

ทฤษฎีบทที่น่าสนใจซึ่งเกี่ยวข้องกับลิมิตด้านเดียวของอนุกรมกำลัง บางประเภท ณ ขอบเขตของช่วงการลู่เข้าคือทฤษฎีบทของอาเบล

• เส้นจริงที่ขยายออกไปในเชิงการฉายภาพ
• ความสามารถในการหาอนุพันธ์แบบกึ่ง
• จำกัดด้านบนและจำกัดด้านล่าง