ในพีชคณิตเชิงเส้น เมทริกซ์ สองเมทริกซ์จะสมมูลกันในเชิงแถวก็ต่อเมื่อสามารถเปลี่ยนเมทริกซ์หนึ่งไปเป็นอีกเมทริกซ์หนึ่งได้ด้วยลำดับของการดำเนินการแถวพื้นฐาน หรืออีกนัยหนึ่ง เมทริกซ์ขนาด m  ×  nสอง เมท ริกซ์จะสมมูลกันในเชิงแถวก็ต่อเมื่อมีปริภูมิแถว เดียวกัน แนวคิดนี้มักนำไปใช้กับเมทริกซ์ที่แสดงระบบสมการเชิงเส้นซึ่งในกรณีนี้ เมทริกซ์สองเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันจะสมมูลกันในเชิงแถวก็ต่อเมื่อ ระบบ สมการเอกพันธุ์ ที่สอดคล้องกัน มีชุดคำตอบเดียวกัน หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เมทริกซ์ทั้งสองมีปริภูมิ ว่าง เดียวกัน

เนื่องจากการดำเนินการแถวพื้นฐานสามารถย้อนกลับได้ ความสมมูลของแถวจึงเป็นความสัมพันธ์สมมูลโดยทั่วไปจะใช้เครื่องหมายทิลเด (~) แทน ^{[ 1 ]}

มีแนวคิดที่คล้ายกันคือความสมมูลของคอลัมน์ซึ่งกำหนดโดยการดำเนินการคอลัมน์ขั้นพื้นฐาน เมทริกซ์สองเมทริกซ์จะสมมูลกันในคอลัมน์ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์ทรานสโพสของเมทริกซ์ทั้งสองนั้นสมมูลกันในแถว เมทริกซ์สี่เหลี่ยมผืนผ้าสองเมทริกซ์ที่สามารถแปลงเป็นเมทริกซ์หนึ่งได้โดยอนุญาตให้ดำเนินการทั้งแถวและคอลัมน์ขั้นพื้นฐาน เรียกว่าเมทริกซ์ ที่สมมูลกัน

การดำเนินการ แถวขั้นพื้นฐานได้แก่ การเคลื่อนไหวอย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้:

1. สลับ:สลับแถวสองแถวในเมทริกซ์
2. การขยายขนาด:คูณแถวของเมทริกซ์ด้วยค่าคงที่ที่ไม่ใช่ศูนย์
3. จุดหมุน:เพิ่มจำนวนเท่าของแถวหนึ่งในเมทริกซ์ไปยังอีกแถวหนึ่ง

เมทริกซ์AและBจะสมมูลกันในเชิงแถวถ้าสามารถแปลงAให้เป็นBได้โดยใช้ลำดับของการดำเนินการแถวพื้นฐาน

ปริภูมิแถวของเมทริกซ์คือเซตของผลรวมเชิงเส้น ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ของเวกเตอร์แถวของเมทริกซ์นั้น ถ้าแถวของเมทริกซ์แทนระบบสมการเชิงเส้น ปริภูมิแถวจะประกอบด้วยสมการเชิงเส้นทั้งหมดที่สามารถอนุมานได้ทางพีชคณิตจากสมการในระบบนั้น เมท ริกซ์ขนาด m  ×  n สอง เมทริกซ์จะสมมูลกันในเชิงแถวก็ต่อเมื่อมีปริภูมิแถวเดียวกัน

ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}}\;\;\;\;{\text{และ}}\;\;\;\;{\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}}}$

เวกเตอร์เหล่านี้มีค่าเท่ากันในแถว โดยปริภูมิแถวคือเวกเตอร์ทั้งหมดที่มีรูปแบบระบบสมการเอกพันธุ์ที่สอดคล้องกันจะให้ข้อมูลเดียวกัน: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&b\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}x=0\\y+z=0\end{matrix}}\;\;\;\;{\text{และ}}\;\;\;\;{\begin{matrix}x=0\\x+y+z=0.\end{matrix}}}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ระบบทั้งสองนี้บ่งชี้ถึงสมการทุกสมการในรูปแบบดังกล่าว${\displaystyle ax+by+bz=0.\,}$

ข้อเท็จจริงที่ว่าเมทริกซ์สองเมทริกซ์จะสมมูลกันในแถวก็ต่อเมื่อมีปริภูมิแถวเดียวกันนั้น เป็นทฤษฎีบทที่สำคัญในพีชคณิตเชิงเส้น การพิสูจน์นั้นอาศัยข้อสังเกตดังต่อไปนี้:

1. การดำเนินการแถวขั้นพื้นฐานไม่มีผลต่อปริภูมิแถวของเมทริกซ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมทริกซ์สองเมทริกซ์ใดๆ ที่สมมูลกันในเชิงแถวจะมีปริภูมิแถวเท่ากัน
2. เมทริกซ์ใดๆ ก็สามารถลดรูปได้โดยใช้การดำเนินการแถวพื้นฐาน ไปเป็นเมทริกซ์ในรูปแบบขั้นบันไดแถวลดรูป
3. เมทริกซ์สองเมทริกซ์ในรูปแบบขั้นบันไดลดรูปจะมีพื้นที่แถวเท่ากันก็ต่อเมื่อเมทริกซ์ทั้งสองเท่ากันเท่านั้น

แนวคิดนี้ยังพิสูจน์ได้ว่าเมทริกซ์ทุกตัวเทียบเท่ากับเมทริกซ์เฉพาะตัวที่มีรูปแบบขั้นบันไดแถวลดรูป

• เนื่องจากปริภูมิว่างของเมทริกซ์เป็นส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของปริภูมิแถวดังนั้นเมทริกซ์สองเมทริกซ์จะสมมูลกันในเชิงแถวก็ต่อเมื่อมีปริภูมิว่างเดียวกัน
• อันดับ ของ เมทริกซ์เท่ากับมิติของปริภูมิแถว ดังนั้นเมทริกซ์ที่เทียบเท่ากันในแถวจะต้องมีอันดับเดียวกัน ซึ่งเท่ากับจำนวนตัวหมุนในรูปแบบขั้นบันไดแถวลดรูป
• เมทริกซ์จะผกผันได้ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์นั้นสมมูลกันในแถวกับเมทริกซ์เอกลักษณ์
• เมทริกซ์AและBเทียบเท่าแถวกันก็ต่อเมื่อมีเมทริกซ์ผกผันPที่ทำให้A= PB ^{[ 2 ]}

• การดำเนินการแถวขั้นพื้นฐาน
• ช่องว่างแถว
• พื้นฐาน (พีชคณิตเชิงเส้น)
• การลดแถว
• รูปแบบขั้นบันไดแถว (ลดรูป)

เว็บไซต์ Wikibook เรื่องพีชคณิตเชิงเส้นมีหน้าหนึ่งที่กล่าวถึงหัวข้อ: ความสมมูลของแถว