ในด้านอิเล็กทรอนิกส์เมื่ออธิบายฟังก์ชันขั้นบันไดของแรงดันหรือกระแส เวลาเพิ่มขึ้น ( rise time)คือเวลาที่สัญญาณ ใช้ ในการเปลี่ยนแปลงจากค่าต่ำที่กำหนดไปยังค่าสูงที่กำหนด^{[ 1 ]}ค่าเหล่านี้อาจแสดงเป็นอัตราส่วน^{[ 2 ]}หรือเทียบเท่าเป็นเปอร์เซ็นต์^{[ 3 ]}เมื่อเทียบกับค่าอ้างอิงที่กำหนด ในอิเล็กทรอนิกส์อนาล็อกและอิเล็กทรอนิกส์ดิจิทัลเปอร์เซ็นต์เหล่านี้มักจะเป็น 10% และ 90% (หรือเทียบเท่า0.1และ0.9 ) ของความสูงของขั้นบันไดเอาต์พุต^{[ 4 ]}อย่างไรก็ตาม ค่าอื่นๆ ก็มีการใช้กันทั่วไป^{[ 5 ]}สำหรับการใช้งานในทฤษฎีการควบคุม ตามที่Levine (1996 , หน้า 158) กล่าวไว้ เวลาเพิ่มขึ้น (rise time) ถูกกำหนดให้เป็น " เวลาที่จำเป็นสำหรับการตอบสนองที่จะเพิ่มขึ้นจากx%เป็นy%ของค่าสุดท้าย " โดยเวลาเพิ่มขึ้น 0% ถึง 100% เป็นเรื่องปกติสำหรับระบบอันดับสองแบบหน่วงน้อย (underdamped) 5% ถึง 95% สำหรับแบบ หน่วงวิกฤต (critically damped ) และ 10% ถึง 90% สำหรับแบบหน่วง มาก เกินไป (overdamped ) ^{[ 6 ]}

ในทำนองเดียวกันเวลาลดลง ( เวลาการสลายตัวของพัลส์ ) คือเวลาที่ใช้สำหรับแอมพลิจูดของพัลส์ลดลง (ลดลง) จากค่าที่กำหนด (โดยปกติคือ 90% ของค่าสูงสุด โดยไม่รวมค่าเกินหรือต่ำกว่าค่าสูงสุด) ไปยังค่าที่กำหนดอีกค่าหนึ่ง (โดยปกติคือ 10% ของค่าสูงสุด โดยไม่รวมค่าเกินหรือต่ำกว่าค่าสูงสุด) บางครั้งอาจมีการระบุข้อจำกัดเพิ่มเติมเกี่ยวกับค่าต่ำกว่าค่าสูงสุดและการแกว่ง (หรือที่เรียกว่าการสั่นและการแกว่ง) เมื่อระบุข้อจำกัดของเวลาลดลง ${\displaystyle t_{f}}$

ตามที่Orwiler (1969 , หน้า 22) กล่าวไว้ คำว่า "เวลาเพิ่มขึ้น" ใช้ได้กับการตอบสนองแบบขั้นบันได ทั้งบวกและลบ แม้ว่าการเคลื่อนที่เชิงลบที่แสดงออกมาจะเรียกกันทั่วไปว่าเวลาลดลงก็ตาม^{[ 7 ]}

เวลาตอบสนอง (Rise time) เป็นพารามิเตอร์อนาล็อกที่มีความสำคัญพื้นฐานในอิเล็กทรอนิกส์ความเร็วสูงเนื่องจากเป็นตัววัดความสามารถของวงจรในการตอบสนองต่อสัญญาณอินพุตที่รวดเร็ว^{[ 8 ]}มีความพยายามมากมายในการลดเวลาตอบสนองของวงจร เครื่องกำเนิดไฟฟ้า และอุปกรณ์วัดและส่งข้อมูล การลดลงเหล่านี้มักเกิดจากการวิจัยเกี่ยวกับอุปกรณ์อิเล็กตรอน ที่เร็วขึ้น และจากเทคนิคการลดพารามิเตอร์วงจรที่ไม่พึงประสงค์ (ส่วนใหญ่คือตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำ) สำหรับการใช้งานนอกขอบเขตของอิเล็กทรอนิกส์ ความเร็วสูง บางครั้งเวลาตอบสนองที่ยาวนาน (เมื่อเทียบกับสถานะปัจจุบันที่สามารถทำได้) ก็เป็นที่ต้องการ ตัวอย่างเช่นการหรี่ไฟ ซึ่งเวลาตอบสนองที่ยาวนานขึ้นส่งผลให้หลอดไฟมีอายุการใช้งานยาวนานขึ้น หรือในการควบคุมสัญญาณอนาล็อกด้วยสัญญาณดิจิทัลโดยใช้สวิตช์อนาล็อก ซึ่งเวลาตอบสนองที่ยาวนานขึ้นหมายถึงการส่งผ่านความจุที่น้อยลง และด้วยเหตุนี้จึง มีสัญญาณรบกวน การเชื่อมต่อ กับสายสัญญาณอนาล็อกที่ควบคุม น้อยลง

^{สำหรับเอาต์พุต ของ}ระบบที่กำหนด เวลาเพิ่มขึ้นของระบบจะขึ้นอยู่กับทั้งเวลาเพิ่มขึ้นของสัญญาณอินพุตและลักษณะของระบบ [ ^{9 ]}

ตัวอย่างเช่น ค่าเวลาเพิ่มขึ้นในวงจรต้านทานส่วนใหญ่เกิดจากความจุและตัวเหนี่ยวนำ ที่ไม่พึงประสงค์ เนื่องจากทุกวงจรไม่เพียงแต่มีความต้านทานแต่ยังมีความจุและตัวเหนี่ยวนำด้วยจึงทำให้แรงดันและ/หรือกระแสที่โหลดเกิดความล่าช้าจนกว่า จะถึง สภาวะคงที่ในวงจร RC บริสุทธิ์ เวลาเพิ่มขึ้นของ ^{เอาต์พุต} (10% ถึง 90%) จะเท่ากับประมาณ2.2 RC ^{[ 10} ]

มีการใช้ คำจำกัดความอื่นของเวลาเพิ่มขึ้น นอกเหนือจากคำจำกัดความที่กำหนดโดยมาตรฐานของรัฐบาลกลาง 1037C (1997 , หน้า R-22) และการสรุปทั่วไปเล็กน้อยที่กำหนดโดยLevine (1996 , หน้า 158) เป็นครั้งคราว: ^{[ 11 ]}คำจำกัดความทางเลือกเหล่านี้แตกต่างจากมาตรฐานไม่เพียงแต่ระดับอ้างอิงที่พิจารณาเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ช่วงเวลาทางกราฟิกที่สอดคล้องกับจุดตัดของเส้นสัมผัสที่ลากผ่านจุด 50% ของการตอบสนองฟังก์ชันขั้นบันไดนั้นบางครั้งก็ถูกนำมาใช้^{[ 12 ]}คำจำกัดความอีกแบบหนึ่งที่นำเสนอโดยElmore (1948 , หน้า 57) ^{[ 13 ]}ใช้แนวคิดจากสถิติและทฤษฎีความน่าจะเป็นเมื่อพิจารณาการตอบสนองขั้นบันไดV ( t )เขาได้กำหนดนิยามใหม่ของเวลาหน่วงt _Dเป็นโมเมนต์แรกของอนุพันธ์อันดับแรกV′ ( t )นั่นคือ

${\displaystyle t_{D}={\frac {\int _{0}^{+\infty }tV^{\prime }(t)\,\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\,\mathrm {d} t}}.}$

สุดท้าย เขากำหนดช่วงเวลาเพิ่มขึ้นt _rโดยใช้โมเมนต์ที่สอง

${\displaystyle t_{r}^{2}={\frac {\int _{0}^{+\infty }(t-t_{D})^{2}V^{\prime }(t)\,\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\,\mathrm {d} t}}\quad \Longleftrightarrow \quad t_{r}={\sqrt {\frac {\int _{0}^{+\infty }(t-t_{D})^{2}V^{\prime }(t)\,\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\,\mathrm {d} t}}}}$

สัญลักษณ์และข้อสมมติทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการวิเคราะห์ได้ระบุไว้ในที่นี้แล้ว

• ตาม Levine ( 1996 , หน้า 158, 2011 , 9-3 (313)) เรากำหนดx%เป็นเปอร์เซ็นต์ค่าต่ำ และy%เป็นเปอร์เซ็นต์ค่าสูง เมื่อเทียบกับค่าอ้างอิงของสัญญาณที่ต้องการประมาณเวลาเพิ่มขึ้น
• t1คือเวลาที่ค่าเอาต์พุตของระบบที่กำลังวิเคราะห์อยู่ที่ x%ของค่าสภาวะคงที่ ในขณะที่ t2 _คือเวลาที่ค่าเอาต์พุตอยู่ที่ _y % โดยทั้งสอง ค่ามีหน่วยเป็นวินาที
• t _rคือเวลาที่ระบบที่วิเคราะห์เพิ่มขึ้น โดยวัดเป็นวินาที ตามนิยามแล้ว$${\displaystyle t_{r}=t_{2}-t_{1}.}$$
• fLคือความถี่ตัด ต่ำสุด (จุด -3 dB) ของระบบที่วิเคราะห์ โดยวัดเป็นเฮิร์ต_ซ์
• f _Hคือความถี่ตัดสูงสุด (จุด -3 dB) ของระบบที่วิเคราะห์ โดยวัดเป็นเฮิร์ตซ์
• h ( t )คือการตอบสนองแบบอิมพัลส์ของระบบที่วิเคราะห์ในโดเมนเวลา
• H ( ω )คือการตอบสนองความถี่ของระบบที่วิเคราะห์ในโดเมนความถี่
• แบน ด์ วิดท์ถูกกำหนดเป็นและเนื่องจากความถี่ตัดต่ำสุดf _Lมักจะต่ำกว่าความถี่ตัดสูงสุดf _{H หลายทศวรรษ}$${\displaystyle BW=f_{H}-f_{L}}$$$${\displaystyle BW\cong f_{H}}$$
• ระบบทั้งหมดที่วิเคราะห์ในที่นี้มีการตอบสนองความถี่ที่ขยายไปถึง0 (ระบบกรองความถี่ต่ำ) ซึ่งก็คือ0 พอดี$${\displaystyle f_{L}=0\,\Longleftrightarrow \,f_{H}=BW}$$
• เพื่อความง่าย ในหัวข้อ " ตัวอย่างง่ายๆ ของการคำนวณเวลาเพิ่มขึ้น " ระบบทั้งหมดที่วิเคราะห์นั้นเป็นวงจรไฟฟ้าที่มีอัตราขยายเท่ากับหนึ่ง และสัญญาณทั้งหมดถือว่าเป็นแรงดันไฟฟ้าโดยอินพุตเป็นฟังก์ชันขั้นบันไดของV0โวลต์_ซึ่งหมายความว่า$${\displaystyle {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}={\frac {x\%}{100}}\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}={\frac {y\%}{100}}}$$
• ζคืออัตราส่วนการหน่วงและ ω ₀คือความถี่ธรรมชาติของระบบอันดับสอง ที่ กำหนด

จุดประสงค์ของหัวข้อนี้คือการคำนวณเวลาตอบสนองของสัญญาณขั้นบันไดสำหรับระบบง่ายๆ บางระบบ:

ระบบจะมีลักษณะการตอบสนองแบบเกาส์เซียนหากมีลักษณะการตอบสนองความถี่ดังต่อไปนี้

${\displaystyle |H(\omega )|=e^{-\omega ^{2}/\sigma ^{2}}}$

โดยที่σ > 0เป็นค่าคงที่^{[ 14 ]}เกี่ยวข้องกับความถี่ตัดสูงโดยความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

${\displaystyle f_{H}={\frac {\sigma }{2\pi }}{\sqrt {{\frac {3}{20}}\ln 10}}\cong 0.0935\sigma .}$

แม้ว่าการตอบสนองความถี่แบบนี้จะไม่สามารถเกิดขึ้นได้ด้วยตัวกรองเชิงสาเหตุ^{[ 15 ]}แต่ประโยชน์ของมันอยู่ที่ว่าพฤติกรรมของการเชื่อมต่อแบบอนุกรมของตัวกรองความถี่ต่ำอันดับแรกจะเข้าใกล้พฤติกรรมของระบบนี้มากขึ้นเมื่อจำนวนขั้นอนุกรม เพิ่ม ขึ้นเรื่อยๆจนถึงอนันต์^{[ 16 ]}การตอบสนองแบบอิมพัลส์ที่สอดคล้องกันสามารถคำนวณได้โดยใช้การแปลงฟูริเยร์ ผกผัน ของการตอบสนองความถี่ ที่แสดง

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\{H\}(t)=h(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{e^{-\omega ^{2}/\sigma ^{2}}e^{i\omega t}}\,d\omega ={\frac {\sigma }{2{\sqrt {\pi }}}}e^{-{\frac {1}{4}}\sigma ^{2}t^{2}}}$

โดยการนำนิยามของการตอบสนองแบบขั้นบันไดมา ใช้โดยตรง

${\displaystyle V(t)=V_{0}{H*h}(t)={\frac {V_{0}}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\sigma t/2}e^{-\tau ^{2}}\,d\tau ={\frac {V_{0}}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right]\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right].}$

ในการหาเวลาที่ระบบเพิ่มขึ้นจาก 10% เป็น 90% จำเป็นต้องแก้สมการสองสมการต่อไปนี้เพื่อหาค่าเวลา:

${\displaystyle {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t_{1}}{2}}\right)\right]\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}=0.9={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t_{2}}{2}}\right)\right],}$

โดยใช้คุณสมบัติที่ทราบของฟังก์ชันความคลาดเคลื่อนจะได้ค่าt = − t ₁ = t _{2 เนื่องจาก} t _r =  t ₂  −  t ₁ = 2 t

${\displaystyle t_{r}={\frac {4}{\sigma }}\operatorname {erf} ^{-1}(0.8)\cong {\frac {0.3394}{f_{H}}},}$

และสุดท้าย

${\displaystyle t_{r}\cong {\frac {0.34}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.34.}$^{[ 17 ]}

สำหรับ เครือข่าย RCแบบ low-pass ขั้นเดียวที่เรียบง่าย^[ 18 ^{] เวลา}เพิ่มขึ้น 10% ถึง 90% จะเป็นสัดส่วนกับค่าคงที่เวลาของเครือข่ายτ = RC :

${\displaystyle t_{r}\cong 2.197\tau }$

_{ค่าคงที่สัดส่วนสามารถหาได้จากความรู้เกี่ยวกับ ผล}ตอบสนองขั้นบันไดของวงจรต่อ สัญญาณ อินพุตฟังก์ชันขั้นบันไดหน่วยที่มี แอมพลิจูด V0 :

${\displaystyle V(t)=V_{0}\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)}$

การแก้ปัญหาเรื่องเวลา

${\displaystyle {\frac {V(t)}{V_{0}}}=\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}-1=-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\quad \Longleftrightarrow \quad 1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}=e^{-{\frac {t}{\tau }}},}$

และสุดท้ายนี้

${\displaystyle \ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)=-{\frac {t}{\tau }}\quad \Longleftrightarrow \quad t=-\tau \;\ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)}$

เนื่องจากt ₁และt ₂เป็นไปตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้

${\displaystyle {\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}=0.9,}$

เมื่อแก้สมการเหล่านี้ เราจะพบนิพจน์เชิงวิเคราะห์สำหรับt ₁และt ₂ดังนี้:

${\displaystyle t_{1}=-\tau \;\ln \left(1-0.1\right)=-\tau \;\ln \left(0.9\right)=-\tau \;\ln \left({\frac {9}{10}}\right)=\tau \;\ln \left({\frac {10}{9}}\right)=\tau ({\ln 10}-{\ln 9})}$

${\displaystyle t_{2}=\tau \ln {10}}$

ดังนั้นเวลาเพิ่มขึ้นจึงเป็นสัดส่วนกับค่าคงที่เวลา: ^{[ 19 ]}

${\displaystyle t_{r}=t_{2}-t_{1}=\tau \cdot \ln 9\cong \tau \cdot 2.197}$

ทีนี้ เมื่อสังเกตว่า

${\displaystyle \tau =RC={\frac {1}{2\pi f_{H}}},}$^{[ 20 ]}

แล้ว

${\displaystyle t_{r}={\frac {2\ln 3}{2\pi f_{H}}}={\frac {\ln 3}{\pi f_{H}}}\cong {\frac {0.349}{f_{H}}},}$

และเนื่องจากความถี่ตัดสูงเท่ากับแบนด์วิดท์

${\displaystyle t_{r}\cong {\frac {0.35}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.35.}$^{[ 17 ]}

สุดท้ายนี้ โปรดสังเกตว่า หากพิจารณาเวลาเพิ่มขึ้นจาก 20% เป็น 80% แทน ค่าt _rจะกลายเป็น:

${\displaystyle t_{r}=\tau \cdot \ln {\frac {8}{2}}=(2\ln 2)\tau \cong 1.386\tau \quad \Longleftrightarrow \quad t_{r}={\frac {\ln 2}{\pi BW}}\cong {\frac {0.22}{BW}}}$

แม้แต่สำหรับวงจร RL แบบโลว์พาสขั้นเดียวที่เรียบง่าย เวลาเพิ่มขึ้นจาก 10% ถึง 90% ก็เป็นสัดส่วนกับค่าคงที่เวลาของวงจรτ = L ⁄ Rการพิสูจน์อย่างเป็นทางการของข้อความนี้ดำเนินการอย่างแม่นยำดังที่แสดงในส่วนก่อนหน้า ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวระหว่างนิพจน์สุดท้ายสำหรับเวลาเพิ่มขึ้นนั้นเกิดจากความแตกต่างในนิพจน์สำหรับค่าคงที่เวลาτของวงจรสองแบบที่แตกต่างกัน ซึ่งในกรณีนี้จะนำไปสู่ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้

${\displaystyle t_{r}=\tau \cdot \ln 9={\frac {L}{R}}\cdot \ln 9\cong {\frac {L}{R}}\cdot 2.197}$

ตามที่Levine (1996 , หน้า 158) กล่าวไว้ สำหรับระบบที่มีการหน่วงน้อยกว่าที่ใช้ในทฤษฎีการควบคุม เวลาเพิ่มขึ้นมักจะถูกกำหนดเป็นเวลาที่รูปคลื่นเปลี่ยนจาก 0% เป็น 100% ของค่าสุดท้าย: ^{[ 6 ]}ดังนั้น เวลาเพิ่มขึ้นจาก 0 ถึง 100% ของระบบอันดับ 2 ที่มีการหน่วงน้อยกว่าจะมีรูปแบบดังต่อไปนี้: ^{[ 21 ]}

${\displaystyle t_{r}\cdot \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\left[\pi -\tan ^{-1}\left({\frac {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}{\zeta }}\right)\right]}$

การประมาณค่ากำลังสอง ของเวลาเพิ่มขึ้นแบบนอร์มาไลซ์สำหรับระบบอันดับ 2 การตอบสนองแบบขั้นบันไดโดยไม่มีศูนย์ คือ:

${\displaystyle t_{r}\cdot \omega _{0}=2.230\zeta ^{2}-0.078\zeta +1.12}$

โดยที่ζคืออัตราส่วนการหน่วงและω ₀คือความถี่ธรรมชาติของวงจร

พิจารณาระบบที่ประกอบด้วย บล็อกที่ไม่โต้ตอบกันแบบเรียงต่อกัน nบล็อก โดยแต่ละบล็อกมีเวลาเพิ่มขึ้นt _{r i} , i = 1,…, nและไม่มีการโอเวอร์ชูตใน การ ^ตอบสนองขั้นบันไดสมมติว่าสัญญาณอินพุตของบล็อกแรกมีเวลาเพิ่มขึ้นที่มีค่าเป็นt _{r S} ^{[ 22} ] หลังจากนั้น สัญญาณเอาต์พุตจะมีเวลาเพิ่มขึ้นt _{r 0}เท่ากับ

${\displaystyle t_{r_{O}}={\sqrt {t_{r_{S}}^{2}+t_{r_{1}}^{2}+\dots +t_{r_{n}}^{2}}}}$

ตามที่Valley & Wallman (1948 , หน้า 77–78) กล่าวไว้ ผลลัพธ์นี้เป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางและได้รับการพิสูจน์โดยWallman (1950) : ^{[ 23 ] [ 24 ]} อย่างไรก็ตาม Petitt & McWhorter (1961 , §4–9, หน้า 107–115) ได้นำเสนอการวิเคราะห์ปัญหาโดยละเอียด^{[ 25 ]}ซึ่งยังให้เครดิตElmore (1948)ว่าเป็นคนแรกที่พิสูจน์สูตรก่อนหน้านี้บนพื้นฐานที่ค่อนข้างเข้มงวด^{[ 26 ]}

• การตอบสนองความถี่
• การตอบสนองต่อแรงกระตุ้น
• การตอบสนองขั้นบันได
• เวลาในการปรับตัว